Sistema con piano inclinato e tre masse

giuseppe.b_02
Salve a tutti, farò due post diversi con due differenti problemi seguiti dalle mie soluzioni (questa volta scriverò tutto a mano tranquilli :-D , tranne per le figure ovviamente). Spero possiate dirmi se sono corretti o meno.
Inizio col primo:
Una tavola, di massa m1 = 6 kg e di
lunghezza l = 2m, è posta su un piano
liscio inclinato di 30° con l'orizzontale.
Sull'estremo inferiore della tavola è appoggiato un corpo, di m2 = 2 kg, collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile ad un altro corpo di m3 = 5 kg sospeso in aria. Tra il corpo di massa m2 e la tavola c'è attrito caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico pari a $ mu $ d = 0.3.
II sistema viene lasciato libero di muoversi con velocità iniziale nulla e il corpo di massa m2
inizia a strisciare sulla tavola. Determinare:
1) il modulo dell'accelerazione assoluta di ciascun corpo;
2) il modulo dell'accelerazione del centro di massa del sistema nel sistema relativo alla tavola;
3) la velocità assoluta del corpo quando cade dalla tavola.

1) Imposto il seguente sistema:

$ { ( sumF3y=T-m3g=m3a3 ),( sumF1t=Fa-m1gsinvartheta=m1a1 ),( sumF2t=T-Fa=m2a2 ),( sumF2n=N2-m2gcos vartheta=0 ),( a2=a3 ):} $

Ovviamente Fa= $ mu $ N2

Trovo quindi da questo sistema a2 = a3 e a1.

2) a2(rispetto al sistema fisso)=a1(rispetto al sistema fisso)+a2(rispetto alla massa 1)
e trovo quindi a2 rispetto alla massa 1.

3)sapendo che il blocco 1 è lungo l scrivo:

$ l=1/2 a2(risp. a. 1)t^2 $ trovo quindi il tempo t e lo sostituisco alla seguente equazione:
$ v=a2(risp. sist. Fisso)t $
Vi sembra giusto? Non so se si riesce a capire tutto. Più tardi pubblicherò anche il secondo.





Risposte
giuseppe.b_02
Quindi nessuno sa dirmi se è giusto? [-o<

Shackle
In questi esercizi è opportuno fare i diagrammi di “corpo libero “ , per verificare di non aver dimenticato qualcosa, specie le forze agenti sui singoli corpi, e tenendo presente le informazioni fornite dal testo. Il testo qui dice che $m_2$ cade dalla tavola $m_1$ , quindi si deve supporre che $m_2$ si sposti verso il basso a sinistra, in direzione parallela al piano inclinato. Fatta questa supposta ( :-D ) , analizziamo le forze agenti e i moti ipotizzati.

La massa 2 è sottoposta al componente del peso parallelo al pi, che è forza motrice, alla forza resistente T del filo , e alla forza di attrito con la massa 1, che pure è resistente: quindi sono tre le forze agenti sulla 2, che vanno messe nella eq del moto e ne determinano l’accelerazione assoluta.
La massa 3 è soggetta a due forze, T motrice e il peso, quindi va bene l’eq che hai scritto. Ovvio che $a_2 =a_3$.

Infine la tavola 1 è soggetta a due forze motrici, il componente del peso parallelo al pi e la forza di attrito trasmessa dal corpo 2, che vale $\muN$, giusto.

Rivedi ora il sistema che hai scritto, e verifica che il numero delle equazioni sia uguale a quello delle incognite .

giuseppe.b_02
Ok grazie, si mi sono ovviamente scordato la componente parallela della forza peso, e anche un segno meno nella prima equazione davanti l'accelerazione. Per quanto riguarda gli altri quesiti vanno bene risolti in quel modo?

Shackle
Scusa, rivedendo il testo e cercando la soluzione numerica ho trovato che la massa sospesa $m_3= 5 kg$ “vince”, nel senso che si abbassa, e tira su $m_2= 2kg$ , che è quindi sottoposta a T= forza motrice, e le altre due forze : componente del peso di $m_2$ parallela al pi e forza di attrito con la tavola 1 , sono forze resistenti.
Se ho fatto bene i conti, trovo che $a_2 = a_3 = 4.877 m/s^2$ .

