Sistema con masse e cilindri
Buonasera, vorrei riportare il testo di un problema che sto cercando si svolgere(ho allegato un disegno): il sistema in figura è composto dalle masse m1, m4 e dai cilindri M2 e M3 entrambi di raggio R. Si supponga la fune inestensibile e di massa trascurabile scivoli sui cilindri. Si vuol calcolare l'accelerazione a del sistema. Considerando che 3m1=m4=m ed M=M2=3M3.
Ho iniziato considerando i corpi m1 ed m4, e per ognuno ho scritto le relative equazioni:
m1: -m1g+T1=m1a
m4: m4g-T4=m4a
Per il cilindro M2 considero la T1 mentre l'altra tensione che ho riportato in rosso con il punto interrogativo cosa sarebbe?
E così anche per M3 considero la tensione T4, mentre l'altra tensione orizzontale?
Vi ringrazio se potete darmi una mano
Ho iniziato considerando i corpi m1 ed m4, e per ognuno ho scritto le relative equazioni:
m1: -m1g+T1=m1a
m4: m4g-T4=m4a
Per il cilindro M2 considero la T1 mentre l'altra tensione che ho riportato in rosso con il punto interrogativo cosa sarebbe?
E così anche per M3 considero la tensione T4, mentre l'altra tensione orizzontale?
Vi ringrazio se potete darmi una mano
Risposte
Non ho ben capito le entità delle masse sospese e delle pulegge, perché non scrivi le formule con le regole di scrittura qui in uso. Perché non impari? Non è difficile.
Comunque, se le pulegge hanno massa , occorre anche la seconda equazione cardinale per entrambe . La tensione $T$ nel tratto orizzontale serve proprio a questo.
Comunque, se le pulegge hanno massa , occorre anche la seconda equazione cardinale per entrambe . La tensione $T$ nel tratto orizzontale serve proprio a questo.
Buongiorno , scusami per le scritture hai ragione, grazie per avermi risposto; si le pulegge hanno una massa.
Ho cercato di risolverlo,
corpo $M$1: -$M$1$g$+$T$1=$M$1$a$
corpo $M$4: $M$4$g$-$T$4=$M$4$a$
corpo $M$2: per la rotazione: -$T$1$R$+$T$*$R$=0.5$M$2$R$*$a$
corpo $M$3: per la rotazione: $T$4$R$-$T$*$R$=0.5$M$3$R$$a$
Ho poi sommato le due ultime equazioni, cosi le tensioni $T$ si eliminano, ottenendo
-$T$1+$T$4=0.5$M$2$a$+0.5$M$3$a$
Sostituendo alle tensioni $T$1 e $T$4 i valori ricavati dalle prime due equazioni, e trovando poi l'accelerazione del sistema.
Come impostazione potrebbe essere corretta? grazie.
Ho cercato di risolverlo,
corpo $M$1: -$M$1$g$+$T$1=$M$1$a$
corpo $M$4: $M$4$g$-$T$4=$M$4$a$
corpo $M$2: per la rotazione: -$T$1$R$+$T$*$R$=0.5$M$2$R$*$a$
corpo $M$3: per la rotazione: $T$4$R$-$T$*$R$=0.5$M$3$R$$a$
Ho poi sommato le due ultime equazioni, cosi le tensioni $T$ si eliminano, ottenendo
-$T$1+$T$4=0.5$M$2$a$+0.5$M$3$a$
Sostituendo alle tensioni $T$1 e $T$4 i valori ricavati dalle prime due equazioni, e trovando poi l'accelerazione del sistema.
Come impostazione potrebbe essere corretta? grazie.
Ci provo:
Considerando che la massa $m_1$ vada verso il basso e la massa $m_4$ salga avremo:
\( \begin{cases} m_1g-T_1=m_1a \\ T_4-m_4g=m_4a \\ R(T_1-T_2)=\frac{1}{2}M_2R^2\frac{a}{R} \\R(T_2-T_4)=\frac{1}{2}M_3R^2\frac{a}{R} \end{cases} \)
R andrà via ed avrai un'sistema di 4 equazioni in 4 incognite dove potrai trovare: l'accelerazione e le tre tensioni.
Considerando che la massa $m_1$ vada verso il basso e la massa $m_4$ salga avremo:
\( \begin{cases} m_1g-T_1=m_1a \\ T_4-m_4g=m_4a \\ R(T_1-T_2)=\frac{1}{2}M_2R^2\frac{a}{R} \\R(T_2-T_4)=\frac{1}{2}M_3R^2\frac{a}{R} \end{cases} \)
R andrà via ed avrai un'sistema di 4 equazioni in 4 incognite dove potrai trovare: l'accelerazione e le tre tensioni.
