Sfere cariche
Sottopongo alla vostra attenzione un problema di elettrostatica, non banale.
Immaginiamo due distribuzioni sferiche di carica (densità di carica omogenea) di raggio R e con centri distanti d. Una sfera ha carica politiva Q, l'altra negativa -Q. Le sfere sono ferme.
Con quale forza di attraggono le sfere?
Immaginiamo due distribuzioni sferiche di carica (densità di carica omogenea) di raggio R e con centri distanti d. Una sfera ha carica politiva Q, l'altra negativa -Q. Le sfere sono ferme.
Con quale forza di attraggono le sfere?
Risposte
Non so se dico una sciocchezza, ma a prima vista mi pare che la forza sia uguale alla forza di Coulomb tra due cariche uguali a quelle date, puntiformi e poste nei centri delle due sfere.
Se i raggi sono piccoli rispetto alla distanza fra le sfere. Se no, devi risolvere un integrale triplo 
"anonymous_56b3e2":
Se i raggi sono piccoli rispetto alla distanza fra le sfere. Se no, devi risolvere un integrale triplo
Non sono molto sicuro, ho la sensazione che anche l'integrale triplo dia lo stesso risultato. Mi par di ricordare questo anche in relazione alla gravitazione, dove le formule sono simili.
ciao e grazie per l'interesse. purtroppo non ho la soluzione è ci vorrei pensare insieme a voi. A intuito direi che la parte di carica di ogni sfera che si affaccia all'altra sfera, siccome più vicina all'altra sfera è attratta maggiormente quindi "pesa" di più che la parte lontana. inoltre pesa di più in modo non lineare. questo mi fa pensare che non sia come considerare due cariche puntiformi centrate nelle origini delle sfere.
l'approccio rigoroso sarebbe fare l integrale e vedere cosa viene fuori, ma forse ci sono strade più rapide, che sfruttano simmetrie, o teorema di Gauss in modo astuto.
l'approccio rigoroso sarebbe fare l integrale e vedere cosa viene fuori, ma forse ci sono strade più rapide, che sfruttano simmetrie, o teorema di Gauss in modo astuto.
L'integrale l'avrei risolto (sfruttando le simmetrie del problema) e non sarebbe difficile, però mi esce un fattore $3/2$ indesiderato.
Comunque il risultato che mi viene è questo:
[tex]F_x=\frac{3}{2}k Q^2 \frac{2R+\sqrt{2R^2-2Rd+d^2}-\sqrt{2R^2+2Rd+d^2}}{R^3}[/tex],
dove i centri delle sfere sono posti sull'asse $x$, $d$ è la distanza fra i centri, $R$ è il raggio delle sfere e $Q$ è la carica di una singola sfera.
Il limite per $d \rightarrow \infty$ è $F_x=0$ e questo è giusto.
Il limite per $R \rightarrow0$, invece, è $F_x=\frac{3}{2}kQ^2\frac{1}{d^2}$ e questo non andrebbe bene per colpa di quel $3/2$
Comunque il risultato che mi viene è questo:
[tex]F_x=\frac{3}{2}k Q^2 \frac{2R+\sqrt{2R^2-2Rd+d^2}-\sqrt{2R^2+2Rd+d^2}}{R^3}[/tex],
dove i centri delle sfere sono posti sull'asse $x$, $d$ è la distanza fra i centri, $R$ è il raggio delle sfere e $Q$ è la carica di una singola sfera.
Il limite per $d \rightarrow \infty$ è $F_x=0$ e questo è giusto.
Il limite per $R \rightarrow0$, invece, è $F_x=\frac{3}{2}kQ^2\frac{1}{d^2}$ e questo non andrebbe bene per colpa di quel $3/2$
Non mi ci ritrovo nella conclusione di zpe.
Se io prendo una sfera non conduttrice carica con densità di carica uniforme e isolata nello spazio, per il teorema di gauss nello spazio circostante il campo va come se la carica fosse tutta concentrata al suo centro. Dunque anche gli effetti sugli altri corpi presenti nello spazio devono essere identici nei due casi.
Quanto detto vale per ciascuna delle due sfere, dunque resto dell'idea che tutto va come se le cariche fossero concentrate nei centri, quindi anche la forza reciproca.
Si potrebbe obiettare che quando le due sfere sono contemporaneamente presenti nello spazio il campo dell'una viene distorto dalla presenza dell'altra, ma questo è un falso problema. Sarebbe vero se le sfere fossero conduttrici, perché allora la presenza di ciascuna sfera modificherebbe la distribuzione di cariche sull'altra sfera. Ma in questo caso essendo le sfere non conduttrici, la configurazione delle cariche non viene influenzata dalla reciproca presenza delle sfere.
Ad ogni modo per eccesso di scrupolo faccio anche la seguente prova.
Prendo una carica puntiforme q e calcolo la forza esercitata nei confronti di un guscio sferico carico uniformemente e posto a una distanza $x_c$ (il suo centro) da essa. Dopo qualche laborioso integrale trovo che la forza è uguale a quella che si avrebbe se la carica del guscio sferico fosse tutta concentrata al suo centro.
Riporto solo l'impostazione del calcolo della forza (o meglio della sua componente assiale tra carica q e centro del guscio, perché per ragioni di simmetria le altre componenti si elidono), tralasciando il calcolo stesso che riempirebbe inutilmente la pagina:
$$d{F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {2\pi R\sin \theta } \right)\left( {\sigma Rd\theta } \right)\frac{x}
{{{r^3}}}$$
$$d{F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}2\pi \sigma {R^2}\frac{{{x_c}\sin \theta - R\cos \theta \sin \theta }}
{{{{\left( {{x_c}^2 + {R^2} - 2{x_c}R\cos \theta } \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}d\theta $$
Risultato
$${F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{x_c}^2}}\left( {4\pi \sigma {R^2}} \right)$$
dove $\sigma$ è la densità (superficiale) di carica del guscio sferico, e quindi naturalmente
$${4\pi \sigma {R^2}}$$
è la carica totale del guscio sferico, mentre $x_c$ è la distanza dalla carica q del centro del guscio sferico.
