Sistema CGS e cambio delle equazioni
Il mio pensiero è:
In genere se rappresento una grandezza fisica con unità di misura diversa la forma dell'equazione non dovrebbe variare.
Se però prendo ad esempio l'equazione
[tex]F=ma[/tex]
questa è valida sia in MKS dalla quale nasce la definizione di [tex]N[/tex]
che in CGS dalla quale nasce la definizione di [tex]dyne[/tex].
In altre parole per accelerare una massa di [tex]1 kg[/tex] a[tex]1 \frac{m}{s^2}[/tex] ho bisogno di una forza di [tex]1 N[/tex]
e per accelerare una massa di [tex]1 g[/tex] a [tex]1 \frac{cm}{s^2}[/tex] ho bisogno di una forza di [tex]1 dyne[/tex]
Se però PRETENDESSI nella formula di usare [tex]dyne,kg,s[/tex]
avrei, dato che [tex]1 kg= 10^3 g[/tex],
[tex]F=ma=\alpha \; m' a[/tex]
dove [tex]m'[/tex] è la massa espressa in [tex]kg[/tex] e [tex]\alpha[/tex] è una costante che serve per far tornare il tutto e ad occhio direi che [tex]\alpha=10^3 \frac{g}{kg}[/tex]
ora il mio primo problema prima di proseguire a spiegare ciò che mi affligge è il senso della scrittura [tex]\frac{g}{kg}[/tex],
sarei fortemente tentato di dire [tex]\frac{g}{kg}=10^{-3}[/tex], ma questo farebbe crollare tutto, perché [tex]\alpha[/tex] diventa un numero puro e l'equazione non torna più dimensionalmente...
Che ne dite?
In genere se rappresento una grandezza fisica con unità di misura diversa la forma dell'equazione non dovrebbe variare.
Se però prendo ad esempio l'equazione
[tex]F=ma[/tex]
questa è valida sia in MKS dalla quale nasce la definizione di [tex]N[/tex]
che in CGS dalla quale nasce la definizione di [tex]dyne[/tex].
In altre parole per accelerare una massa di [tex]1 kg[/tex] a[tex]1 \frac{m}{s^2}[/tex] ho bisogno di una forza di [tex]1 N[/tex]
e per accelerare una massa di [tex]1 g[/tex] a [tex]1 \frac{cm}{s^2}[/tex] ho bisogno di una forza di [tex]1 dyne[/tex]
Se però PRETENDESSI nella formula di usare [tex]dyne,kg,s[/tex]
avrei, dato che [tex]1 kg= 10^3 g[/tex],
[tex]F=ma=\alpha \; m' a[/tex]
dove [tex]m'[/tex] è la massa espressa in [tex]kg[/tex] e [tex]\alpha[/tex] è una costante che serve per far tornare il tutto e ad occhio direi che [tex]\alpha=10^3 \frac{g}{kg}[/tex]
ora il mio primo problema prima di proseguire a spiegare ciò che mi affligge è il senso della scrittura [tex]\frac{g}{kg}[/tex],
sarei fortemente tentato di dire [tex]\frac{g}{kg}=10^{-3}[/tex], ma questo farebbe crollare tutto, perché [tex]\alpha[/tex] diventa un numero puro e l'equazione non torna più dimensionalmente...
Che ne dite?
Risposte
Dunque...
1 Dyne = 1 g $ * $ 1 $ (cm)/s^2 $ .
Se la massa è 1 Kg si ottengono 1000 dyne, quindi: 1 dyne = $ (1kg*1(cm)/s^2)/1000 $
quindi la costante di proporzionalità è : $ alfa = 10^-3 $
La costante è effettivamente adimensionale, perchè l'equazione dimensionale si riferisce alle grandezze (la forza è il prodotto di una massa per un'accelerazione) e non alle loro unità di misura.
Nota: se aggiungessi l'unità di misura g/kg alla costante, come hai fatto tu, potresti semplificare l'unità di misura kg al numeratore e al denominatore, ottenendo un assurdo, cioè 1 dyne = 1 dyne/1000.
A me sembra che funzioni così, che ne dici?
