Sistema in cui il gruppo di gauge non sia un gruppo di Lie, ma un gruppo discreto
Faccio questa domanda a nome di un'altra persona e dato che la questione mi ha interessato vorrei sottoporla alla vostra attenzione.
è piuttosto articolata e quindi vorrei poter chiedere a qualcuno di esperto di dipanare la matassa e far chiarezza
Riporto quindi la lista di alcuni interventi perchè altrimenti non si capisce, la discussione intera la trovate qui
D: colui che ha fatto la domanda
DOMANDA
risposta Utente 1
I gruppi di Lie sono sempre continui, per definizione
D:
Risposta Utente 2
Se intendi simmetrie di gauge globali in Ising hai molto semplicemente Z_2, che è banalmente la simmetria per inversione di tutti gli spin dell'Hamiltoniana. Ed é appunto la simmetria spontaneamente rotta a bassa temperatura, quando il sistema magnetizza.
D:
Risposta Utente 2
Beh no, in meccanica statistica sono piú comuni le invarianze di gauge globali. Che nell'ambito di una teoria di campo su reticolo puoi sempre pensare come una matrice costante di rotazione nello spazio dei tuoi gradi di libertá interni. Trasformazione del tipo \psi'(x,t)=exp(iA) \psi(x,t), dove A non dipende da x e t. Sicuramente anche il modello di Potts, ovvero il modello di Ising dove per ogni punto dello spazio hai un numero arbitrario n (arbitrario nel senso che lo scegli tu) di colori ha le sue simmetrie di gauge globale, ma al momento non me le ricordo.
Risposta Utente 3
Forse il problema e' che se il gruppo e' discreto non vale il teorema di noether e quindi non hai quantita' che si conservano da misurare
Risposta Utente 4
Ma il fatto stesso che un "gruppo di gauge" sia il gruppo degli automorfismi di un operatore differenziale sullo spazio dei getti di un fibrato vettoriale non implica che codesto gruppo può essere qualsiasi? O ci sono delle restrizioni alla sua struttura?
D:
Ringrazio in anticipo per coloro che avranno la pazienza e la voglia di affrontare la questione.
è piuttosto articolata e quindi vorrei poter chiedere a qualcuno di esperto di dipanare la matassa e far chiarezza
Riporto quindi la lista di alcuni interventi perchè altrimenti non si capisce, la discussione intera la trovate qui
https://drive.google.com/file/d/1clhaGvYltWzGgMe8KBflITPDqioiy4Zn/view?usp=sharing
D: colui che ha fatto la domanda
DOMANDA
La cosa forse più sbagliata che mi è stata insegnata durante gli anni della laurea magistrale in fisica teorica è che i gruppi di gauge sono sempre gruppi continui. Che ne so SU(2)xSU(3)xU(1) etc. Questo è un fatto falso: in hep-th esistono almeno infiniti esempi di QFT consistenti e semplici in cui ci sono gruppi di gauge discreti.
Esempio banale: teoria di un campo vettoriale U(1) e un campo scalare complesso di carica 2 senza potenziale, che prende un vev non nullo. Dopo la rottura spontanea di simmetria, il gruppo di gauge è ora Z_2. Si vede direttamente dalla lagrangiana, espandendo il campo in "vev+fluttuazione", come al solito.
La mia domanda è la seguente: conosco svariati casi in fisica teorica delle alte energie in cui appaiono gruppi di gauge discreti. Esistono anche casi in condensed matter in cui succede lo stesso? Penso proprio di si, ma non conosco esempi. Qualcuno potrebbe fare un paio di esempi semplici?
Ancora meglio, esistono sistemi di condensed matter reali e testabili in laboratorio, e che sono descritti da una QFT con gruppo di gauge discreto? Possiamo dire che l'esistenza di gruppi di gauge discreti è sprimentalmente verificata, almeno in qualche ambito della fisica?
risposta Utente 1
I gruppi di Lie sono sempre continui, per definizione
D:
Ovviamente si. Ma non è quello che ho chiesto. Quello che ho chiesto è un esempio di un sistema in condesed matter descritto da una QFT in cui il gruppo di gauge NON sia un gruppo di Lie, ma un gruppo discreto
Risposta Utente 2
Se intendi simmetrie di gauge globali in Ising hai molto semplicemente Z_2, che è banalmente la simmetria per inversione di tutti gli spin dell'Hamiltoniana. Ed é appunto la simmetria spontaneamente rotta a bassa temperatura, quando il sistema magnetizza.