Quindi la massa $m_2$ cade dalla tavola , ma non verso il basso, bensì verso l’alto. Controlla anche tu, non vorrei aver sbagliato.

giuseppe.b_02
Si esatto, trovo anche io lo stesso valore

giuseppe.b_02
Mentre gli altri due punti ti sembrano corretti?

Shackle
Per quanto riguarda gli altri punti, faccio queste considerazioni:

1) il modulo dell'accelerazione assoluta di ciascun corpo;


Le accelerazioni assolute di ciascun corpo si ricavano da quanto detto.

2) il modulo dell'accelerazione del centro di massa del sistema nel sistema relativo alla tavola;


Questa domanda è un po’ insidiosa, sei sicuro che sia formulata cosi? Nel sistema di riferimento solidale alla tavola 1 , la tavola stessa è naturalmente in quiete. Quando parla di CM si deve quindi considerare il CM degli altri due corpi 2 e 3, riferendone il moto alla tavola e non più al piano inclinato. LE accelerazioni assolute , relative e di trascinamento (qui non ci sono rotazioni, Coriolis è nulla) sono legate dalla relazione :

$veca_(ass) = veca_(rel) + veca_(trasc)$

dove $ veca_(trasc)$ è proprio l’accelerazione della tavola. Quindi questo che hai scritto (è giusto) :

2) a2(rispetto al sistema fisso)=a1(rispetto al sistema fisso)+a2(rispetto alla massa 1)
e trovo quindi a2 rispetto alla massa 1.


riguarda però soltanto la massa 2 . Ma il testo chiede l’accelerazione del CM del sistema, non della sola massa 2, quindi devi trovare il CM del sistema e vedere come si muove nel riferimento della tavola. Non capisco il senso di questa richiesta.

3) la velocità assoluta del corpo quando cade dalla tavola.


è una questione di moto uniformemente accelerato rispetto a un sistema, che poi viene riportato ad un altro sistema. Penso che la tua soluzione sia corretta.

giuseppe.b_02
Grazie per le risposte. Per quanto riguarda il punto due, si la domanda è formulata così. Io ho fatto i calcoli considerando solo la massa due perchè ho considerato i due blocchi come un'unica massa dato che hanno stessa accelerazione, perchè altrimenti non avrei la minima idea di come riuscire a trovare il centro di massa dei due blocchi, dato che sono su un piano inclinato.

Shackle
Io ho fatto i calcoli considerando solo la massa due perchè ho considerato i due blocchi come un'unica massa dato che hanno stessa accelerazione


Fai attenzione, quando applichi la relazione tra accelerazione assoluta, relativa e di trascinamento, si tratta di una relazione vettoriale ; le due masse hanno accelerazioni vettoriali diverse, te ne rendi conto facilmente, non sono un’unica mass, anche se tra le masse c’è il vincolo del filo e naturalmente del piano inclinato Quelli che sono uguali sono i moduli delle due accelerazioni, certo. Perciò non mi spiego la domanda , formulata a quella maniera, e ti dirò che neanche io saprei come fare a determinare il moto del CM delle due masse nel riferimento della tavola.
Forse a questo punto conviene che tu chieda lumi a chi ti ha proposto l’esercizio.

giuseppe.b_02
E se facessi così:
Trovo le componenti dell'accelerazione del centro di massa rispetto al sistema fisso:
$ ay=(m2*a2sinvartheta -m3*a2)/(m2+m3) $
$ ax=(m2*a2cosvartheta +0)/(m2+m3) $
Fatto questo faccio la stessa operazione che ho fatto prima col corpo 2, ma per il centro di massa e scomponendo l'accelerazione del piano rispetto a x e y. Trovate le componenti delle accelerazioni faccio la somma vettoriale delle due. Che ne dite?

Shackle
Prova, (anche se non ho ben capito come) non mi pare una cattiva idea. Ma i risultati li hai?

giuseppe.b_02
No, purtroppo niente risultati

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