1 Dyne = 1 g $ * $ 1 $ (cm)/s^2 $ .
Se la massa è 1 Kg si ottengono 1000 dyne, quindi: 1 dyne = $ (1kg*1(cm)/s^2)/1000 $
quindi la costante di proporzionalità è : $ alfa = 10^-3 $
La costante è effettivamente adimensionale, perchè l'equazione dimensionale si riferisce alle grandezze (la forza è il prodotto di una massa per un'accelerazione) e non alle loro unità di misura.
Nota: se aggiungessi l'unità di misura g/kg alla costante, come hai fatto tu, potresti semplificare l'unità di misura kg al numeratore e al denominatore, ottenendo un assurdo, cioè 1 dyne = 1 dyne/1000.
A me sembra che funzioni così, che ne dici?
mmh... ok scusa ma non sono un fisico, la cosa mi rimane ancora un pò oscura
Siano le lettere normali espresse in CGS
mentre le lettere con l'apice espresse in MKS
se scrivo [tex]F= 10^{-3} m' a[/tex]
le dimensioni della forza per me (che sono ignorante
) sono
[tex][F]=kg \frac{cm}{s^2}[/tex], che dal mio punto di vista non è un unità di misura definita, capisco il ragionamento che fai ma mi pare ci sia ambiguità...
Perché allora il controllo dimensionale perderebbe di significato, non sarei in grado di distinguere tra due unità di misura una multipla dell'altra.
Che forse è quello che volevi dire con
?
Siano le lettere normali espresse in CGS
mentre le lettere con l'apice espresse in MKS
se scrivo [tex]F= 10^{-3} m' a[/tex]
le dimensioni della forza per me (che sono ignorante

[tex][F]=kg \frac{cm}{s^2}[/tex], che dal mio punto di vista non è un unità di misura definita, capisco il ragionamento che fai ma mi pare ci sia ambiguità...
Perché allora il controllo dimensionale perderebbe di significato, non sarei in grado di distinguere tra due unità di misura una multipla dell'altra.
Che forse è quello che volevi dire con
"Iris2":
La costante è effettivamente adimensionale, perchè l'equazione dimensionale si riferisce alle grandezze (la forza è il prodotto di una massa per un'accelerazione) e non alle loro unità di misura.
?
Ti ringrazio che mi hai messo sulla strada giusta, ho letto un pò di roba a giro e ho capito l'errore che stavo facendo
dimensioni e unità di misura sono due concetti differenti io invece facevo confusione.
Domani a mente lucida posto il mio secondo dubbio sul CGS di gauss
dimensioni e unità di misura sono due concetti differenti io invece facevo confusione.
Domani a mente lucida posto il mio secondo dubbio sul CGS di gauss
Facciamo un riassunto:
[tex]F=ma[/tex] (*)
è un'equazione che lega delle grandezze fisiche.
Ogni grandezza fisica è dimensionale: cioè gli attacco un'etichetta che mi dice di che "tipo" è la grandezza considerata, introduco nella fisica un controllo di "tipo", dimensionale.
Pur essendo della stessa dimensione, due grandezze possono essere espresse in due unità di misura differenti, che equivale a prendere due immaginari "regoli campione" di diversa "lunghezza".
D'altronde la (*) mi sembra sia un'equazione che prescinde dall'unità di misura.
Se io prendo [tex]1 kg[/tex] invece di [tex]10^3 g[/tex] non cambia niente
[tex]F=1kg \cdot 1 cm / s^2=10^3 g \cdot 1 cm/s^2= 10^3 dyne[/tex]
siete d'accordo con me?
[tex]F=ma[/tex] (*)
è un'equazione che lega delle grandezze fisiche.
Ogni grandezza fisica è dimensionale: cioè gli attacco un'etichetta che mi dice di che "tipo" è la grandezza considerata, introduco nella fisica un controllo di "tipo", dimensionale.
Pur essendo della stessa dimensione, due grandezze possono essere espresse in due unità di misura differenti, che equivale a prendere due immaginari "regoli campione" di diversa "lunghezza".
D'altronde la (*) mi sembra sia un'equazione che prescinde dall'unità di misura.
