Simmetrie vettore densità di corrente elettrica
Salve a tutti, sto studiando le simmetrie per il campo magnetico e mi sono imbattuto in un esercizio che non riesco a risolvere, lo ricopio qua sotto nella speranza che qualcuno possa aiutarmi...
"In un fissato sistema di coordinate cilindriche, una distribuzione stazionaria di corrente, simmetrica per riflessione rispetto al piano $ z=0 $ è descritta da una densità con componente radiale $ j_\rho =k\rho $, dove $ k=3,43 A/m^3 $ . Le altre componenti della densità, $ j_\phi $ e $ j_z $ non sono note. Determinare la corrente, in $ nA $, che attraversa il cerchio definito dalle relazioni $ z=9,07mm $ e $ \rho <1,59mm $." Grazie in anticipo!
"In un fissato sistema di coordinate cilindriche, una distribuzione stazionaria di corrente, simmetrica per riflessione rispetto al piano $ z=0 $ è descritta da una densità con componente radiale $ j_\rho =k\rho $, dove $ k=3,43 A/m^3 $ . Le altre componenti della densità, $ j_\phi $ e $ j_z $ non sono note. Determinare la corrente, in $ nA $, che attraversa il cerchio definito dalle relazioni $ z=9,07mm $ e $ \rho <1,59mm $." Grazie in anticipo!
Risposte
Vista la simmetria e la stazionarietà non dovrebbe essere difficile fare un bilancio fra il flusso entrante e il flusso uscente da un "bicchiere" (forato) appoggiato sul "tavolo" $z=0$.
Ti ringrazio per la celere risposta, però purtroppo non riesco ad impostare il bilancio, potresti darmi qualche imput in più?
Intendevo dire che: considerando un cilindro con altezza 9.07 mm e raggio di base 1.59 mm, visto che possiamo determinare il flusso di J attraverso la superficie laterale e visto che il flusso relativo alla base a quota z=0 è nullo, potremo determinare il flusso di J attraverso la base superiore.
D'accordo, vediamo se ho capito... Considerando una superficie cilindrica che "racchiude" la mia distribuzione stazionaria di corrente, per la seconda legge di Maxwell abbiamo che $ vec{\nabla} \cdot vec{B}=\mu_0 vec\J=0 $ quindi significa che la somma di tutti i flussi che entrano/escono da tale superficie deve essere nulla: $ \Phi (S_(z=z_0))=-\Phi (S_(lat)) $ . A questo punto, per simmetria il flusso sul "tavolo" è $ \Phi (S_(z=0))=0 $. Per trovare il flusso sulla superficie che mi richiede l'esercizio dovrei quindi fare: $ \Phi (S_(z=z_0))=-\Phi (S_(lat)) $ . Quindi mi calcolo il flusso sulla superficie laterale, in coordinate cilindriche, come l'integrale $ \Phi (S_(lat))=int_(S) j_\rho\cdot dS=int_Sj_\rho \cdot \rho d\phi dz=int_0^(\rho_0)int_0^(2\pi)int_0^(z_0)k\rho^2d\rhod\phidz=2\pik\rho^2z $. Il flusso sulla superficie di base "superiore" sarà quindi uguale a questo, tranne per il segno meno?
E a meno anche di qualche pedice che ho lasciato sulla tastiera 
Vista la stazionarietà e la simmetria, io avrei semplicemente scritto che la corrente, ovvero il flusso di J attraverso quel cerchio è semplicemente pari al prodotto fra componente radiale della densità e superficie laterale
$I_0=2\pi\rho_0z_0 j_\rho$
non vedo a cosa serva scomodare quella raffica di integrali.
Per quanto riguarda il segno, visto che non è specificato un verso, è sottinteso che è sufficiente determinare solo il valore assoluto della corrente.
BTW Occhio a non confondere divergenza con rotore,
$I_0=2\pi\rho_0z_0 j_\rho$
non vedo a cosa serva scomodare quella raffica di integrali.
Per quanto riguarda il segno, visto che non è specificato un verso, è sottinteso che è sufficiente determinare solo il valore assoluto della corrente.
BTW Occhio a non confondere divergenza con rotore,
Ti ringrazio molto per il tempo che hai speso per me, buona serata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo