Sistema di momenti conservativo?
Buonasera! Sono nuovo nel forum anche se mi è già capitato di leggere qui nel forum e trovare risposte alle mie domande.
Ho fatto una ricerca ma non ho trovato nulla a riguardo di questa mia, penso banale domanda:
Ho un momento
\( M_1 = M_0 \cos(\phi-\theta)\) (con \(M_0\) costante positiva)
e un momento
\(M_2 = - M_1\)
che agiscono su di un sistema.
Devo discutere la conservatività o meno del sistema dei due momenti M1 e M2
Come posso fare, anche senza calcoli, mi interessa capire come procedere.
Grazie.
Ho fatto una ricerca ma non ho trovato nulla a riguardo di questa mia, penso banale domanda:
Ho un momento
\( M_1 = M_0 \cos(\phi-\theta)\) (con \(M_0\) costante positiva)
e un momento
\(M_2 = - M_1\)
che agiscono su di un sistema.
Devo discutere la conservatività o meno del sistema dei due momenti M1 e M2
Come posso fare, anche senza calcoli, mi interessa capire come procedere.
Grazie.
Risposte
Ciao DarkSun, benvenuto nel forum!!!
Ti segnalo la pagina del regolamento (qui) e quella del tutorial per l'editor delle formule (qui), il cui scopo è rendere i post più leggibili e quindi invogliare la gente a darti una mano. Stavolta te le correggo io ma cerca di imparare ad usarle visto che non richiede troppo sforzo...
Per quanto riguarda il tuo problema, ma il momento è funzione di due variabili \(\theta\) e \(\phi\) oppure una delle due è un parametro? Magari potresti riportare il testo completo dell'esercizio?
Buon Forum!!!
Ti segnalo la pagina del regolamento (qui) e quella del tutorial per l'editor delle formule (qui), il cui scopo è rendere i post più leggibili e quindi invogliare la gente a darti una mano. Stavolta te le correggo io ma cerca di imparare ad usarle visto che non richiede troppo sforzo...
Per quanto riguarda il tuo problema, ma il momento è funzione di due variabili \(\theta\) e \(\phi\) oppure una delle due è un parametro? Magari potresti riportare il testo completo dell'esercizio?
Buon Forum!!!
Ciao alle.fabbri.
Ti ringrazio molto per la risposta e per i link che mi hai suggerito. Ora cercherò di utilizzarli. Se sbaglio qualcosa vi prego di avere pazienza, con i novellini come me.
Il testo dell'esercizio è questo:
Si consideri il sistema costituito da un semidisco omogeneo di massa M e raggio R, e da un'asta omogena, di massa m e lunghezza R vincolati entrambi a ruotare su un piano orizzontale Oxy da due cerniere cilindriche nell'origine o del riferimento cartesiano.
Sull'asta agisce un momento $M_1 = M_0 cos(\varphi - \theta) \vecK$
e sul semidisco agisce il momento $M_2 = - M_1$
Assunte le coordinate lagrangiane $\varphi (t)$ , riferito al semidisco, e l'angolo $\theta (t)$ riferito all'asta.
Discutere la conservatività o meno del sistema dei due momenti $M_1$ e $M_2$
Grazie
Ti ringrazio molto per la risposta e per i link che mi hai suggerito. Ora cercherò di utilizzarli. Se sbaglio qualcosa vi prego di avere pazienza, con i novellini come me.
Il testo dell'esercizio è questo:
Si consideri il sistema costituito da un semidisco omogeneo di massa M e raggio R, e da un'asta omogena, di massa m e lunghezza R vincolati entrambi a ruotare su un piano orizzontale Oxy da due cerniere cilindriche nell'origine o del riferimento cartesiano.
Sull'asta agisce un momento $M_1 = M_0 cos(\varphi - \theta) \vecK$
e sul semidisco agisce il momento $M_2 = - M_1$
Assunte le coordinate lagrangiane $\varphi (t)$ , riferito al semidisco, e l'angolo $\theta (t)$ riferito all'asta.