Se io prendo [tex]1 kg[/tex] invece di [tex]10^3 g[/tex] non cambia niente
[tex]F=1kg \cdot 1 cm / s^2=10^3 g \cdot 1 cm/s^2= 10^3 dyne[/tex]
siete d'accordo con me?
In conclusione si può dire che un'equazione simbolica del tipo [tex]F=ma[/tex] esprime una legge che lega tra di loro grandezze fisiche.
Questo a prescindere dalle unità di misura usate, a patto di stare attenti a cosa definiamo come unità di misura della grandezza derivata (in questo caso [tex]F[/tex])
e fare le eventuali conversioni delle grandezze note.
Ma la forma simbolica dell' equazione non cambia.
Diverso è il caso in cui decido di cambiare dimensione fisica presa in considerazione come accade nel cgs di Gauss per l'elettromagnetismo
dove si considerano [tex]esu[/tex] invece di [tex]C[/tex].
Ormai siamo su [tex]F=ma[/tex] continuerei su questo esempio.
Immaginiamo di voler introdurre una nuova dimensione fisica, la fantamassa ([tex][fm][/tex]).
Essendo [tex][m][/tex] e [tex][fm][/tex] due dimensioni diverse dobbiamo partire legandole mediante un'equazione [tex]m'=\alpha m[/tex]
dove con [tex]m'[/tex] si indica il valore della fantamassa. Le dimensioni di [tex]\alpha[/tex] sono con [tex][\alpha]=[fm]/[m][/tex].
Essendo [tex]\alpha[/tex] una costante, l'equazione sopra è un diffeomorfismo e uno può pensare allora di usare la fantamassa invece della massa come variabile.
L'equazione della forza si modificherebbe in [tex]F=\frac{1}{\alpha} m' a[/tex].
Se uno applica questo schema esposto all'elettromagnetismo può scrivere
[tex]F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}=\frac{q'_1 q'_2}{r^2}[/tex]
dove ha introdotto [tex]q'=\alpha q= \frac{1}{\sqrt{4\pi \epsilon_0}} q[/tex]
infatti le dimensioni di [tex]\alpha[/tex] sono [tex][\alpha]=1/[\epsilon_0^{\frac{1}{2}}]=\frac{[F] [l^2]}{[q^2]}=\frac{[q'^2]}{[q^2]}[/tex].
Vi ringrazio per evntuali smentite o conferme
Questo a prescindere dalle unità di misura usate, a patto di stare attenti a cosa definiamo come unità di misura della grandezza derivata (in questo caso [tex]F[/tex])
e fare le eventuali conversioni delle grandezze note.
Ma la forma simbolica dell' equazione non cambia.
Diverso è il caso in cui decido di cambiare dimensione fisica presa in considerazione come accade nel cgs di Gauss per l'elettromagnetismo
dove si considerano [tex]esu[/tex] invece di [tex]C[/tex].
Ormai siamo su [tex]F=ma[/tex] continuerei su questo esempio.
Immaginiamo di voler introdurre una nuova dimensione fisica, la fantamassa ([tex][fm][/tex]).
Essendo [tex][m][/tex] e [tex][fm][/tex] due dimensioni diverse dobbiamo partire legandole mediante un'equazione [tex]m'=\alpha m[/tex]
dove con [tex]m'[/tex] si indica il valore della fantamassa. Le dimensioni di [tex]\alpha[/tex] sono con [tex][\alpha]=[fm]/[m][/tex].
Essendo [tex]\alpha[/tex] una costante, l'equazione sopra è un diffeomorfismo e uno può pensare allora di usare la fantamassa invece della massa come variabile.
L'equazione della forza si modificherebbe in [tex]F=\frac{1}{\alpha} m' a[/tex].
Se uno applica questo schema esposto all'elettromagnetismo può scrivere
[tex]F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}=\frac{q'_1 q'_2}{r^2}[/tex]
dove ha introdotto [tex]q'=\alpha q= \frac{1}{\sqrt{4\pi \epsilon_0}} q[/tex]
infatti le dimensioni di [tex]\alpha[/tex] sono [tex][\alpha]=1/[\epsilon_0^{\frac{1}{2}}]=\frac{[F] [l^2]}{[q^2]}=\frac{[q'^2]}{[q^2]}[/tex].
Vi ringrazio per evntuali smentite o conferme