Buongiorno grazie per la risposta, ho eseguito l'esercizio con le tue indicazioni , dalle prime due equazioni mi sono ricavato le tensioni $T1$ e $T4$ , poi ho sommato le ultime due equazioni e sostituendo le tensioni prima trovate ho ricavato l'accelerazione che mi viene $a=(m1g-m4g)/(m1+m4+0.5M2+0.5M3)$. Ma poi dal testo $3m1=m4=m$ e $M=M2=3M3$
ed il risultato che da l'esercizio è $a=(mg)/(2m+M)$.
non saprei dove posso aver sbagliato.
ed il risultato che da l'esercizio è $a=(mg)/(2m+M)$.
non saprei dove posso aver sbagliato.
Arrivo subito.
Scusami se ti scrivo solo ora.
ti linco la figura https://drive.google.com/open?id=0B87HSWFlyWwdYW1KcGtqYm41THM
Nel mio schizzo (artistico
) ho rappresentato la situazione dinamica.
Bisognerebbe prendere in considerazione, cosa che non ho fatto, che la massa $m_4$ è certamente maggiore della massa $m_1$.
la rotazione delle due carrucole avverrà, in senso orario.
Premettendo di assumere un sistema di riferimento concorde al verso di rotazione delle carrucole avremo le seguenti equazioni del moto:
Corpo $m_1$ --> $T_1-m_1g=m_1a$
Corpo $m_2$ -->$m_4g-T_4=m_4a$
Le due carrucole hanno massa, il che vuol dire che non sono ideali, perciò seguono le seguenti equazione della dinamica rotazionale:
Carrucola $M_2$ --> $RT-RT_1=I_1\alpha_1$
Carrucola $M_3$ --> $RT_4-RT=I_2\alpha_2$
Considerando le due carrucole, cilindri aventi momento di Inerzia $I=1/2mr^2$ e che $\alpha=a/r$
Le due carrucole avranno rispettivamente le seguenti equazioni:
$R(T-T_1)=1/2M_2R^2a/R$
$R(T_4-T)=1/2M_3R^2a/R$
Alla luce questo avrai un sistema di questo tipo:
\begin{cases} T_1-m_1g=m_1a \\ m_4g-T_4=m_4a \\ T-T_1=\frac{1}{2}M_2a \\ T_4-T=\frac{1}{2}M_3a \end{cases}
Sommando membro a membro trovi che $a={2g(m_4-m_1)}/{2m_1+2m_4+M_2+M_3}$
Ricordando che $3m_1=m_4=m ; M=M_2=3M_3$ avrai finalmente l'accelerazione del sistema pari a: $a={mg}/{2m+M}$
A primo impatto non avevo tenuto conto delle masse.E' bene tener conto del valore delle masse, sono loro che decideranno il verso di rotazione delle carrucole!
Scusami se ti scrivo solo ora.
ti linco la figura https://drive.google.com/open?id=0B87HSWFlyWwdYW1KcGtqYm41THM
Nel mio schizzo (artistico
) ho rappresentato la situazione dinamica.Bisognerebbe prendere in considerazione, cosa che non ho fatto, che la massa $m_4$ è certamente maggiore della massa $m_1$.
la rotazione delle due carrucole avverrà, in senso orario.
Premettendo di assumere un sistema di riferimento concorde al verso di rotazione delle carrucole avremo le seguenti equazioni del moto:
Corpo $m_1$ --> $T_1-m_1g=m_1a$
Corpo $m_2$ -->$m_4g-T_4=m_4a$
Le due carrucole hanno massa, il che vuol dire che non sono ideali, perciò seguono le seguenti equazione della dinamica rotazionale:
Carrucola $M_2$ --> $RT-RT_1=I_1\alpha_1$
Carrucola $M_3$ --> $RT_4-RT=I_2\alpha_2$
Considerando le due carrucole, cilindri aventi momento di Inerzia $I=1/2mr^2$ e che $\alpha=a/r$
Le due carrucole avranno rispettivamente le seguenti equazioni:
$R(T-T_1)=1/2M_2R^2a/R$
$R(T_4-T)=1/2M_3R^2a/R$
Alla luce questo avrai un sistema di questo tipo:
\begin{cases} T_1-m_1g=m_1a \\ m_4g-T_4=m_4a \\ T-T_1=\frac{1}{2}M_2a \\ T_4-T=\frac{1}{2}M_3a \end{cases}
Sommando membro a membro trovi che $a={2g(m_4-m_1)}/{2m_1+2m_4+M_2+M_3}$
Ricordando che $3m_1=m_4=m ; M=M_2=3M_3$ avrai finalmente l'accelerazione del sistema pari a: $a={mg}/{2m+M}$
A primo impatto non avevo tenuto conto delle masse.E' bene tener conto del valore delle masse, sono loro che decideranno il verso di rotazione delle carrucole!
Non ti preoccupare ci mancherebbe, ti ringrazio moltissimo per la risposta. 
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