Sistema con piano inclinato e tre masse
Salve a tutti, farò due post diversi con due differenti problemi seguiti dalle mie soluzioni (questa volta scriverò tutto a mano tranquilli 
, tranne per le figure ovviamente). Spero possiate dirmi se sono corretti o meno.
Inizio col primo:
Una tavola, di massa m1 = 6 kg e di
lunghezza l = 2m, è posta su un piano
liscio inclinato di 30° con l'orizzontale.
Sull'estremo inferiore della tavola è appoggiato un corpo, di m2 = 2 kg, collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile ad un altro corpo di m3 = 5 kg sospeso in aria. Tra il corpo di massa m2 e la tavola c'è attrito caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico pari a $ mu $ d = 0.3.
II sistema viene lasciato libero di muoversi con velocità iniziale nulla e il corpo di massa m2
inizia a strisciare sulla tavola. Determinare:
1) il modulo dell'accelerazione assoluta di ciascun corpo;
2) il modulo dell'accelerazione del centro di massa del sistema nel sistema relativo alla tavola;
3) la velocità assoluta del corpo quando cade dalla tavola.
1) Imposto il seguente sistema:
$ { ( sumF3y=T-m3g=m3a3 ),( sumF1t=Fa-m1gsinvartheta=m1a1 ),( sumF2t=T-Fa=m2a2 ),( sumF2n=N2-m2gcos vartheta=0 ),( a2=a3 ):} $
Ovviamente Fa= $ mu $ N2
Trovo quindi da questo sistema a2 = a3 e a1.
2) a2(rispetto al sistema fisso)=a1(rispetto al sistema fisso)+a2(rispetto alla massa 1)
e trovo quindi a2 rispetto alla massa 1.
3)sapendo che il blocco 1 è lungo l scrivo:
$ l=1/2 a2(risp. a. 1)t^2 $ trovo quindi il tempo t e lo sostituisco alla seguente equazione:
$ v=a2(risp. sist. Fisso)t $
Vi sembra giusto? Non so se si riesce a capire tutto. Più tardi pubblicherò anche il secondo.
, tranne per le figure ovviamente). Spero possiate dirmi se sono corretti o meno.Inizio col primo:
Una tavola, di massa m1 = 6 kg e di
lunghezza l = 2m, è posta su un piano
liscio inclinato di 30° con l'orizzontale.
Sull'estremo inferiore della tavola è appoggiato un corpo, di m2 = 2 kg, collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile ad un altro corpo di m3 = 5 kg sospeso in aria. Tra il corpo di massa m2 e la tavola c'è attrito caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico pari a $ mu $ d = 0.3.
II sistema viene lasciato libero di muoversi con velocità iniziale nulla e il corpo di massa m2
inizia a strisciare sulla tavola. Determinare:
1) il modulo dell'accelerazione assoluta di ciascun corpo;
2) il modulo dell'accelerazione del centro di massa del sistema nel sistema relativo alla tavola;
3) la velocità assoluta del corpo quando cade dalla tavola.
1) Imposto il seguente sistema:
$ { ( sumF3y=T-m3g=m3a3 ),( sumF1t=Fa-m1gsinvartheta=m1a1 ),( sumF2t=T-Fa=m2a2 ),( sumF2n=N2-m2gcos vartheta=0 ),( a2=a3 ):} $
Ovviamente Fa= $ mu $ N2
Trovo quindi da questo sistema a2 = a3 e a1.
2) a2(rispetto al sistema fisso)=a1(rispetto al sistema fisso)+a2(rispetto alla massa 1)
e trovo quindi a2 rispetto alla massa 1.
3)sapendo che il blocco 1 è lungo l scrivo:
$ l=1/2 a2(risp. a. 1)t^2 $ trovo quindi il tempo t e lo sostituisco alla seguente equazione:
$ v=a2(risp. sist. Fisso)t $
Vi sembra giusto? Non so se si riesce a capire tutto. Più tardi pubblicherò anche il secondo.
Risposte
Quindi nessuno sa dirmi se è giusto? 
