Sfera di elettrico e campo elettrico.
Ciao a tutti 
Scrivo per chiedere se qualcuno riesce a darmi una mano con un problema di elettrostatica. Sto svolgendo un problema di cui però purtroppo non ho la soluzione, quindi non posso sapere se sto sbagliando e in che modo.
Ecco il testo
Una carica positiva puntiforme $ Q=3*10^-10C $ è posizionata al centro di una sfera di raggio $ R=10cm $ costituita da materiale dielettrico lineare, isotropo ed omogeneo, di costante dielettrica relativa $ \epsilon_r=4 $ , posta nel vuoto.
Calcolare
a)il valore del modulo del campo elettrico $ E $ a distanza $ R/2 $ e $ 2R $ dal centro della sfera.
b)La densità superficiale $ \sigma_p $ delle cariche di polarizzazione sulla superficie della sfera.
Dunque, per risolvere la prima parte ho pensato di usare il teorema di Gauss.
$ \Phi(E)=E4\pir^2=q/\epsilon_0 $
$ E=int_(0)^(R/2) \frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2) dr $
$ E=\frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_r)int_(0)^(R/2)1/r^2dr $
$ E=\frac(q)(\pi\epsilon_0\epsilon_rR) $ e questo è per la distanza $ R/2 $
Per la distanza $ 2R $ invece devo considerare che in $ [0,R] $ sono in un dielettrico e che invece $ [R,2R] $ sono nel vuoto.
Quindi pensavo di fare così
$ E=\frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_r)int_(0)^(R) 1/r^2 dr +\frac(q)(4\pi\epsilon_0)int_(R)^(2R) 1/r^2 dr $ .
Per la seconda domanda invece pensavo di considerare il vettore polarizzazione
$ \sigma_p=P=\epsilon_0(\epsilon_r-1)E(R) $ con $ E(R) $ il campo elettrico calcolato sopra a distanza $ R $ dal centro.
Potreste aiutarmi a capire se la mia soluzione ha senso ? Voi come lo fareste??
Grazie mille:)
Scrivo per chiedere se qualcuno riesce a darmi una mano con un problema di elettrostatica. Sto svolgendo un problema di cui però purtroppo non ho la soluzione, quindi non posso sapere se sto sbagliando e in che modo.
Ecco il testo
Una carica positiva puntiforme $ Q=3*10^-10C $ è posizionata al centro di una sfera di raggio $ R=10cm $ costituita da materiale dielettrico lineare, isotropo ed omogeneo, di costante dielettrica relativa $ \epsilon_r=4 $ , posta nel vuoto.
Calcolare
a)il valore del modulo del campo elettrico $ E $ a distanza $ R/2 $ e $ 2R $ dal centro della sfera.
b)La densità superficiale $ \sigma_p $ delle cariche di polarizzazione sulla superficie della sfera.
Dunque, per risolvere la prima parte ho pensato di usare il teorema di Gauss.
$ \Phi(E)=E4\pir^2=q/\epsilon_0 $
$ E=int_(0)^(R/2) \frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2) dr $
$ E=\frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_r)int_(0)^(R/2)1/r^2dr $
$ E=\frac(q)(\pi\epsilon_0\epsilon_rR) $ e questo è per la distanza $ R/2 $
Per la distanza $ 2R $ invece devo considerare che in $ [0,R] $ sono in un dielettrico e che invece $ [R,2R] $ sono nel vuoto.
Quindi pensavo di fare così
$ E=\frac(q)(4\pi\epsilon_0\epsilon_r)int_(0)^(R) 1/r^2 dr +\frac(q)(4\pi\epsilon_0)int_(R)^(2R) 1/r^2 dr $ .
Per la seconda domanda invece pensavo di considerare il vettore polarizzazione
$ \sigma_p=P=\epsilon_0(\epsilon_r-1)E(R) $ con $ E(R) $ il campo elettrico calcolato sopra a distanza $ R $ dal centro.
Potreste aiutarmi a capire se la mia soluzione ha senso ? Voi come lo fareste??
Grazie mille:)
Risposte
Per il punto a) e la distanza 2R, direi che la presenza del dielettrico non conta niente, e vale solo la carica centrale: teorema di Gauss nella sua forma più semplice
mgrau ha ragione, inoltre se la carica è puntiforme e non distribuita non devi neanche integrare (altrimenti ottieni una cosa che dimensionalmente non ha senso), basta porre $r=R/2$ prima e $r=2R$ poi e aver cura di usare la costante dielettrica giusta
Scusate.. credo di non aver ben capito perché quando calcolo il campo a distanza 2R nel vuoto non devo considerare il fatto che prima ci sia stata la presenza di un dielettrico.
Come mai la presenza del dielettrico non altera il campo??
Come mai la presenza del dielettrico non altera il campo??
Hai presente cosa dice il teorema di Gauss? Unitamente al fatto che il campo ha simmetria sferica...
Okay ci ho ragionato un po' e penso di aver capito.
Dunque se non sbaglio dovrebbe valere la stessa cosa anche nel caso inverso? Mi spiego meglio:
Se ho un materiale dielettrico dentro al quale ricavo una sfera di raggio R (in cui faccio il vuoto) con al centro una carica e voglio calcolo il campo elettrico a distanza r>R (quindi nel dielettrico), devo considerare solo il campo del dielettrico, ''infischiandomene'' del fatto che prima ci fosse il vuoto. Corretto?
Comunque grazie mille
Dunque se non sbaglio dovrebbe valere la stessa cosa anche nel caso inverso? Mi spiego meglio:
Se ho un materiale dielettrico dentro al quale ricavo una sfera di raggio R (in cui faccio il vuoto) con al centro una carica e voglio calcolo il campo elettrico a distanza r>R (quindi nel dielettrico), devo considerare solo il campo del dielettrico, ''infischiandomene'' del fatto che prima ci fosse il vuoto. Corretto?
Comunque grazie mille
Guarda, spesso il teorema di Gauss si utilizza - come nel tuo caso - per trovare il campo data la distribuzione di carica. Invece non mi è chiara la tua intenzione
In questo caso, se vuoi trovare il campo sulla sfera che passa per il dielettrico, devi considerare ovviamente la carica centrale, e poi anche le cariche di polarizzazione sulla faccia interna della sfera; insomma TUTTE le cariche entro la sfera che stai trattando
"Nattramn16":
Se ho un materiale dielettrico dentro al quale ricavo una sfera di raggio R (in cui faccio il vuoto) con al centro una carica e voglio calcolo il campo elettrico a distanza r>R (quindi nel dielettrico), devo considerare solo il campo del dielettrico, ''infischiandomene'' del fatto che prima ci fosse il vuoto.
In questo caso, se vuoi trovare il campo sulla sfera che passa per il dielettrico, devi considerare ovviamente la carica centrale, e poi anche le cariche di polarizzazione sulla faccia interna della sfera; insomma TUTTE le cariche entro la sfera che stai trattando
Allora, provo a esprimermi meglio, per spiegare su cosa mi sono ''incartato''.
Dunque, come usare il teorema di gauss l'ho capito, però, mi confondo quando devo considerare una situazione del tipo:
Ho una sfera di dielettrico di raggio R immersa nel vuoto e devo calcolare il campo a distanza r>R. In tal caso non capivo bene se dovessi considerare solo $ \epsilon_0 $ oppure $ \epsilon_0\epsilon_r $ . In sostanza mi ''turbava'' il fatto che prima avessi un dielettrico e poi no.
Tu mi hai risposto dicendomi che no, non devo considerare il dielettrico e che il campo elettrico sarebbe solamente:
$ E(r)=q/(4\pi\epsilon_0r) $ senza preoccuparmi del fatto che prima per un certo tratto R ci fosse stato un dielettrico... giusto?
Ora quindi mi chiedo, se la situazione è al contrario, ovvero, prima ho una sfera di raggio R fatta di ''vuoto'' e poi ho un dielettrico che la avvolge e devo calcolare il campo a distanza r>R (quindi nel dielettrico), è giusto scrivere questa cosa?
$ E(r)=q/(4\pi\epsilon_0epsilon_rr) $
Questo esempio che ti sto dicendo viene dal libro... in cui appunto la soluzione è proprio quella della riga sopra.
Quindi mi viene da dedurne, molto brutalmente, che quando cerco il campo elettrico a un certa distanza non mi devo curare di che tipo di materiale avessi prima...
Dunque, come usare il teorema di gauss l'ho capito, però, mi confondo quando devo considerare una situazione del tipo:
Ho una sfera di dielettrico di raggio R immersa nel vuoto e devo calcolare il campo a distanza r>R. In tal caso non capivo bene se dovessi considerare solo $ \epsilon_0 $ oppure $ \epsilon_0\epsilon_r $ . In sostanza mi ''turbava'' il fatto che prima avessi un dielettrico e poi no.
Tu mi hai risposto dicendomi che no, non devo considerare il dielettrico e che il campo elettrico sarebbe solamente:
$ E(r)=q/(4\pi\epsilon_0r) $ senza preoccuparmi del fatto che prima per un certo tratto R ci fosse stato un dielettrico... giusto?
Ora quindi mi chiedo, se la situazione è al contrario, ovvero, prima ho una sfera di raggio R fatta di ''vuoto'' e poi ho un dielettrico che la avvolge e devo calcolare il campo a distanza r>R (quindi nel dielettrico), è giusto scrivere questa cosa?
$ E(r)=q/(4\pi\epsilon_0epsilon_rr) $
Questo esempio che ti sto dicendo viene dal libro... in cui appunto la soluzione è proprio quella della riga sopra.
Quindi mi viene da dedurne, molto brutalmente, che quando cerco il campo elettrico a un certa distanza non mi devo curare di che tipo di materiale avessi prima...
Se ti interessa il campo sulla superficie della sfera tratteggiata, devi considerare le cariche contenute nella sfera, che sono:
la carica centrale (positiva) e le cariche di polarizzazione sulla faccia interna del dielettrico (negative).
Se scrivi la tua formula mettendoci solo $\epsilon_0$ è come se ti dimenticassi delle cariche di polarizzazione.
Se hai $\epsilon_r = 4$ questo vuol dire che le cariche nette si riducono ad $1/4$ rispetto al vuoto, quindi che le cariche di polarizzazione sono i $3/4$ di q
Le cariche totali entro la sfera tratteggiata sono $1/4$ rispetto al vuoto, e il campo anche
Okay ora credo di aver capito
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