Sfera su piano inclinato

[Riemanniano]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano su questo esercizio.

Una sfera di massa m e raggio r è posta in cima ad un piano inclinato alto h e lungo l (già qua non riesco a decidermi se intendono l'ipotenusa o la base... ad ogni buon conto, chiamo $gamma$ l'angolo). Sapendo che inizia a rotolare, trovare la velocità con cui arriva in fondo al piano. Ipotizzando che continui a rotolare su un piano orizzontale dello stesso materiale, dopo quanto tempo e a che distanza si fermerà dalla base del piano?

Per la parte relativa al piano inclinato, dovrebbe essere: $ mgh=1/2mv_f^2+1/2I_comega_f^2 $ con C centro di massa della sfera e $I_c=2/5mr^2$, da cui

$v_f=sqrt(10/7gh)$ e $a=(mgr^2sengamma)/(mr^2+I_c)$

A questo punto cominciano i dubbi. Sarei tentato di ricavarmi anche la forza d'attrito lungo il piano inclinato ($F_a=(mgI_csengamma)/(mr^2+I_c)$) e, da questa, risalire al coefficiente sfera-piano, conoscendo la componente perpendicolare della forza peso ($mu=F_a/(mgcos(gamma))$). A quel punto, da $-F_a=ma+I_c(alpha)/r=ma+I_ca/r^2$ mi ricaverei la decelerazione nel piano orizzontale, con la forza d'attrito ricavabile moltiplicando il $mu$ di prima per la forza peso $mg$. Da li in poi, con le leggi del moto accelerato ricaverei quello mi chiedono.

Può andare come ragionamento?

Il dubbio mi viene perché abbiamo visto un esercizio che esprime $mu$ come rapporto tra un coefficiente b e il raggio R del corpo che rotola. Quindi la $F_a$ sul piano orizzontale andrebbe calcolata con un $mu$ diverso da quello che ricaverei io con l'altro ragionamento.

Grazie fin d'ora a chi vorrà aiutarmi.

[Shackle]

Una sfera di massa m e raggio r è posta in cima ad un piano inclinato alto h e lungo l (già qua non riesco a decidermi se intendono l'ipotenusa o la base... ad ogni buon conto, chiamo γ l'angolo).

Ciao. Ritengo che sia : $sen\gamma =h/l$ , come tu hai pensato.

C'è forse una furbata del tuo docente , in questo esercizio ....

Una sfera , posta in cima ad un piano inclinato, cade giù con rotolamento puro, nella ipotesi che il coefficiente di attrito statico sia sufficiente ad assicurare tale rotolamento puro; c'è infatti un minimo per il coefficiente $mu_s$, condizionato dall'inclinazione del piano, al di sotto del quale il moto non è di puro rotolamento. SE il piano fosse liscio, come la sfera, essa traslerebbe soltanto, senza rotolare.
Ma supponiamo pure che il coefficiente sia superiore al minimo.
Perchè cade rotolando , e accelera ? Perchè la forza di attrito statico ha un momento rispetto al centro della sfera, che è causa dell'accelerazione angolare della stessa . Però questa forza di attrito statico non compie lavoro, perchè nel punto di contatto tra sfera e piano inclinato non c'è moto relativo tra le superfici a contatto.

Quando arriva sul piano orizzontale , se guardi la formula dell'accelerazione noti che , diventando $gamma=0$ , l'accelerazione si annulla . Allora :

1) Furbata del tuo docente : la risposta è che, in condizioni puramente ideali , la sfera prosegue roto-traslando con moto traslatorio a velocità costante e rotolando di conseguenza con velocità angolare pure costante , data dalla condizione di rotolamento puro , e non si ferma mai ! . Essendo nulla l'accelerazione , non c'è più alcuna forza che accelera o rallenta la sfera. Il piano potrebbe anche diventare liscio , e la sfera continua a roto-traslare. Pensa ad una palla di biliardo lanciata, con moto rotatorio iniziale, sulla superficie ghiacciata di un lago, ipoteticamente del tutto liscia. La sfera conserva il suo momento angolare iniziale.
Ma queste sono condizioni , ripeto, puramente ideali .

2) oppure, come pensi, si dovrebbe considerare un'altra forma di attrito della sfera col piano, e precisamente l'attrito volvente , di cui però tu non sai nulla, in questo esercizio. La sfera e il piano si deformano , e la risultante verticale delle forze elementari esercitate dal piano sulla sfera è spostata in avanti, rispetto al centro della sfera , sicché c'è un momento frenante che rallenta la rotazione , fino all'arresto. Poi c'è anche l'attrito con l'aria , ma è secondario.

Io penso più alla prima risposta, anche perchè, se si deve considerare l'attrito volvente sul piano orizzontale , lo si deve considerare anche sul piano inclinato, visto che hanno le stesse caratteristiche. E ciò non accade .

[Riemanniano]

La "carognata" (chiamiamola con il suo nome ) in effetti avevo sperato di poterla annoverare come tertium non datur

[Shackle]

Beh, "carognata" forse é un po' eccessivo , dai ! Il tuo prof voleva solo saggiare il grado di conoscenza che avete di certi problemi. Capita spesso che i prof facciano qualche sgambetto !
In compenso, ora puoi un po' pavoneggiarti con lui e con i tuoi amici, spiegando come stanno le cose. Sai, di questo problema abbiamo parlato spesso nel forum, perchè la faccenda è alquanto controintuitiva .
Ma dopo, quando ci rifletti un po' su , la logica ti appare in tutta la sua semplicità. Se vuoi vedere una vecchia discussione , con la trattazione analitica , eccola .
Ma ce ne sono molte altre, , basta usare la funzione "cerca " e digitare "rotolamento puro " .

Ci sono due questioni, poste nel link ora riportato , che non hanno avuto risposta a suo tempo; la prima è questa:

Ma perché sia rotolamento puro, il piano non deve essere più inclinato di un certo angolo, che ti puoi ricavare da solo dalla condizione : $F_t <= muF_n $ .

la seconda è quest'altra :

Se metti in cima a uno stesso piano inclinato una sfera, un cilindro pieno, un cilindro cavo, quale di questi tre corpi arriva prima in fondo ? E la massa, c'entra qualcosa?

Vuoi provare a rispondere tu ? Per la prima , la condizione è già indicata . Per la seconda , basta considerare l'accelerazione del CM :

$a_C = (gsenalpha) / (1 + I_C/(mR^2) ) $

il corpo per il quale il rapporto tra momento id inerzia $I_C$ e quantità $mR^2$ è maggiore, arriva dopo gli altri .....
Questo rapporto si chiama "raggio di girazione " o anche "raggio di inerzia" del corpo .