Singolarità spazio-tempo di Schwarzchild
Ciao a tutti. Sto studiando i buchi neri e c'è una cosa che proprio non riesco a capire. Il mio libro, ma ho visto che è così per la maggior parte, tira semplicemente fuori dal cappello la metrica di Schwarzchild e poi comincia ad analizzarla. Il ragionamento fatto è il seguente, siccome
$ds^2 = (1 - (2M)/r) \ dt^2 - (1 - (2M)/r)^(-1) \ dr^2 - r^2 d \Omega^2 $
l'equazione del moto per un raggio di luce radiale (cioè $d\Omega=0$) è $ds=0$ cioè
$dt^2 = (dr^2)/((1 - (2M)/r)^2 )$
che risolta da, implicitamente, la legge oraria
$t = r - 2M ln((|r-2M|)/(2M))$
e fin qui tutto bene.
A questo punto si procede con l'analisi della natura dei punti singolari per la metrica, che sono $r=0$ e $r=2M$. Per mostrare che la superficie $r=2M$ è una singolarità non fisica ma dovuta ad una scelta "poco felice" del sistema di coordinate si introduce la coordinata tartaruga, o di Regge-Wheeler,
$\hat r = r - 2M ln((|r-2M|)/(2M))$
definendo poi la coordinata di Eddington-Finkelstein avanzata
$v = t - \hat r$.
Quest'ultima è utile perchè si può scegliere di usarla per parametrizzare lo spazio-tempo. Infatti è un calcolo diretto mostrare che se si scelgono come coordinate $(v,r,\Omega)$ la metrica diventa
$ds^2 = -(1 - (2M)/r) \ dv^2 - 2 dr dv - r^2 d \Omega^2 $
mentre se la scelta è per le coordinate $(v,t,\Omega)$ la metrica diventa
$ds^2 = (1 - (2M)/r) ( dv^2 - 2 dt dv) - r^2 d \Omega^2 $.
A questo punto mi perdo perchè il libro dice che la prima è regolare per $r=2M$ mentre la seconda no. Perchè? Cosa intende? Qualche delucidazione???
$ds^2 = (1 - (2M)/r) \ dt^2 - (1 - (2M)/r)^(-1) \ dr^2 - r^2 d \Omega^2 $
l'equazione del moto per un raggio di luce radiale (cioè $d\Omega=0$) è $ds=0$ cioè
$dt^2 = (dr^2)/((1 - (2M)/r)^2 )$
che risolta da, implicitamente, la legge oraria
$t = r - 2M ln((|r-2M|)/(2M))$
e fin qui tutto bene.
A questo punto si procede con l'analisi della natura dei punti singolari per la metrica, che sono $r=0$ e $r=2M$. Per mostrare che la superficie $r=2M$ è una singolarità non fisica ma dovuta ad una scelta "poco felice" del sistema di coordinate si introduce la coordinata tartaruga, o di Regge-Wheeler,
$\hat r = r - 2M ln((|r-2M|)/(2M))$
definendo poi la coordinata di Eddington-Finkelstein avanzata
$v = t - \hat r$.
Quest'ultima è utile perchè si può scegliere di usarla per parametrizzare lo spazio-tempo. Infatti è un calcolo diretto mostrare che se si scelgono come coordinate $(v,r,\Omega)$ la metrica diventa
$ds^2 = -(1 - (2M)/r) \ dv^2 - 2 dr dv - r^2 d \Omega^2 $
mentre se la scelta è per le coordinate $(v,t,\Omega)$ la metrica diventa
$ds^2 = (1 - (2M)/r) ( dv^2 - 2 dt dv) - r^2 d \Omega^2 $.
A questo punto mi perdo perchè il libro dice che la prima è regolare per $r=2M$ mentre la seconda no. Perchè? Cosa intende? Qualche delucidazione???
Risposte
osservo che se r=2m la coordinata \nu non è definita e non rientra in quel dominio di parametrizzazione.... ma non so se è questo che vuoi sentirti dire..
ciao!
si ma continuo a non capire come mai questo fatto dovrebbe giustificare il fatto di preferire le coordinate $(v,r,\Omega)$ in quanto rimuovono la non regolarità in r=2M della metrica, che invece si presenta se prendo $(t, r,\Omega)$.