Discutere la conservatività o meno del sistema dei due momenti $M_1$ e $M_2$
Grazie
L'intuizione fisica suggerisce che il sistema sia conservativo perchè in sostanza il momento applicato sente solo la differenza tra i due angoli, quindi il problema è monodimensionale e i problemi monodimensionali sono conservativi se la forza non dipende dalla velocità, come nel nostro caso. Cerchiamo di rendere il tutto un po' più formale. In realtà quello che stiamo facendo è la versione angolare del problema dei due corpi.
Le equazioni del moto per il tuo sistema sono (a=asta, s=semidisco)
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
I_a \ddot{\theta}_a &= M_a(\theta_a,\theta_s) = M_0 \cos \left( \theta_s - \theta_a \right) \\
I_s \ddot{\theta}_s &= M_s(\theta_a,\theta_s) = - M_0 \cos \left( \theta_s - \theta_a \right) = -M_a
\end{split} }[/tex]
quindi sembrerebbe che i momenti dipendano da due variabili. Siamo però liberi di cambiare coordinate e un'occhiata alla forma del momento suggerisce di definire una nuova variabile [tex]\theta = \theta_s - \theta_a[/tex]. Ci serve la seconda nuova variabile. Conviene (ci sono delle ragioni profonde per questa scelta...) prendere l'analogo nell'ambito delle rotazioni di quello che è il centro di massa per le traslazioni, se vuoi possiamo chiamarlo centro dei momenti d'inerzia, che è dato da
[tex]\displaystyle{ \theta_{c} = \frac{I_a \theta_a + I_s \theta_s}{I_a+I_s} }[/tex]
Quindi il cambio di coordinate è
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\theta &= \theta_s - \theta_a \\
\theta_{c} &= \frac{I_a \theta_a + I_s \theta_s}{I_a+I_s}
\end{split} }[/tex]
invertendolo ottieni
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\theta_a &= \theta_{c} - \frac{I_s}{I_a+I_s} \theta \\
\theta_{s} &= \theta_{c} + \frac{I_a}{I_a+I_s} \theta
\end{split} }[/tex]
e finora è tutto molto matematico e basta. Il tutto prende senso fisico nel momento in cui vai a vedere quali sono le equazioni del moto per le nuove coordinate. Per la coordinata del centro dei momenti d'inerzia hai
[tex]\displaystyle{ \ddot{\theta}_{c} = \frac{1}{I_a+I_s} \left( I_a \ddot{\theta}_a + I_s \ddot{\theta}_s \right) = \frac{1}{I_a+I_s} \left( M_a - M_a \right) = 0}[/tex]
cioè il centro dei momenti d'inerzia ruota di moto libero, essendo nullo il momento totale che agisce su di esso.
Per l'angolo relativo invece ottieni
[tex]\displaystyle{ \ddot{\theta} = \left( \ddot{\theta}_s - \ddot{\theta}_a \right) = \frac{M_a}{I_a} - \frac{M_s}{I_s} = \left( \frac{1}{I_a} + \frac{1}{I_s} \right) M_a = \frac{1}{I} \cos \theta }[/tex]
avendo introdotto il momento d'inerzia ridotto
[tex]\displaystyle{ I = \left( \frac{1}{I_a} + \frac{1}{I_s} \right)^{-1} = \frac{I_a I_s}{I_a +I_s} }[/tex]
in conclusione le equazioni del moto diventano
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\ddot{\theta}_c &= 0 \\
I \ddot{\theta} &= \cos \theta
\end{split} }[/tex]
Il senso fisico è che la coordinata del centro dei momenti si muove di moto libero, cioè continua a ruotare con la velocità angolare iniziale, e la parte non banale del problema è tutta nella coordinata relativa ed è dunque monodimensionale. Siccome il cammino per un sistema unidimensionale è unico non può che essere conservativo e quindi il potenziale sarà
[tex]\displaystyle{ V(\theta) = \int \cos \theta \,\, d\theta} = \sin\theta + C[/tex]
Spero di non averti confuso le idee...
