Sfera isolante con densità di carica volumetrica
Una sfera isolante caratterizzata da una densità di carica volumetrica costante $rho= 1(muC)/m^3$ ha raggio R pari a 10 cm.
Si determini il potenziale V(r) all'interno della sfera:
1) assumento che il potenziale sia nullo per r=0;
2) assumendo che il potenziale sia nullo per il punto all'infinito;
Discutere il risultato confrontando i due casi.
Allora il potenziale è uguale al lavoro fatto per portare una carica da un punto $r$ all'infinito: $V(r)= int_(r)^infty E*dr'$.
Il flusso lo posso calcolare con questa formula: $Phi(E)=int_S (E*dS)= Eint_S dS= E4pir^2$.
Dal teorema di Gauss: $Phi(E)= Q/epsilon_0 =(rho(4/3)pir^3)/epsilon_0$ con $rho=Q/V => Q= rhoV=rho(4/3)pir^3$.
Quindi: $E4pir^2=(rho(4/3)pir^3)/epsilon_0 => E_i= (rho(4/3)pir^3)/(4piepsilon_0r^2)=(rhor)/(3epsilon_0)= [(Qr)/((4/3)piR^3)]/(3epsilon_0) = (Qr)/(4piepsilon_0R^3)= (KQr)/R^3$
Quindi il potenziale: $V(r)= int_(r)^infty E*dr' = V_s - int_R^r (E_i*dr')=(KQ)/R-(KQ)/(2R^3)*[r^2-R^2]$ con $V_s= -int_infty^R (E_sdr')= (KQ)/R$ avendo considerato $V_s$= potenziale sulla superficie e il potenziale per il punto all'infinito nullo (punto $2$ dell'esercizio)
Per il primo punto dovrei porre semplicemente $r=0$ nell'integrale ? In questo caso nell'integrale del potenziale $V_s$ sulla superficie il punto all'infinito non è più nullo e quindi l'integrale cosa diviene ?
Si determini il potenziale V(r) all'interno della sfera:
1) assumento che il potenziale sia nullo per r=0;
2) assumendo che il potenziale sia nullo per il punto all'infinito;
Discutere il risultato confrontando i due casi.
Allora il potenziale è uguale al lavoro fatto per portare una carica da un punto $r$ all'infinito: $V(r)= int_(r)^infty E*dr'$.
Il flusso lo posso calcolare con questa formula: $Phi(E)=int_S (E*dS)= Eint_S dS= E4pir^2$.
Dal teorema di Gauss: $Phi(E)= Q/epsilon_0 =(rho(4/3)pir^3)/epsilon_0$ con $rho=Q/V => Q= rhoV=rho(4/3)pir^3$.
Quindi: $E4pir^2=(rho(4/3)pir^3)/epsilon_0 => E_i= (rho(4/3)pir^3)/(4piepsilon_0r^2)=(rhor)/(3epsilon_0)= [(Qr)/((4/3)piR^3)]/(3epsilon_0) = (Qr)/(4piepsilon_0R^3)= (KQr)/R^3$
Quindi il potenziale: $V(r)= int_(r)^infty E*dr' = V_s - int_R^r (E_i*dr')=(KQ)/R-(KQ)/(2R^3)*[r^2-R^2]$ con $V_s= -int_infty^R (E_sdr')= (KQ)/R$ avendo considerato $V_s$= potenziale sulla superficie e il potenziale per il punto all'infinito nullo (punto $2$ dell'esercizio)
Per il primo punto dovrei porre semplicemente $r=0$ nell'integrale ? In questo caso nell'integrale del potenziale $V_s$ sulla superficie il punto all'infinito non è più nullo e quindi l'integrale cosa diviene ?
Risposte
Io proverei a svolgere l'integrale per trovare il potenziale come un integrale indefinito senza estremi d'integrazione e porrei una costante generica $C$ come somma al risultato (come si fa in genere per gli integrali indefiniti). Così avrai $V=V(r,C)$ e imponendo $V(0,C)=0$ e $V(\infty,C)=0$ avrai il tuo potenziale nei differenti casi risostituendo la $C$ così trovata.
Ti ringrazio per la risposta. Quindi $V_s=-int(Edr)=-KQ*int -1/r=(KQ)/r + c$ e quindi $V(r,c)= V_s-intEdr=(KQ)/r-(KQ)/R^3 intr^2/2=(KQ)/r-(KQr^2)/(2R^3) + c$ ?
E poi al posto di $r$ dovrei sostituire una volta $0$ e una volta $infty$ e trovarmi le due costanti? Non so se ho capito bene...
C'è qualcuno che può confermare o smentire?
E poi al posto di $r$ dovrei sostituire una volta $0$ e una volta $infty$ e trovarmi le due costanti? Non so se ho capito bene...
C'è qualcuno che può confermare o smentire?
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