D:
Cosa si intende con "simmetria di gague globale" in questo contesto? Per me una simmetria di gauge è sempre locale. Cioè la trasformazione che agisce sui campi dipende dal punto dello spaziotempo in cui la applico.
Risposta Utente 2
Beh no, in meccanica statistica sono piú comuni le invarianze di gauge globali. Che nell'ambito di una teoria di campo su reticolo puoi sempre pensare come una matrice costante di rotazione nello spazio dei tuoi gradi di libertá interni. Trasformazione del tipo \psi'(x,t)=exp(iA) \psi(x,t), dove A non dipende da x e t. Sicuramente anche il modello di Potts, ovvero il modello di Ising dove per ogni punto dello spazio hai un numero arbitrario n (arbitrario nel senso che lo scegli tu) di colori ha le sue simmetrie di gauge globale, ma al momento non me le ricordo.
Risposta Utente 3
Forse il problema e' che se il gruppo e' discreto non vale il teorema di noether e quindi non hai quantita' che si conservano da misurare
Risposta Utente 4
Ma il fatto stesso che un "gruppo di gauge" sia il gruppo degli automorfismi di un operatore differenziale sullo spazio dei getti di un fibrato vettoriale non implica che codesto gruppo può essere qualsiasi? O ci sono delle restrizioni alla sua struttura?
D:
Non conosco questa definizione tua di gruppo di gauge. Comunque si, mi sono convinto che puó essere benissimo essere un gruppo discreto. Infatti nella mia domanda non chiedo se puó essere discreto o è sempre di Lie: questo lo so giá. Chiedo invece un esempio di QFT con gruppo di gauge (locale) discreto, utile in materia condensata.
Ringrazio in anticipo per coloro che avranno la pazienza e la voglia di affrontare la questione.
Risposte
Beh... Giusto per fare un po' di chiarezza: ricordando che ogni gruppo (finito) di ordine \(\displaystyle N\) è regolarmente immergibile in \(\displaystyle\mathrm{Sym}(N)\), il gruppo delle permutazioni di grado \(\displaystyle N\); e che questi è isomorfo a un sottogruppo di \(\displaystyle\mathrm{GL}(N,\mathbb{R})\) o \(\displaystyle\mathrm{GL}(N,\mathbb{C})\) mediante l'omomorfismo di gruppi
\[
\varphi:\sigma\in\mathrm{Sym}(N)\to\left(\delta_k^i\delta_j^{\sigma(k)}\right)\in\mathrm{GL}(N,\mathbb{C})
\]
ove
\[
\delta_i^j=\begin{cases}
1\iff i=j\\
0\iff i\neq j
\end{cases}
\]
è il simbolo di Kronecker; in breve \(\displaystyle\varphi(\sigma)\) è la matrice con \(\displaystyle1\) in posizione \(\displaystyle(k,\sigma(k))\) e \(\displaystyle0\) altrove.
A meno di isomorfismi (di gruppi), \(\displaystyle\mathrm{Sym}(N)\) è un sottogruppo chiuso di \(\displaystyle\mathrm{GL}(N,\mathbb{C})\), quindi per il teorema di Ado è un sottogrppo di Lie; mutatis mutandis, ogni gruppo finito è un gruppo di Lie di dimensione \(\displaystyle0\).
Invece, se per gruppo discreto si intende un gruppo infinito numerabile: è un esercizio dimostrare che \(\displaystyle(\mathbb{Z},+)\) è un gruppo (abeliano, non compatto) di Lie; mentre, se non ricordo male, \(\displaystyle(\mathbb{Q},+)\) e \(\displaystyle(\mathbb{Q}^{\times},\cdot)\) non lo sono... e dovrei un po' pensarci.
\[
\varphi:\sigma\in\mathrm{Sym}(N)\to\left(\delta_k^i\delta_j^{\sigma(k)}\right)\in\mathrm{GL}(N,\mathbb{C})
\]
ove
\[
\delta_i^j=\begin{cases}
1\iff i=j\\
0\iff i\neq j
\end{cases}
\]
è il simbolo di Kronecker; in breve \(\displaystyle\varphi(\sigma)\) è la matrice con \(\displaystyle1\) in posizione \(\displaystyle(k,\sigma(k))\) e \(\displaystyle0\) altrove.
