Sistema elastico - sbarretta [corpi rigidi]

[turtle87crociato]

Si tratta del classico problema della sbarretta attaccata ad una molla, che può ruotare attorno a un perno $O$ posto ad una delle due estremità. Si chiede di calcolare il periodo delle piccole oscillazioni che subisce la sbarretta quando sollecitata.

Nell'impostare la seconda equazione cardinale, tutte le fonti a mia disposizione non inseriscono il termine del seno dell'angolo compreso.

Supponendo che la molla sia vincolata proprio al centro della sbarretta, l'equazione che tutte le fonti mi danno viene così:

$mgL/2 - k(x_0 + x) L/2 = I d\omega/dt$,

mentre io sono indotto a pensare che sia così:

$mgL/2sen \theta - k(x_0 + x) L/2 sen \theta = I d\omega/dt$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra la sbarretta e i vettori delle forze applicate.

Chi mi aiuta?

[Falco5x]

Hai ragione, però un'equazione differenziale così non la risolve nessuno. Il trucco sta nella definizione "piccole oscillazioni", e quindi assumendo che il seno di un angolo sempre prossimo a 90° sia proprio uguale a 1 non si sbaglia di tanto, e il risultato è tanto più preciso quanto più piccole sono le oscillazioni.

[turtle87crociato]

Ma se le oscillazioni sono piccole, l'angolo è prossimo a 90°?

[Falco5x]

"turtle87":Ma se le oscillazioni sono piccole, l'angolo è prossimo a 90°?

Se ho capito bene la geometria della situazione (ho dovuto immaginarla mancando il disegno...) mi pare che $\theta$ sia l'angolo tra la sbarretta, tenuta orizzontale dal perno e dalla molla, e le forze verticali esercitate dalla molla e dal peso. Allora, sempre se ho capito bene, questo angolo è circa 90° e quando la sbarra oscilla $\theta$ si muove di poco nell'intorno dei 90°.
Se invece non ho capito la geometria del problema, allora posta un disegno .

[turtle87crociato]

Ah, no, ok, ci sono anche io.
Del resto avevo immaginato fosse così, risolvendo il problema (guardando la soluzione), com'era ovvio che fosse, tuttavia non riuscivo a convincermene. Le approssimazioni sono comunque mancanze di rigore, che solo chi riesce ad avere rigore nel ragionamento può padroneggiare, anche in casi più complessi. Ma, siccome mi manca una certa sicurezza (cammino un po' nelle sabbie mobili, quando risolvo un problema, il tempo non è un problema, solo che mi dispiace buttare energie inutili), che non penso possa sviluppare da solo, nè apprendere dalle sole soluzioni buttate lì senza dettagli, allora non riesco a ricordare nemmeno la formula più semplice, che come per magia mi si schiude quando c'è un po' più di sicurezza. Quindi non penso sia una questione di memoria.

[Falco5x]

"turtle87":quando risolvo un problema, il tempo non è un problema, solo che mi dispiace buttare energie inutili), che non penso possa sviluppare da solo, nè apprendere dalle sole soluzioni buttate lì senza dettagli, allora non riesco a ricordare nemmeno la formula più semplice, che come per magia mi si schiude quando c'è un po' più di sicurezza. Quindi non penso sia una questione di memoria.

No tu sei semplicemente ansioso perchè in qualche materia scientifica qualcuno ti ha traumatizzato. Probabilmente è stato un cattivo insegnante che pretendeva senza però saper spiegare (e forse senza aver capito nulla nemmeno lui). Ce ne sono di insegnanti così, purtroppo (e con questo non voglio fare alcun rimprovero alla classe insegnante, che fatte le dovute eccezioni rimane in generale una categoria meritoria e competente).