Sistema completo di osservabili commutanti
Ciao a tutto il forum,
giungo qui per cercare di risolvere un dubbio che non riseco proprio a capire, leggo dall'esercitatore una nota che dice: cercando le simmetrie di un sistema posso definire un sistema completo di osservabili commutanti (ed è utile in quanto poi questo sistema di osservabili mi permette di descrivere lo stato del sistema).
Ma, credo di non capire due punti di questa breve nota:
1) perché la simmetria si correla alle osservabili commutanti?
2) perché quando ho un sistema di osservabili commutanti ho abbastanza dati per trovare tutto ciò che mi serve per descrivere un dato stato del sistema in oggetto?
Dalla teoria so solo che se due osservabili commutano (senza degenerazione) esse condividono una base di autostati, altro non mi viene in mente per concludere quanto scritto nei due punti sopra ma questo teorema nemmeno mi basta.
Ho già una infarinatura (prima lettura) di tutto l'apparato teorico proposto in un pirmo corso di mq, ma mi sfugge il legame per i due punti. In poche parole ho la conoscenza per giungere alla conclusione (quindi usate pure fatti teorici nella eventuale spiegazione) ma in poche parole non ci arrivo
.
giungo qui per cercare di risolvere un dubbio che non riseco proprio a capire, leggo dall'esercitatore una nota che dice: cercando le simmetrie di un sistema posso definire un sistema completo di osservabili commutanti (ed è utile in quanto poi questo sistema di osservabili mi permette di descrivere lo stato del sistema).
Ma, credo di non capire due punti di questa breve nota:
1) perché la simmetria si correla alle osservabili commutanti?
2) perché quando ho un sistema di osservabili commutanti ho abbastanza dati per trovare tutto ciò che mi serve per descrivere un dato stato del sistema in oggetto?
Dalla teoria so solo che se due osservabili commutano (senza degenerazione) esse condividono una base di autostati, altro non mi viene in mente per concludere quanto scritto nei due punti sopra ma questo teorema nemmeno mi basta.
Ho già una infarinatura (prima lettura) di tutto l'apparato teorico proposto in un pirmo corso di mq, ma mi sfugge il legame per i due punti. In poche parole ho la conoscenza per giungere alla conclusione (quindi usate pure fatti teorici nella eventuale spiegazione) ma in poche parole non ci arrivo
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Risposte
Un'operatore è una simmetria se commuta con l'hamiltoniana, quindi se trovi un numero sufficiente di simmetrie puoi costruire un CSCO (complete set of commuting observables) con H. Pensa alla risoluzione di un sistema con potenziale sferosimmetrico. Perché si usano $L_z$ ed $L^2$? Perché il sistema ha simmetria cilindrica per rotazioni attorno all'asse $z$ e ha simmetria sferica.
Un sistema di osservabili commutanti in generale NON è sufficiente a descrivere il sistema. Hai bisogno che il set sia completo, ovvero che TUTTI gli autovalori siano non degeneri, di conseguenza specificando tutti i numeri quantici (autovalori) identifichi univocamente lo stato. Sempre nel caso del potenziale sferosimmetrico, $H$ ed $L^2$ sono un set di osservabili che commutano ma mica formano un CSCO, perché specificare $E$ ed $l$ non ti da uno stato (ce ne sono ben $2l+1$ con quei dati numeri quantici).
Un sistema di osservabili commutanti in generale NON è sufficiente a descrivere il sistema. Hai bisogno che il set sia completo, ovvero che TUTTI gli autovalori siano non degeneri, di conseguenza specificando tutti i numeri quantici (autovalori) identifichi univocamente lo stato. Sempre nel caso del potenziale sferosimmetrico, $H$ ed $L^2$ sono un set di osservabili che commutano ma mica formano un CSCO, perché specificare $E$ ed $l$ non ti da uno stato (ce ne sono ben $2l+1$ con quei dati numeri quantici).
Ciao, replico per passi poiché certe cose mi sono chiare altre meno e mi accorgo di essermi spiegato male:
Ottimo esempio che mi ha fatto capire il punto
Qui mi ero espresso male, la domanda due voleva essere:
2) perché quando ho un sistema di osservabili commutanti COMPLETO ho abbastanza dati per trovare tutto ciò che mi serve per descrivere un dato stato del sistema in oggetto?
Che si unisce al punto seguente:
Ecco, credo proprio di invilupparmi qui: non riesco a capire perché se il set di commutanti è completo (specificando cioè tutti gli autovalori di ogni osservabile commutante) identifico univolcamente lo stato (aka, perché tutti gli autovalori sono NON degeneri se trovo il sistema completo?)
In altre parole, perché trovare tutte le simmetrie mi permette di trovare uno stato descritto univocamente e non in modo degenere? Quale è il motivo di fondo teorico per cui sono certo di questo?
E perché, poi, trovando tutti gli autovalori di ognuna osservabile del set completo (di tutte le simmetrie) mi identifica a sua volta tutto lo stato univocamente?
Credo mi sfugga qui il punto
Grazie per l'aiuto nella compresione e per il tuo tempo.
Un'operatore è una simmetria se commuta con l'hamiltoniana
[...]
Pensa alla risoluzione di un sistema con potenziale sferosimmetrico. Perché si usano Lz ed L2? Perché il sistema ha simmetria cilindrica per rotazioni attorno all'asse z e ha simmetria sferica.