In questi esercizi è opportuno fare i diagrammi di “corpo libero “ , per verificare di non aver dimenticato qualcosa, specie le forze agenti sui singoli corpi, e tenendo presente le informazioni fornite dal testo. Il testo qui dice che $m_2$ cade dalla tavola $m_1$ , quindi si deve supporre che $m_2$ si sposti verso il basso a sinistra, in direzione parallela al piano inclinato. Fatta questa supposta ( ) , analizziamo le forze agenti e i moti ipotizzati.
La massa 2 è sottoposta al componente del peso parallelo al pi, che è forza motrice, alla forza resistente T del filo , e alla forza di attrito con la massa 1, che pure è resistente: quindi sono tre le forze agenti sulla 2, che vanno messe nella eq del moto e ne determinano l’accelerazione assoluta.
La massa 3 è soggetta a due forze, T motrice e il peso, quindi va bene l’eq che hai scritto. Ovvio che $a_2 =a_3$.
Infine la tavola 1 è soggetta a due forze motrici, il componente del peso parallelo al pi e la forza di attrito trasmessa dal corpo 2, che vale $\muN$, giusto.
Rivedi ora il sistema che hai scritto, e verifica che il numero delle equazioni sia uguale a quello delle incognite .
) , analizziamo le forze agenti e i moti ipotizzati.La massa 2 è sottoposta al componente del peso parallelo al pi, che è forza motrice, alla forza resistente T del filo , e alla forza di attrito con la massa 1, che pure è resistente: quindi sono tre le forze agenti sulla 2, che vanno messe nella eq del moto e ne determinano l’accelerazione assoluta.
La massa 3 è soggetta a due forze, T motrice e il peso, quindi va bene l’eq che hai scritto. Ovvio che $a_2 =a_3$.
Infine la tavola 1 è soggetta a due forze motrici, il componente del peso parallelo al pi e la forza di attrito trasmessa dal corpo 2, che vale $\muN$, giusto.
Rivedi ora il sistema che hai scritto, e verifica che il numero delle equazioni sia uguale a quello delle incognite .
Ok grazie, si mi sono ovviamente scordato la componente parallela della forza peso, e anche un segno meno nella prima equazione davanti l'accelerazione. Per quanto riguarda gli altri quesiti vanno bene risolti in quel modo?
Scusa, rivedendo il testo e cercando la soluzione numerica ho trovato che la massa sospesa $m_3= 5 kg$ “vince”, nel senso che si abbassa, e tira su $m_2= 2kg$ , che è quindi sottoposta a T= forza motrice, e le altre due forze : componente del peso di $m_2$ parallela al pi e forza di attrito con la tavola 1 , sono forze resistenti.
Se ho fatto bene i conti, trovo che $a_2 = a_3 = 4.877 m/s^2$ .
Quindi la massa $m_2$ cade dalla tavola , ma non verso il basso, bensì verso l’alto. Controlla anche tu, non vorrei aver sbagliato.
Se ho fatto bene i conti, trovo che $a_2 = a_3 = 4.877 m/s^2$ .
Quindi la massa $m_2$ cade dalla tavola , ma non verso il basso, bensì verso l’alto. Controlla anche tu, non vorrei aver sbagliato.
Si esatto, trovo anche io lo stesso valore
Mentre gli altri due punti ti sembrano corretti?
Per quanto riguarda gli altri punti, faccio queste considerazioni:
Le accelerazioni assolute di ciascun corpo si ricavano da quanto detto.
Questa domanda è un po’ insidiosa, sei sicuro che sia formulata cosi? Nel sistema di riferimento solidale alla tavola 1 , la tavola stessa è naturalmente in quiete. Quando parla di CM si deve quindi considerare il CM degli altri due corpi 2 e 3, riferendone il moto alla tavola e non più al piano inclinato. LE accelerazioni assolute , relative e di trascinamento (qui non ci sono rotazioni, Coriolis è nulla) sono legate dalla relazione :
$veca_(ass) = veca_(rel) + veca_(trasc)$
dove $ veca_(trasc)$ è proprio l’accelerazione della tavola. Quindi questo che hai scritto (è giusto) :
riguarda però soltanto la massa 2 . Ma il testo chiede l’accelerazione del CM del sistema, non della sola massa 2, quindi devi trovare il CM del sistema e vedere come si muove nel riferimento della tavola. Non capisco il senso di questa richiesta.
