Sistema dinamici {meccanica razionale}
Salve
Grande dubbio se postare questa domanda qui o in analisi matematica.
Ho grandi difficoltà a trovare una guida precisa di almeno un esempio di come deve essere svolto un esercizio su sistemi dinamici. Il libro che uso riporta solo i sistemi dinamici senza nemmeno una risoluzione!
Tuttavia, da come ho capito io, l'esercizio si articola così:
sistema dinamico del tipo (metto un esempio):
$\dot(x) = arcsin (x^2 + y^2) + a x $
$\dot(y) = a sin x^2 + 2 b y$
Trovare:
(1) i punti di equilibrio
(2) per quali valori di $a$ e di $b$ i punti sono di equilibrio stabile, instabile, asintoticamente stabile
(3) studiare i piccoli moti attorno a posizioni di equilibrio
(4) vedere se il sistema è conservativo (??)
(5) trovare la lagrangiana
(6) ritratto di fase (mai visto a lezione peraltro...)
spero che qualche anima pia possa darmi anche una piccola dritta, su link e simili perchè ne avrei davvero bisogno!
il (1) più o meno lo so impostare ma con sistemi più semplici, tipo:
$\dot x = a x + b y$
$\dot y = xy$
: (
Grande dubbio se postare questa domanda qui o in analisi matematica.
Ho grandi difficoltà a trovare una guida precisa di almeno un esempio di come deve essere svolto un esercizio su sistemi dinamici. Il libro che uso riporta solo i sistemi dinamici senza nemmeno una risoluzione!
Tuttavia, da come ho capito io, l'esercizio si articola così:
sistema dinamico del tipo (metto un esempio):
$\dot(x) = arcsin (x^2 + y^2) + a x $
$\dot(y) = a sin x^2 + 2 b y$
Trovare:
(1) i punti di equilibrio
(2) per quali valori di $a$ e di $b$ i punti sono di equilibrio stabile, instabile, asintoticamente stabile
(3) studiare i piccoli moti attorno a posizioni di equilibrio
(4) vedere se il sistema è conservativo (??)
(5) trovare la lagrangiana
(6) ritratto di fase (mai visto a lezione peraltro...)
spero che qualche anima pia possa darmi anche una piccola dritta, su link e simili perchè ne avrei davvero bisogno!
il (1) più o meno lo so impostare ma con sistemi più semplici, tipo:
$\dot x = a x + b y$
$\dot y = xy$
: (
Risposte
Se vale
\[y=f(x,t)=0\]
al variare di \(t\) per un certo \(x\) il punto si dice di equilibrio. Se hai delle espressioni in due variabili puoi provare a fare un'analisi grafica del tipo
\begin{split}
a \sin x^{2}+2by&=0 \\
a \sin x^{2}&=-2by \\
g_{1}(x)&=g_{2}(y) \\
\end{split}
Fai uno studio di funzione per \(g_{1}(x)\) e vedi come si comporta approssimativamente. Ad esempio è pari e quindi la parte destra del grafico è uguale a quella sinistra. L'immagine dovrebbe essere \([a,-a]\) e dato che passa per l'origine \(g_{1}(0)=0\) ed assomiglia alla funzione seno mi aspetto che lì si comporti all'incirca allo stesso modo.
La funzione \(g_{2}(y)\) è una retta che passa per l'origine. Se per \(x,y\) ha un dominio limitato e hai informazioni sulle costanti \(a,b\) puoi ricavare delle informazioni sul numero di zeri della funzione, sul loro segno o sulla posizione approssimativa. Gli zeri sono ovviamente dati dai punti dove i grafici delle funzioni si intersecano.
Si vede quindi che c'è uno zero nell'origine. Questo zero è anche uno zero della prima equazione del sistema e quindi abbiamo trovato facilmente lo zero banale. Puoi considerare poi l'inclinazione della retta \(g_{2}(y)\) alla luce delle informazioni
ricavate su \(g_{1}(x)\) per vedere più o meno dove trovare un altro zero.
Fai lo stesso con la prima equazione del sistema e vedi se la zona in cui si trova quest'altro zero le è comune. Se non lo è puoi smettere di considerarlo. Altrimenti guardi se riesci ad indovinarlo mettendo insieme le informazioni che hai ricavato fino ad allora.
