Sistema dinamico
Ciao ragazzi, stavo svolgendo un esercizio in cui bisogna trovare il punto di equilibrio di un sistema dinamico. Dopo averlo trovato ho iniziato a studiarne la stabilità, quindi ho calcolato la matrice Jacobiana e gli autovalori, ma ho trovato che questi sono entrambi nulli. Non mi sono mai imbattuto in un caso del genere e non riesco a classificare il punto. Che succede se entrambi gli autovalori sono nulli?
Risposte
Se trovi tutti gli autovalori nulli non puoi dire nulla sull'equilibrio del sistema... Perlomeno col metodo di Lyapunov. Forse puoi fare ragionamenti di altro tipo, prima di partire in quarta con la Jacobiana? Non sono sicuro di poterti aiutare ma allegare il testo sarebbe uno spunto in più per qualcuno più ferrato di me!
Sì allego il testo e accenno brevemente come ho provato a risolvere:
Il sistema l'ho rappresentato in questo modo:
Le coordinate generalizzate che ho trovato sono:
$ { ( x=r(t)sen(Omegat) ),( y=r(t)cos(Omegat) ),( z=-lcos(theta(t))):} $, dove $r(t)=lsen(theta(t))$
A questo punto considerando le derivate prime delle coordinate generalizzate ho calcolato l'energia cinetica:
$T= 1/2ml^2(dot(theta)+Omega^2sen^2theta)$
Poi ho calcolato l'energia potenziale e derivato la lagrangiana:
$U= mgz=mglcostheta$
$L=T-U = 1/2ml^2(dot(theta)+Omega^2sen^2theta)-mglcostheta$
A questo punto ho trovato le equazioni del moto:
$ddot(theta)ml^2-Omega^2ml^2senthetacostheta+mglsentheta=0$
che posso scrivere anche come:
$ { ( dot(theta)=omega ),( dot(omega)=Omega^2sentheta costheta-g/lsentheta ):} $
Studiando i punti di equilibrio ho trovato che:
-se $g/l>Omega^2$ gli unici punti di equilibrio sono $P_k(kpi,0)$ per $k=0,1,2,..$,
-se $g/l=Omega^2$ i punti di equilibrio sono sempre i $P_k$,
-se $g/l
A questo punto vado a studiare la stabilità. La Jacobiana è:
$ A=( ( 0 , -g/lcostheta+Omega^2cos^2theta-Omega^2sen^2theta ),( 1 , 0 ) ) $
-se $g/l
-per i punti $P_k$ per $"k dispari"$ la matrice diventa $ A= ( ( 0 , g/l+Omega^2 ),( 1 , 0 ) ) $ con un autovalore positivo e uno negativo sia nel caso in cui $g/l=Omega^2$ sia in quello in cui $g/l>Omega^2$. Quindi i punti $P_k$ per $"k dispari"$ sono di $"SELLA"$.
A questo punto dovrei dire che siccome in quel caso ho autovalori entrambi nulli non posso classificare il punto?
Il sistema l'ho rappresentato in questo modo:
Le coordinate generalizzate che ho trovato sono:
$ { ( x=r(t)sen(Omegat) ),( y=r(t)cos(Omegat) ),( z=-lcos(theta(t))):} $, dove $r(t)=lsen(theta(t))$
A questo punto considerando le derivate prime delle coordinate generalizzate ho calcolato l'energia cinetica:
$T= 1/2ml^2(dot(theta)+Omega^2sen^2theta)$
Poi ho calcolato l'energia potenziale e derivato la lagrangiana:
$U= mgz=mglcostheta$
$L=T-U = 1/2ml^2(dot(theta)+Omega^2sen^2theta)-mglcostheta$
A questo punto ho trovato le equazioni del moto:
$ddot(theta)ml^2-Omega^2ml^2senthetacostheta+mglsentheta=0$
che posso scrivere anche come:
$ { ( dot(theta)=omega ),( dot(omega)=Omega^2sentheta costheta-g/lsentheta ):} $
Studiando i punti di equilibrio ho trovato che:
-se $g/l>Omega^2$ gli unici punti di equilibrio sono $P_k(kpi,0)$ per $k=0,1,2,..$,
-se $g/l=Omega^2$ i punti di equilibrio sono sempre i $P_k$,
-se $g/l
A questo punto vado a studiare la stabilità. La Jacobiana è:
$ A=( ( 0 , -g/lcostheta+Omega^2cos^2theta-Omega^2sen^2theta ),( 1 , 0 ) ) $
-se $g/l
-per i punti $P_k$ per $"k dispari"$ la matrice diventa $ A= ( ( 0 , g/l+Omega^2 ),( 1 , 0 ) ) $ con un autovalore positivo e uno negativo sia nel caso in cui $g/l=Omega^2$ sia in quello in cui $g/l>Omega^2$. Quindi i punti $P_k$ per $"k dispari"$ sono di $"SELLA"$.
A questo punto dovrei dire che siccome in quel caso ho autovalori entrambi nulli non posso classificare il punto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo