Similitudine meccanica
Salve a tutti , non riesco a rispondere a queste 3 domande :
1_ In che rapporto stanno i tempi di moto su traiettorie identiche di particelle con masse diverse , a parità di energia potenziale ?
2_Come cambiano i tempi di moto su traiettorie uguali cambiando l'energia potenziale di un fattore costante ?
3_Perché per traiettorie geometricamente simili si ha che il rapporto dei momenti angolari è
$(L')/L=((l')/l)^(1+k/2) $dove l e l' sono le dimensioni lineari delle due traiettorie ?.
Non riesco a ripetere il ragionamento che faccio per le velocità, per le energie meccaniche e per i tempi.
Per esempio per le velocità so che se
$ v_a|-> betav_a=v' $ allora l'energia cinetica varia di $beta^2$ e uguagliando ,
(tra l ' altro perché devo impostare questa uguaglianza ??
)
$beta^2=alpha^k|->beta=alpha^(k/2)$ e quindi $(v')/v_a=((l')/l)^(k/2)$
dove k è il grado di omogeneità dell' energia potenziale ed $alpha $ il parametro moltiplicatore di tutte le
coordinate ( spaziali).
Grazie in anticipo .
1_ In che rapporto stanno i tempi di moto su traiettorie identiche di particelle con masse diverse , a parità di energia potenziale ?
2_Come cambiano i tempi di moto su traiettorie uguali cambiando l'energia potenziale di un fattore costante ?
3_Perché per traiettorie geometricamente simili si ha che il rapporto dei momenti angolari è
$(L')/L=((l')/l)^(1+k/2) $dove l e l' sono le dimensioni lineari delle due traiettorie ?.
Non riesco a ripetere il ragionamento che faccio per le velocità, per le energie meccaniche e per i tempi.
Per esempio per le velocità so che se
$ v_a|-> betav_a=v' $ allora l'energia cinetica varia di $beta^2$ e uguagliando ,
(tra l ' altro perché devo impostare questa uguaglianza ??
)$beta^2=alpha^k|->beta=alpha^(k/2)$ e quindi $(v')/v_a=((l')/l)^(k/2)$
dove k è il grado di omogeneità dell' energia potenziale ed $alpha $ il parametro moltiplicatore di tutte le
coordinate ( spaziali).
Grazie in anticipo .
Risposte
Premesso che, per me, questi sono argomenti marginali, provo a rispondere al primo quesito in modo molto libero...
Se $U$ è una funzione omogenea di grado $k$ dei raggi vettore, si ha $2 \bar T = k \bar U$.
Detto questo:
$2 \bar T_1 = 2 \bar T_2$
$\bar{m_1 v_1^2} = \bar{m_2 v_2^2}$
$m_1 (\frac{dx}{dt_1})^2 = m_2 (\frac{dx}{dt_2})^2$
$\frac{m_1}{m_2} = (\frac{dx}{dt_2} \frac{dt_1}{dx})^2$
$\sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{t_1}{t_2}$.
Se $U$ è una funzione omogenea di grado $k$ dei raggi vettore, si ha $2 \bar T = k \bar U$.
Detto questo:
$2 \bar T_1 = 2 \bar T_2$
$\bar{m_1 v_1^2} = \bar{m_2 v_2^2}$
$m_1 (\frac{dx}{dt_1})^2 = m_2 (\frac{dx}{dt_2})^2$
$\frac{m_1}{m_2} = (\frac{dx}{dt_2} \frac{dt_1}{dx})^2$
$\sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{t_1}{t_2}$.
Si in effetti il Landau gli dedica poche pagine , e non spiega molto.
$ 2bar(T) =kbar(U) $ questo è il teorema del virale.
Incredibile come il Landau a volte prima dia dei risultati , propone esercizi su questi , e poi ne dia , in seguito la teoria in termini più completi. ( per non parlare di quando a volte parla di integrali elementari )
Per quanto riguarda i momenti angolari come procederesti ?
$ 2bar(T) =kbar(U) $ questo è il teorema del virale.
Incredibile come il Landau a volte prima dia dei risultati , propone esercizi su questi , e poi ne dia , in seguito la teoria in termini più completi. ( per non parlare di quando a volte parla di integrali elementari
)Per quanto riguarda i momenti angolari come procederesti ?
Partiamo da ${t'}/t = ({l'}/l)^{1-k/2}$.
Si ottiene:
$\frac{{t'}/t}{{l'}/l}=({l'}/l)^{-k/2}$
${t'}/t l/{l'} = ({l'}/l)^{-k/2}$
$v/{v'}=({l'}/l)^{-k/2}$
${v'}/v=({l'}/l)^{k/2}$.
Poi:
${M'}/M={l' m v'}/{l m v}={l'}/l ({l'}/l)^{k/2}=({l'}/l)^{1+k/2)$.
Ps. sei sicuro che il Landau sia un buon testo nel 2014? È datatissimo e carente di tutta l'impostazione attuale (teoria dei gruppi, analisi funzionale, geometria differenziale ecc.). Andava bene ai miei tempi, anni '60/70...
Si ottiene:
$\frac{{t'}/t}{{l'}/l}=({l'}/l)^{-k/2}$
${t'}/t l/{l'} = ({l'}/l)^{-k/2}$
$v/{v'}=({l'}/l)^{-k/2}$
${v'}/v=({l'}/l)^{k/2}$.
Poi:
${M'}/M={l' m v'}/{l m v}={l'}/l ({l'}/l)^{k/2}=({l'}/l)^{1+k/2)$.
Ps. sei sicuro che il Landau sia un buon testo nel 2014? È datatissimo e carente di tutta l'impostazione attuale (teoria dei gruppi, analisi funzionale, geometria differenziale ecc.). Andava bene ai miei tempi, anni '60/70...
Grazie per le risposte , adesso ho chiaro il metodo da usare.
Questo è il programma del corso http://www.scienze.uniroma2.it/wp-conte ... /06/MA.pdf ,
mi trovo bene sul Landau, sopratutto per il formalismo che usa che mi sembra il più semplice .
Oltre che su questo testo seguo però anche
Metodi matematici della meccanica classica - Vladimir Igorevic Arnold
che tratta appunto con maggiore rigore matematico i temi del Landau ,
ho anche le dispense del Prof.Raffaele Esposito ma difficilmente le consulto.
Per quanto riguarda gli argomenti che mancano sul Landau , penso proprio che io li affronterò nel corso
del primo semestre di quest' anno , in metodi matematici per la fisica.
Avresti da consigliarmi qualche altro testo ?
Questo è il programma del corso http://www.scienze.uniroma2.it/wp-conte ... /06/MA.pdf ,
mi trovo bene sul Landau, sopratutto per il formalismo che usa che mi sembra il più semplice .
Oltre che su questo testo seguo però anche
Metodi matematici della meccanica classica - Vladimir Igorevic Arnold
che tratta appunto con maggiore rigore matematico i temi del Landau ,
ho anche le dispense del Prof.Raffaele Esposito ma difficilmente le consulto.
Per quanto riguarda gli argomenti che mancano sul Landau , penso proprio che io li affronterò nel corso
del primo semestre di quest' anno , in metodi matematici per la fisica.
Avresti da consigliarmi qualche altro testo ?
Purtroppo non ho testi alternativi da suggerirti. Magari, qualcun altro, più aggiornato di me, potrà farlo... 
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