I punti di equilibrio per sistemi bidimensionali mi sembra siano classificati. Guarda il capitolo di Boccara, Modeling Complex Systems dedicata alle equazioni differenziali. Ti dico ciò che mi ricordo quindi ti prego di andare a controllare se non sei sicuro. Una volta trovato il punto di equilibrio si calcola la matrice jacobiana del sistema nel punto e se ne calcolano gli autovalori. Guardando questi si vede subito (per definizione di punto di equilibrio iperbolico) se il punto di equilibrio è iperbolico o non lo è.
Esiste un teorema detto di Hartman-Grobman secondo il quale per un punto di equilibrio iperbolico un sistema vicino al punto di equilibrio assomiglia al sistema lineare che si ottiene calcolando il jacobiano come ti ho detto di fare prima. Quindi a questo punto non ti resta che guardare la tabella sul Boccara da cui puoi anche ricavare il ritratto di fase perché mostra anche l'andamento del campo per i vari punti di equilibrio (sono quelli che caratterizzano il ritratto di fase).
Per il resto non so, prova a vedere se da quanto detto fino ad ora ad esempio riesci a ricavare secondo definizione qualche altro punto della tua lista.
\[y=f(x,t)=0\]
al variare di \(t\) per un certo \(x\) il punto si dice di equilibrio. Se hai delle espressioni in due variabili puoi provare a fare un'analisi grafica del tipo
\begin{split}
a \sin x^{2}+2by&=0 \\
a \sin x^{2}&=-2by \\
g_{1}(x)&=g_{2}(y) \\
\end{split}
Fai uno studio di funzione per \(g_{1}(x)\) e vedi come si comporta approssimativamente. Ad esempio è pari e quindi la parte destra del grafico è uguale a quella sinistra. L'immagine dovrebbe essere \([a,-a]\) e dato che passa per l'origine \(g_{1}(0)=0\) ed assomiglia alla funzione seno mi aspetto che lì si comporti all'incirca allo stesso modo.
La funzione \(g_{2}(y)\) è una retta che passa per l'origine. Se per \(x,y\) ha un dominio limitato e hai informazioni sulle costanti \(a,b\) puoi ricavare delle informazioni sul numero di zeri della funzione, sul loro segno o sulla posizione approssimativa. Gli zeri sono ovviamente dati dai punti dove i grafici delle funzioni si intersecano.
Si vede quindi che c'è uno zero nell'origine. Questo zero è anche uno zero della prima equazione del sistema e quindi abbiamo trovato facilmente lo zero banale. Puoi considerare poi l'inclinazione della retta \(g_{2}(y)\) alla luce delle informazioni
ricavate su \(g_{1}(x)\) per vedere più o meno dove trovare un altro zero.
Fai lo stesso con la prima equazione del sistema e vedi se la zona in cui si trova quest'altro zero le è comune. Se non lo è puoi smettere di considerarlo. Altrimenti guardi se riesci ad indovinarlo mettendo insieme le informazioni che hai ricavato fino ad allora.
I punti di equilibrio per sistemi bidimensionali mi sembra siano classificati. Guarda il capitolo di Boccara, Modeling Complex Systems dedicata alle equazioni differenziali. Ti dico ciò che mi ricordo quindi ti prego di andare a controllare se non sei sicuro. Una volta trovato il punto di equilibrio si calcola la matrice jacobiana del sistema nel punto e se ne calcolano gli autovalori. Guardando questi si vede subito (per definizione di punto di equilibrio iperbolico) se il punto di equilibrio è iperbolico o non lo è.
Esiste un teorema detto di Hartman-Grobman secondo il quale per un punto di equilibrio iperbolico un sistema vicino al punto di equilibrio assomiglia al sistema lineare che si ottiene calcolando il jacobiano come ti ho detto di fare prima. Quindi a questo punto non ti resta che guardare la tabella sul Boccara da cui puoi anche ricavare il ritratto di fase perché mostra anche l'andamento del campo per i vari punti di equilibrio (sono quelli che caratterizzano il ritratto di fase).
Per il resto non so, prova a vedere se da quanto detto fino ad ora ad esempio riesci a ricavare secondo definizione qualche altro punto della tua lista.
Tieni conto anche del fatto che la funzione arcsin è definita tra -1 e 1 e che quindi le soluzioni, se ci sono, stanno nel cerchio unitario nel piano x-y.
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