è una questione di moto uniformemente accelerato rispetto a un sistema, che poi viene riportato ad un altro sistema. Penso che la tua soluzione sia corretta.
1) il modulo dell'accelerazione assoluta di ciascun corpo;
Le accelerazioni assolute di ciascun corpo si ricavano da quanto detto.
2) il modulo dell'accelerazione del centro di massa del sistema nel sistema relativo alla tavola;
Questa domanda è un po’ insidiosa, sei sicuro che sia formulata cosi? Nel sistema di riferimento solidale alla tavola 1 , la tavola stessa è naturalmente in quiete. Quando parla di CM si deve quindi considerare il CM degli altri due corpi 2 e 3, riferendone il moto alla tavola e non più al piano inclinato. LE accelerazioni assolute , relative e di trascinamento (qui non ci sono rotazioni, Coriolis è nulla) sono legate dalla relazione :
$veca_(ass) = veca_(rel) + veca_(trasc)$
dove $ veca_(trasc)$ è proprio l’accelerazione della tavola. Quindi questo che hai scritto (è giusto) :
2) a2(rispetto al sistema fisso)=a1(rispetto al sistema fisso)+a2(rispetto alla massa 1)
e trovo quindi a2 rispetto alla massa 1.
riguarda però soltanto la massa 2 . Ma il testo chiede l’accelerazione del CM del sistema, non della sola massa 2, quindi devi trovare il CM del sistema e vedere come si muove nel riferimento della tavola. Non capisco il senso di questa richiesta.
3) la velocità assoluta del corpo quando cade dalla tavola.
è una questione di moto uniformemente accelerato rispetto a un sistema, che poi viene riportato ad un altro sistema. Penso che la tua soluzione sia corretta.
Grazie per le risposte. Per quanto riguarda il punto due, si la domanda è formulata così. Io ho fatto i calcoli considerando solo la massa due perchè ho considerato i due blocchi come un'unica massa dato che hanno stessa accelerazione, perchè altrimenti non avrei la minima idea di come riuscire a trovare il centro di massa dei due blocchi, dato che sono su un piano inclinato.
Io ho fatto i calcoli considerando solo la massa due perchè ho considerato i due blocchi come un'unica massa dato che hanno stessa accelerazione
Fai attenzione, quando applichi la relazione tra accelerazione assoluta, relativa e di trascinamento, si tratta di una relazione vettoriale ; le due masse hanno accelerazioni vettoriali diverse, te ne rendi conto facilmente, non sono un’unica mass, anche se tra le masse c’è il vincolo del filo e naturalmente del piano inclinato Quelli che sono uguali sono i moduli delle due accelerazioni, certo. Perciò non mi spiego la domanda , formulata a quella maniera, e ti dirò che neanche io saprei come fare a determinare il moto del CM delle due masse nel riferimento della tavola.
Forse a questo punto conviene che tu chieda lumi a chi ti ha proposto l’esercizio.
E se facessi così:
Trovo le componenti dell'accelerazione del centro di massa rispetto al sistema fisso:
$ ay=(m2*a2sinvartheta -m3*a2)/(m2+m3) $
$ ax=(m2*a2cosvartheta +0)/(m2+m3) $
Fatto questo faccio la stessa operazione che ho fatto prima col corpo 2, ma per il centro di massa e scomponendo l'accelerazione del piano rispetto a x e y. Trovate le componenti delle accelerazioni faccio la somma vettoriale delle due. Che ne dite?
Trovo le componenti dell'accelerazione del centro di massa rispetto al sistema fisso:
$ ay=(m2*a2sinvartheta -m3*a2)/(m2+m3) $
$ ax=(m2*a2cosvartheta +0)/(m2+m3) $
Fatto questo faccio la stessa operazione che ho fatto prima col corpo 2, ma per il centro di massa e scomponendo l'accelerazione del piano rispetto a x e y. Trovate le componenti delle accelerazioni faccio la somma vettoriale delle due. Che ne dite?
Prova, (anche se non ho ben capito come) non mi pare una cattiva idea. Ma i risultati li hai?
No, purtroppo niente risultati
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