Ottimo esempio che mi ha fatto capire il punto
Un sistema di osservabili commutanti in generale NON è sufficiente a descrivere il sistema. Hai bisogno che il set sia completo
Qui mi ero espresso male, la domanda due voleva essere:
2) perché quando ho un sistema di osservabili commutanti COMPLETO ho abbastanza dati per trovare tutto ciò che mi serve per descrivere un dato stato del sistema in oggetto?
Che si unisce al punto seguente:
TUTTI gli autovalori siano non degeneri, di conseguenza specificando tutti i numeri quantici (autovalori) identifichi univocamente lo stato.
Ecco, credo proprio di invilupparmi qui: non riesco a capire perché se il set di commutanti è completo (specificando cioè tutti gli autovalori di ogni osservabile commutante) identifico univolcamente lo stato (aka, perché tutti gli autovalori sono NON degeneri se trovo il sistema completo?)
In altre parole, perché trovare tutte le simmetrie mi permette di trovare uno stato descritto univocamente e non in modo degenere? Quale è il motivo di fondo teorico per cui sono certo di questo?
E perché, poi, trovando tutti gli autovalori di ognuna osservabile del set completo (di tutte le simmetrie) mi identifica a sua volta tutto lo stato univocamente?
Credo mi sfugga qui il punto
Grazie per l'aiuto nella compresione e per il tuo tempo.
E' una questione di algebra lineare. Prendi l'operatore $ A=( ( 1 , 0 ,0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ e l'operatore $B= ( ( 1 , 1 ,1 ),( 1 , 1 , 1),(1 , 1 , 1 ) )$. Questi chiaramente commutano, quindi esiste una base comune di autovettori (ortogonale dato che sono tutti hermitiani). Chiamiamola $v_1,v_2,v_3$. Se fai il conticino cercandola trovi che gli autovalori di questa base sono rispettivamente $a=1,b=0$, $a=1,b=0$ e $a=1, b=3$.
Se ti dico gli autovalori identifico univocamente lo stato? Assolutamente no (ogni combinazione di $v_3$ e $v_2$ ha quell'autovalore) il set non è completo. Prendi invece ora $B= ( ( 1 , 1 ,0 ),( 1 , 1 , 1),(0 , 0 , 1 ) )$. A sto punto se cerchi la base $v_1,v_2,v_3$ trovi come autovalori rispettivamente $a=1,b=0$, $a=1,b=1$ e $a=1, b=2$. Se ti dico $a$ e $b$ ti ho identificato lo stato? Sì, a meno di un fatto di scala sull'autovettore che è irrilevante (tanto va normalizzato e vettori opposto hanno lo stesso significato fisico).
Cosa cambia tra i due esempi? Il punto è che nel secondo caso esiste un solo vettore (a meno di fattori di scala) che ha quegli autovalori, nel primo no.
Se ti dico gli autovalori identifico univocamente lo stato? Assolutamente no (ogni combinazione di $v_3$ e $v_2$ ha quell'autovalore) il set non è completo. Prendi invece ora $B= ( ( 1 , 1 ,0 ),( 1 , 1 , 1),(0 , 0 , 1 ) )$. A sto punto se cerchi la base $v_1,v_2,v_3$ trovi come autovalori rispettivamente $a=1,b=0$, $a=1,b=1$ e $a=1, b=2$. Se ti dico $a$ e $b$ ti ho identificato lo stato? Sì, a meno di un fatto di scala sull'autovettore che è irrilevante (tanto va normalizzato e vettori opposto hanno lo stesso significato fisico).
Cosa cambia tra i due esempi? Il punto è che nel secondo caso esiste un solo vettore (a meno di fattori di scala) che ha quegli autovalori, nel primo no.
Ti ringrazio molto per la spiegazione dettagliata, ora mi è chiaro il legame.
Mi resta però il seguente ultimo dubbio:
In sostanza questo esempio mostra che: se ho sufficienti simmetrie/commutazioni di matrici => trovo le matrici sufficienti a descrivermi lo stato in modo univoco "etichettandolo" con il nome degli autovalori.
Tuttavia mancherebbe un po' l'"inverso"[nota]non è esattamente <= in realtà, ma spero sia sufficientemente chiaro cosa intendevo[/nota], infatti: cosa mi garantisce che avendo un dato sistema descritto da uno certo stato => posso trovare sufficienti simmetrie t.c posso descrivere lo stato con gli autovalori?
In poche parole, cosa mi dice che un sistema con un certo stato avrà sufficienti simmetrie per poterlo descriverlo con sufficienti operatori commutanti? Non mi sembra banalissimo indurre che ci sia questa condizione, ma probabilmente non ci arrivo semplicemente.
Ri-grazie!
Mi resta però il seguente ultimo dubbio:
In sostanza questo esempio mostra che: se ho sufficienti simmetrie/commutazioni di matrici => trovo le matrici sufficienti a descrivermi lo stato in modo univoco "etichettandolo" con il nome degli autovalori.
Tuttavia mancherebbe un po' l'"inverso"[nota]non è esattamente <= in realtà, ma spero sia sufficientemente chiaro cosa intendevo
[/nota], infatti: cosa mi garantisce che avendo un dato sistema descritto da uno certo stato => posso trovare sufficienti simmetrie t.c posso descrivere lo stato con gli autovalori?In poche parole, cosa mi dice che un sistema con un certo stato avrà sufficienti simmetrie per poterlo descriverlo con sufficienti operatori commutanti? Non mi sembra banalissimo indurre che ci sia questa condizione, ma probabilmente non ci arrivo semplicemente.
Ri-grazie!
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