Sistema di riferimento del centro di massa
Salve a tutti avrei bisogno del vostro aiuto. Ci sono dei passaggi che non mi sono chiari sia a livello di matematica che concettualmente. La domanda si trova un po' più sotto.
Faccio riferimento al testo del mazzoldi. Non so come scrivere i vettori e come mettere i pedici i. Scusatemi per questo. Gli apici sono grandezze riferite al C.M.
\(\displaystyle r=r'+r(cm) \); \(\displaystyle v=v'+v(cm) \) (1.1)
Poi siccome il centro di massa è il nostro riferimento la sua posizione e velocità relativa a se stesso saranno uguali a zero e quindi dice
\(\displaystyle \sum mv'=0\) \(\displaystyle \sum mr'=0 \). Quindi la quantità di moto del sistema misurata nel riferimento del centro di massa è nulla cioè \(\displaystyle P=0 \). Poi derivando e moltiplicando per la massa e facendo la sommatoria sui singoli punti si ricava
\(\displaystyle R(ext)- \sum ma(cm)= \sum ma'=0 \) (1.2) con R= Risultante delle forze esterne.
Ora il momento rispetto al centro di massa è (e qui viene il problema):
\(\displaystyle \sum r' \wedge F(ext)- \sum r' \wedge ma(cm)=M'(ext)- \sum mr' \wedge a(cm)=M'(ext) \). Quindi il secondo termine per (1.1) è nullo. Ed è proprio qui che non capisco, perché se ha potuto spostare la massa dall'altra parte del prodotto vettoriale non posso fare lo stesso con il primo prodotto vettoriale e tirare fuori la massa da \(\displaystyle F(ext) \) e ottenere così di nuovo \(\displaystyle \sum mr' \) che sarebbe di nuovo nullo? Cosa me lo impedisce? Non sarebbe la stessa quantità nulla ?
Stessa cosa succede dopo con il momento angolare.
\(\displaystyle L=\sum r' \wedge mv= \sum r' \wedge \ (v'+v(cm))=\sum r' \wedge mv'+ \sum r' \wedge mv(cm)=L'+ \sum mr' \wedge v(cm)=L'\)
Anche qui nel prodotto vettoriale con la grandezza del C.M. cioè V(cm) usa la proprietà (1.1), e quindi stessa domanda prima. Un altra cosa che volevo chiedere è: se le grandezze con l'apice sono relative al centro di massa e la quantità di moto del sistema rispetto al C.M. come detto è nulla perché non è nullo anche il momento angolare visto he il risultato è \(\displaystyle L' \). Alla fine non è nient'altro che il momento di un vettore, ossia del vettore quantità di moto con polo in C.M.. Eppure dice che il momento angolare ha lo stesso valore sia nel riferimento inerziale che nel sistema del C.M.
Cioè come è possibile che se (1.2) è nulla, poi non dice che il suo momento è nullo?
Vi prego aiutatemi, ho bisogno di capire questa cosa. Vi ringrazio anticipatamente e spero di essermi spiegato su cosa sia il problema.Grazie.
Faccio riferimento al testo del mazzoldi. Non so come scrivere i vettori e come mettere i pedici i. Scusatemi per questo. Gli apici sono grandezze riferite al C.M.
\(\displaystyle r=r'+r(cm) \); \(\displaystyle v=v'+v(cm) \) (1.1)
Poi siccome il centro di massa è il nostro riferimento la sua posizione e velocità relativa a se stesso saranno uguali a zero e quindi dice
\(\displaystyle \sum mv'=0\) \(\displaystyle \sum mr'=0 \). Quindi la quantità di moto del sistema misurata nel riferimento del centro di massa è nulla cioè \(\displaystyle P=0 \). Poi derivando e moltiplicando per la massa e facendo la sommatoria sui singoli punti si ricava
\(\displaystyle R(ext)- \sum ma(cm)= \sum ma'=0 \) (1.2) con R= Risultante delle forze esterne.
Ora il momento rispetto al centro di massa è (e qui viene il problema):
\(\displaystyle \sum r' \wedge F(ext)- \sum r' \wedge ma(cm)=M'(ext)- \sum mr' \wedge a(cm)=M'(ext) \). Quindi il secondo termine per (1.1) è nullo. Ed è proprio qui che non capisco, perché se ha potuto spostare la massa dall'altra parte del prodotto vettoriale non posso fare lo stesso con il primo prodotto vettoriale e tirare fuori la massa da \(\displaystyle F(ext) \) e ottenere così di nuovo \(\displaystyle \sum mr' \) che sarebbe di nuovo nullo? Cosa me lo impedisce? Non sarebbe la stessa quantità nulla ?
Stessa cosa succede dopo con il momento angolare.
\(\displaystyle L=\sum r' \wedge mv= \sum r' \wedge \ (v'+v(cm))=\sum r' \wedge mv'+ \sum r' \wedge mv(cm)=L'+ \sum mr' \wedge v(cm)=L'\)
Anche qui nel prodotto vettoriale con la grandezza del C.M. cioè V(cm) usa la proprietà (1.1), e quindi stessa domanda prima. Un altra cosa che volevo chiedere è: se le grandezze con l'apice sono relative al centro di massa e la quantità di moto del sistema rispetto al C.M. come detto è nulla perché non è nullo anche il momento angolare visto he il risultato è \(\displaystyle L' \). Alla fine non è nient'altro che il momento di un vettore, ossia del vettore quantità di moto con polo in C.M.. Eppure dice che il momento angolare ha lo stesso valore sia nel riferimento inerziale che nel sistema del C.M.
Cioè come è possibile che se (1.2) è nulla, poi non dice che il suo momento è nullo?
Vi prego aiutatemi, ho bisogno di capire questa cosa. Vi ringrazio anticipatamente e spero di essermi spiegato su cosa sia il problema.Grazie.
Risposte
Non so come scrivere i vettori e come mettere i pedici i.
Per scrivere $vecr$ , basta che scrivi vecr , e lo racchiudi tra i dollari. Per mettere il pedice $vecr_i$ , basta che dopo r digiti l'underscore , cioè il trattino basso : vecr_i , e poi a solito racchiudi tra i dollari.
Veniamo ai quesiti , che spero di aver capito bene . Mi sembri un po' in affanno, calmati perché qui ci sono persone pronte ad aiutarti .
Quindi la quantità di moto del sistema misurata nel riferimento del centro di massa è nulla cioè $P=0$
e su questo siamo d'accordo : nel riferimento del CM, la quantità di moto totale di un sistema di punti materiali , che può essere un corpo rigido oppure no , è nulla .
Ora il momento rispetto al centro di massa è (e qui viene il problema):
\( \displaystyle \sum r' \wedge F(ext)- \sum r' \wedge ma(cm)=M'(ext)- \sum mr' \wedge a(cm)=M'(ext) \). Quindi il secondo termine per (1.1) è nullo. Ed è proprio qui che non capisco, perché se ha potuto spostare la massa dall'altra parte del prodotto vettoriale non posso fare lo stesso con il primo prodotto vettoriale e tirare fuori la massa da \( \displaystyle F(ext) \) e ottenere così di nuovo \( \displaystyle \sum mr' \) che sarebbe di nuovo nullo? Cosa me lo impedisce? Non sarebbe la stessa quantità nulla ?
Qui francamente ho capito poco. Stai parlando del momento delle forze esterne rispetto al CM ? E perché dovrebbe essere nullo , il momento delle forze esterne calcolate rispetto al CM ? Prendi un corpo semplice , come una sfera, che abbia un asse di rotazione baricentrico : non posso applicare una forza sulla superficie della sfera , giacente in un piano perpendicolare all'asse , e ad essa tangente ? Il momento della forza rispetto al CM non è nullo .
Stessa cosa succede dopo con il momento angolare.
\( \displaystyle L=\sum r' \wedge mv= \sum r' \wedge \ (v'+v(cm))=\sum r' \wedge mv'+ \sum r' \wedge mv(cm)=L'+ \sum mr' \wedge v(cm)=L' \)
Anche qui nel prodotto vettoriale con la grandezza del C.M. cioè V(cm) usa la proprietà (1.1), e quindi stessa domanda prima. Un altra cosa che volevo chiedere è: se le grandezze con l'apice sono relative al centro di massa e la quantità di moto del sistema rispetto al C.M. come detto è nulla perché non è nullo anche il momento angolare visto he il risultato è \( \displaystyle L' \). Alla fine non è nient'altro che il momento di un vettore, ossia del vettore quantità di moto con polo in C.M.. Eppure dice che il momento angolare ha lo stesso valore sia nel riferimento inerziale che nel sistema del C.M.
Cioè come è possibile che se (1.2) è nulla, poi non dice che il suo momento è nullo?
Vi prego aiutatemi, ho bisogno di capire questa cosa. Vi ringrazio anticipatamente e spero di essermi spiegato su cosa sia il problema.Grazie.
No, qui la tua idea , da me evidenziata , è sbagliata. Il momento angolare rispetto al CM ( parliamo ora di un corpo rigido , non possiamo parlare di punti materiali che non siano rigidamente collegati , se vogliamo definire il momento angolare) si ricava come somma ( meglio : integrale esteso al volume del corpo ) dei momenti delle quantità di moto elementari di ciascuna "massa elementare " : parlo in maniera semplice per farmi intendere, ma il tutto si tratta matematicamente in modo rigoroso . Alla fine , eseguendo il processo di calcolo e integrazione si vede che il momento angolare è dato da :
$vecL = vecomega$
dove $$ è la matrice di inerzia relativa al polo di riferimento . Nell'esempio della sfera fatto prima , in cui l'asse di rotazione è centrale di inerzia (tutti gli assi baricentrici della sfera sono centrali di inerzia) , il momento angolare rispetto all'asse è dato da : $vecL = I vecomega$ , e i due vettori sono paralleli.
Consulta questa dispensa sulla rotazione del corpo rigido , che fa parte di un corso di fisica semplice di R. Fitzpatrick :
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... ode61.html
da lí puoi accedere a tutto il corso.
Guarda anche questo : http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
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