Le equazioni del moto per il tuo sistema sono (a=asta, s=semidisco)
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
I_a \ddot{\theta}_a &= M_a(\theta_a,\theta_s) = M_0 \cos \left( \theta_s - \theta_a \right) \\
I_s \ddot{\theta}_s &= M_s(\theta_a,\theta_s) = - M_0 \cos \left( \theta_s - \theta_a \right) = -M_a
\end{split} }[/tex]
quindi sembrerebbe che i momenti dipendano da due variabili. Siamo però liberi di cambiare coordinate e un'occhiata alla forma del momento suggerisce di definire una nuova variabile [tex]\theta = \theta_s - \theta_a[/tex]. Ci serve la seconda nuova variabile. Conviene (ci sono delle ragioni profonde per questa scelta...) prendere l'analogo nell'ambito delle rotazioni di quello che è il centro di massa per le traslazioni, se vuoi possiamo chiamarlo centro dei momenti d'inerzia, che è dato da
[tex]\displaystyle{ \theta_{c} = \frac{I_a \theta_a + I_s \theta_s}{I_a+I_s} }[/tex]
Quindi il cambio di coordinate è
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\theta &= \theta_s - \theta_a \\
\theta_{c} &= \frac{I_a \theta_a + I_s \theta_s}{I_a+I_s}
\end{split} }[/tex]
invertendolo ottieni
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\theta_a &= \theta_{c} - \frac{I_s}{I_a+I_s} \theta \\
\theta_{s} &= \theta_{c} + \frac{I_a}{I_a+I_s} \theta
\end{split} }[/tex]
e finora è tutto molto matematico e basta. Il tutto prende senso fisico nel momento in cui vai a vedere quali sono le equazioni del moto per le nuove coordinate. Per la coordinata del centro dei momenti d'inerzia hai
[tex]\displaystyle{ \ddot{\theta}_{c} = \frac{1}{I_a+I_s} \left( I_a \ddot{\theta}_a + I_s \ddot{\theta}_s \right) = \frac{1}{I_a+I_s} \left( M_a - M_a \right) = 0}[/tex]
cioè il centro dei momenti d'inerzia ruota di moto libero, essendo nullo il momento totale che agisce su di esso.
Per l'angolo relativo invece ottieni
[tex]\displaystyle{ \ddot{\theta} = \left( \ddot{\theta}_s - \ddot{\theta}_a \right) = \frac{M_a}{I_a} - \frac{M_s}{I_s} = \left( \frac{1}{I_a} + \frac{1}{I_s} \right) M_a = \frac{1}{I} \cos \theta }[/tex]
avendo introdotto il momento d'inerzia ridotto
[tex]\displaystyle{ I = \left( \frac{1}{I_a} + \frac{1}{I_s} \right)^{-1} = \frac{I_a I_s}{I_a +I_s} }[/tex]
in conclusione le equazioni del moto diventano
[tex]\displaystyle{ \begin{split}
\ddot{\theta}_c &= 0 \\
I \ddot{\theta} &= \cos \theta
\end{split} }[/tex]
Il senso fisico è che la coordinata del centro dei momenti si muove di moto libero, cioè continua a ruotare con la velocità angolare iniziale, e la parte non banale del problema è tutta nella coordinata relativa ed è dunque monodimensionale. Siccome il cammino per un sistema unidimensionale è unico non può che essere conservativo e quindi il potenziale sarà
[tex]\displaystyle{ V(\theta) = \int \cos \theta \,\, d\theta} = \sin\theta + C[/tex]
Spero di non averti confuso le idee...
Grazie ale.fabbri! Sei stato gentilissimo! E' molto preciso e dettagliato il tuo commento. Non è però nemmeno troppo facile.. Credo di aver capito, ora magari provo a rifarlo e vedo come mi trovo.
Grazie!
Grazie!
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