Significato della lettera $d$ in fisica
Salve, volevo comprendere bene questa cosa dal momento che mi sta dando un pò di noie.
Sui libri di Fisica noto spesso che si fa un largo uso del simbolo $d$, che matematicamente esprime il differenziale di una funzione. Per esempio, leggo espressioni del tipo "consideriamo il volumetto infinitesimo di volume $dV=dxdydz$, oppure "consideriamo un punto a distanza $vec (dr)$ da un altro punto" e cosi via.
Ora dal Pagani-Salsa Analisi 1 leggo che, un caso particolare di differenziale è quello del differenziale della funzione $f(x)=x$.
Tale differenziale, che indico con $dx$, è per definizione pari a $1*h$, dove $h$ è il generico incremento della variabile indipendente, incremento che non necessariamente è infinitesimo (cosa che invece affermano molti testi di fisica che dicono che il differenziale di una funzione è una quantità infinitesima, concordate?): $dx=h$. Ciò dunque mette in evidenza che il differenziale di $f(x)=x$ è esattamente uguale all'incremento della variabile indipendente della funzione $f(x)=x$ e quindi mi suggerisce un modo alternativo per esprimere l'incremento $h$ di una variabile indipendente $a$: porre appunto $h$ uguale a $d(a)$.
Questo fatto mi fa allora pensare che, quando devo eseguire ragionamenti che comportano una variazione "piccola" di variabili indipendenti, io posso indicare tali incrementi con il differenziale di funzioni $x$, $y$, $z$ e cosi via.
Quindi, quando dal punto di vista fisico vado a considerare un volume molto piccolo, la scritta $dxdydz$ è giustificata dai seguenti ragionamenti:
fissato un sistema di riferimento cartesiano $Oxyz$, consideriamo un parallelepipedo di volume $h_1h_2h_3$, dove $h_1, h_2, h_3$ sono piccole variazioni delle variabili indipendenti $x,y,z$ (e non per forza queste variazioni devono essere infinitesime). Tali variazioni coincidono con il differenziale delle funzioni $f(x)=x$, $f(y)=y$, ed $f(z)=z$ per cui è possibile porre $h_1=dx$, $h_2=dy$, $h_3=dz$ giusto?
Stanno così le cose? Qualora non fosse cosi, non vi sembra che l'uso di quel $d$ sia un vero e proprio "abuso di notazione", oltre a non avere nessun senso?
Grazie mille.
Sui libri di Fisica noto spesso che si fa un largo uso del simbolo $d$, che matematicamente esprime il differenziale di una funzione. Per esempio, leggo espressioni del tipo "consideriamo il volumetto infinitesimo di volume $dV=dxdydz$, oppure "consideriamo un punto a distanza $vec (dr)$ da un altro punto" e cosi via.
Ora dal Pagani-Salsa Analisi 1 leggo che, un caso particolare di differenziale è quello del differenziale della funzione $f(x)=x$.
Tale differenziale, che indico con $dx$, è per definizione pari a $1*h$, dove $h$ è il generico incremento della variabile indipendente, incremento che non necessariamente è infinitesimo (cosa che invece affermano molti testi di fisica che dicono che il differenziale di una funzione è una quantità infinitesima, concordate?): $dx=h$. Ciò dunque mette in evidenza che il differenziale di $f(x)=x$ è esattamente uguale all'incremento della variabile indipendente della funzione $f(x)=x$ e quindi mi suggerisce un modo alternativo per esprimere l'incremento $h$ di una variabile indipendente $a$: porre appunto $h$ uguale a $d(a)$.
Questo fatto mi fa allora pensare che, quando devo eseguire ragionamenti che comportano una variazione "piccola" di variabili indipendenti, io posso indicare tali incrementi con il differenziale di funzioni $x$, $y$, $z$ e cosi via.
Quindi, quando dal punto di vista fisico vado a considerare un volume molto piccolo, la scritta $dxdydz$ è giustificata dai seguenti ragionamenti:
fissato un sistema di riferimento cartesiano $Oxyz$, consideriamo un parallelepipedo di volume $h_1h_2h_3$, dove $h_1, h_2, h_3$ sono piccole variazioni delle variabili indipendenti $x,y,z$ (e non per forza queste variazioni devono essere infinitesime). Tali variazioni coincidono con il differenziale delle funzioni $f(x)=x$, $f(y)=y$, ed $f(z)=z$ per cui è possibile porre $h_1=dx$, $h_2=dy$, $h_3=dz$ giusto?
Stanno così le cose? Qualora non fosse cosi, non vi sembra che l'uso di quel $d$ sia un vero e proprio "abuso di notazione", oltre a non avere nessun senso?
Grazie mille.
Risposte
UP!
secondo me ti complichi la vita, in fisica il differenziale di una variabile indipendente è una quantità molto piccola. per avere un po' di familiarità con più variabili aspetta di affrontare l'argomento nei corsi di matematica, adesso non perderti in questi ragionamenti. questa è la mia opinione.
"enr87":
secondo me ti complichi la vita, in fisica il differenziale di una variabile indipendente è una quantità molto piccola. per avere un po' di familiarità con più variabili aspetta di affrontare l'argomento nei corsi di matematica, adesso non perderti in questi ragionamenti. questa è la mia opinione.
Quoto. Per un fisico, un "infinitesimo" è semplicemente una cosa molto piccola. Che questo non sia logicamente consistente è secondario. Come dice G. Folland in QFT: a tourist guide for mathematicians, in fisica "flexibility and concision are more important than consistency".
PS: Nello specifico, un fisico che parla di \(dxdy\) intende l'area di un quadratino molto piccolo. Che il simbolo usato coincida con quello di differenziale è qualcosa di cui non occorre preoccuparsi. Esiste poi una teoria matematica (forme differenziali) che sistematizza questo discorso e giustifica l'uso di tali simboli, ma questo è un altro problema.
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