Si può fare un'altra più facile verifica lavorando con l'energia potenziale, perché l'integrazione del potenziale è più semplice da eseguire rispetto a quella del campo elettrico.
Se pensiamo la sfera piena costituita da gusci sferici concentrici, il risultato si estende dicendo che la forza esercitata da una carica puntiforme su una sfera piena carica uniformemente, è uguale alla forza che si avrebbe se la carica della sfera fosse tutta concentrata al suo centro.
Ripetendo il processo concettuale al contrario, partendo dalla sfera piena e sommando le forze esercitate sugli elementi di carica che costituiscono l'altra sfera, si ottiene dunque come risultato che le due sfere esercitano tra loro forze uguali a quelle che eserciterebbero cariche concentrate poste ai loro centri.
Se io prendo una sfera non conduttrice carica con densità di carica uniforme e isolata nello spazio, per il teorema di gauss nello spazio circostante il campo va come se la carica fosse tutta concentrata al suo centro. Dunque anche gli effetti sugli altri corpi presenti nello spazio devono essere identici nei due casi.
Quanto detto vale per ciascuna delle due sfere, dunque resto dell'idea che tutto va come se le cariche fossero concentrate nei centri, quindi anche la forza reciproca.
Si potrebbe obiettare che quando le due sfere sono contemporaneamente presenti nello spazio il campo dell'una viene distorto dalla presenza dell'altra, ma questo è un falso problema. Sarebbe vero se le sfere fossero conduttrici, perché allora la presenza di ciascuna sfera modificherebbe la distribuzione di cariche sull'altra sfera. Ma in questo caso essendo le sfere non conduttrici, la configurazione delle cariche non viene influenzata dalla reciproca presenza delle sfere.
Ad ogni modo per eccesso di scrupolo faccio anche la seguente prova.
Prendo una carica puntiforme q e calcolo la forza esercitata nei confronti di un guscio sferico carico uniformemente e posto a una distanza $x_c$ (il suo centro) da essa. Dopo qualche laborioso integrale trovo che la forza è uguale a quella che si avrebbe se la carica del guscio sferico fosse tutta concentrata al suo centro.
Riporto solo l'impostazione del calcolo della forza (o meglio della sua componente assiale tra carica q e centro del guscio, perché per ragioni di simmetria le altre componenti si elidono), tralasciando il calcolo stesso che riempirebbe inutilmente la pagina:
$$d{F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {2\pi R\sin \theta } \right)\left( {\sigma Rd\theta } \right)\frac{x}
{{{r^3}}}$$
$$d{F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}2\pi \sigma {R^2}\frac{{{x_c}\sin \theta - R\cos \theta \sin \theta }}
{{{{\left( {{x_c}^2 + {R^2} - 2{x_c}R\cos \theta } \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}d\theta $$
Risultato
$${F_x} = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{x_c}^2}}\left( {4\pi \sigma {R^2}} \right)$$
dove $\sigma$ è la densità (superficiale) di carica del guscio sferico, e quindi naturalmente
$${4\pi \sigma {R^2}}$$
è la carica totale del guscio sferico, mentre $x_c$ è la distanza dalla carica q del centro del guscio sferico.
Si può fare un'altra più facile verifica lavorando con l'energia potenziale, perché l'integrazione del potenziale è più semplice da eseguire rispetto a quella del campo elettrico.
Se pensiamo la sfera piena costituita da gusci sferici concentrici, il risultato si estende dicendo che la forza esercitata da una carica puntiforme su una sfera piena carica uniformemente, è uguale alla forza che si avrebbe se la carica della sfera fosse tutta concentrata al suo centro.
Ripetendo il processo concettuale al contrario, partendo dalla sfera piena e sommando le forze esercitate sugli elementi di carica che costituiscono l'altra sfera, si ottiene dunque come risultato che le due sfere esercitano tra loro forze uguali a quelle che eserciterebbero cariche concentrate poste ai loro centri.
Il mio integrale era banalmente sbagliato. Ho integrato su di un cilindro, invece che su di una sfera. Chiedo venia
Ho risolto finalmente l'integrale e confermo la soluzione di Falco5x.
$F_x=\frac{kQ^2}{d^2}$.
Banalmente Coulomb per cariche puntiformi
$F_x=\frac{kQ^2}{d^2}$.
Banalmente Coulomb per cariche puntiformi
Proprio così, ma non serve scomodare nessun integrale "complesso", bastava ricordare la "proprietà del valore medio" delle funzioni armoniche per andare a dire che, per ogni guscio sferico infinitesimo della seconda sfera il valore medio per il potenziale $V_1$ su detto guscio è pari al valore che detto potenziale assume nel suo centro $O_2$ e di conseguenza l'energia potenziale elettrostatica della seconda sfera sarà
$U_2=V_1(O_2)Q_2$
$U_2=V_1(O_2)Q_2$
Il mio babbo mi diceva sempre: "chi non ha testa ha gambe"
"anonymous_56b3e2":
Il mio babbo mi diceva sempre: "chi non ha testa ha gambe"
Oppure è una capra come me.
Io quella proprietà del valore medio manco me la ricordo, forse non l'ho mai saputa.
(rettifico: la sapevo, ma troppo tempo fa)
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