A meno di isomorfismi (di gruppi), \(\displaystyle\mathrm{Sym}(N)\) è un sottogruppo chiuso di \(\displaystyle\mathrm{GL}(N,\mathbb{C})\), quindi per il teorema di Ado è un sottogrppo di Lie; mutatis mutandis, ogni gruppo finito è un gruppo di Lie di dimensione \(\displaystyle0\).
Invece, se per gruppo discreto si intende un gruppo infinito numerabile: è un esercizio dimostrare che \(\displaystyle(\mathbb{Z},+)\) è un gruppo (abeliano, non compatto) di Lie; mentre, se non ricordo male, \(\displaystyle(\mathbb{Q},+)\) e \(\displaystyle(\mathbb{Q}^{\times},\cdot)\) non lo sono... e dovrei un po' pensarci.
Credo che la domanda fosse diversa; è chiaro che ogni gruppo si può vedere come un gruppo di Lie. Quello che sta chiedendo l'OP (e più in generale la discussione su FB) è se esista un sistema interessante in QFT e condensed matter il cui gruppo di gauge sia discreto, e non continuo.
PS: io sono l'utente 4
PS: io sono l'utente 4
"killing_buddha":Esagerato!
...è chiaro che ogni gruppo si può vedere come un gruppo di Lie...
Sì, volevo dire "gruppo topologico". Poi questo forum è stato giù per qualche ora (solo per me?) e non ho potuto correggere.
Ho scritto quella risposta, per la risposta 1 riportata in OP mi sembra "ambigua"...
Grazie della risposta.
A me interessa in particolar modo la Risposta numero 4, soprattutto quando (killua?) dice
il gruppo degli automorfismi di un operatore differenziale sullo spazio dei getti di un fibrato vettoriale
Mi interessa sapere perchè si lavora proprio nello
Secondo la definizione la ragione è perchè "the jet is an operation that takes a differentiable function f and produces a polynomial" - in pratica otteniamo un polinomial
Ma.. il problema..è che a me non piacciono le funzioni differenziali e nemmeno 'differenziare' le funzioni, quindi cerco un metodo che non mi porti a dire se una funzione è differenziabile perchè non mi interessano le soluzioni fisiche, ma se e soltanto, invece, la funzione è ANTI-differenziabile!
Condizione necessaria: non ci deve essere reversibilità, cioè se dico anti-differenziabile io non devo poter trovare e non deve esistere un metodo che mi porti da anti-differenziabile a differenziabile: NO! Purtroppo invece sembra non possibile..
Ho guardato qui https://www.adelaide.edu.au/mathslearni ... vision.pdf ma non sono sicuro se è quello che cerco
Ho guardato anche qui
https://math.stackexchange.com/question ... ntiability
Non voglio usare un Jet perchè il mio scopo non è finire nel Jet Space, ma rimanere nell' Anti-space senza spostarmi da uno spazio all' altro.
A me interessa in particolar modo la Risposta numero 4, soprattutto quando (killua?) dice
il gruppo degli automorfismi di un operatore differenziale sullo spazio dei getti di un fibrato vettoriale
Mi interessa sapere perchè si lavora proprio nello
"spazio dei getti (jet space?) di un fibrato vettoriale (vector bundle)"
Secondo la definizione la ragione è perchè "the jet is an operation that takes a differentiable function f and produces a polynomial" - in pratica otteniamo un polinomial
Ma.. il problema..è che a me non piacciono le funzioni differenziali e nemmeno 'differenziare' le funzioni, quindi cerco un metodo che non mi porti a dire se una funzione è differenziabile perchè non mi interessano le soluzioni fisiche, ma se e soltanto, invece, la funzione è ANTI-differenziabile!
Condizione necessaria: non ci deve essere reversibilità, cioè se dico anti-differenziabile io non devo poter trovare e non deve esistere un metodo che mi porti da anti-differenziabile a differenziabile: NO! Purtroppo invece sembra non possibile..
Ho guardato qui https://www.adelaide.edu.au/mathslearni ... vision.pdf ma non sono sicuro se è quello che cerco
Ho guardato anche qui
https://math.stackexchange.com/question ... ntiability
Non voglio usare un Jet perchè il mio scopo non è finire nel Jet Space, ma rimanere nell' Anti-space senza spostarmi da uno spazio all' altro.
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