Mi sa che non mi sto spiegando bene. TI posto il pezzo del libro. Calcola le metriche per i due sistemi di coordinate
$ds^2 = -(1 - (2M)/r) \ dv^2 - 2 dr dv - r^2 d \Omega^2 $
$ds^2 = (1 - (2M)/r) ( dv^2 - 2 dt dv) - r^2 d \Omega^2 $.
e poi dice
" It is clear that only in the first case we can analytically continue the metric to all possible values of the radial coordinate r>0. In the second case we still have a singularity at r=2M. The coordinates $(v,r,\Omega)$ are called the ingoing (or advanced) coordinates and because of the cross term $drdv$ in the metric is not singular at r=2M."
Quando dice che nel secondo caso abbiamo ancora una singolarità intende che sull'orizzonte degli eventi la metrica non dipende nè da v nè da t, ma solo dagli angoli. Mentre se prendo la prima dipende da tutte e quattro proprio in virtù della presenza del termine misto. Funziona? Poi la domanda che mi segue spontanea è: allora tutte le volte che la metrica non dipende dal tempo posso parlare di metrica singolare? Forse è eccessiva come posizione?
Ah! il libro da cui è tratti è Modeling black hole evaporation di Fabbri e Navarro Salas, pag 21, se ti capitasse di averlo per caso sottomano.
si ma continuo a non capire come mai questo fatto dovrebbe giustificare il fatto di preferire le coordinate $(v,r,\Omega)$ in quanto rimuovono la non regolarità in r=2M della metrica, che invece si presenta se prendo $(t, r,\Omega)$.
Mi sa che non mi sto spiegando bene. TI posto il pezzo del libro. Calcola le metriche per i due sistemi di coordinate
$ds^2 = -(1 - (2M)/r) \ dv^2 - 2 dr dv - r^2 d \Omega^2 $
$ds^2 = (1 - (2M)/r) ( dv^2 - 2 dt dv) - r^2 d \Omega^2 $.
e poi dice
" It is clear that only in the first case we can analytically continue the metric to all possible values of the radial coordinate r>0. In the second case we still have a singularity at r=2M. The coordinates $(v,r,\Omega)$ are called the ingoing (or advanced) coordinates and because of the cross term $drdv$ in the metric is not singular at r=2M."
Quando dice che nel secondo caso abbiamo ancora una singolarità intende che sull'orizzonte degli eventi la metrica non dipende nè da v nè da t, ma solo dagli angoli. Mentre se prendo la prima dipende da tutte e quattro proprio in virtù della presenza del termine misto. Funziona? Poi la domanda che mi segue spontanea è: allora tutte le volte che la metrica non dipende dal tempo posso parlare di metrica singolare? Forse è eccessiva come posizione?
Ah! il libro da cui è tratti è Modeling black hole evaporation di Fabbri e Navarro Salas, pag 21, se ti capitasse di averlo per caso sottomano.
ah ok... non avevo capito la questione
forse intende per prolungamento analitico singolare il fatto che la metrica prolungata non abbia più segnatura (3,1) ma sia degenere...
non credo sia sensato definire una metrica che non dipende dal tempo come singolare....
boh non saprei vediamo se passa qualcuno
.......
forse intende per prolungamento analitico singolare il fatto che la metrica prolungata non abbia più segnatura (3,1) ma sia degenere...
non credo sia sensato definire una metrica che non dipende dal tempo come singolare....
boh non saprei vediamo se passa qualcuno
.......
Credo di aver capito quale può essere il problema. Il punto è che a noi serve una metrica invertibile, sennò non possiamo abbassare gli indici, cioè definire gli elementi dello spazio duale. E siccome nel primo caso è invertibile e nel secondo no.....la seconda metrica è singolare! Torna?
si in effetti mi sembra di ricordare da geometria2 (vaghi ricordi) che solo se abbiamo un prodotto scalare non degenere questo induce un isomorfismo tra V ed il suo duale...
in ogni caso prodotto scalare non degenere e metrica invertibile sono la stessa cosa mi sembra
io prima parlavo di prodotto degenere perchè credo che se ne potrebbe trarre conseguenze fisiche assurde se la metrica fosse degenere e vedere un motivo fisico e non matematico mi pare più soddisfacente
... cmq non ci ho ragionato oltre su questa linea...
in ogni caso prodotto scalare non degenere e metrica invertibile sono la stessa cosa mi sembra
io prima parlavo di prodotto degenere perchè credo che se ne potrebbe trarre conseguenze fisiche assurde se la metrica fosse degenere e vedere un motivo fisico e non matematico mi pare più soddisfacente
... cmq non ci ho ragionato oltre su questa linea...
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