Sfera carica e Campo Elettrico
Ho risolto parte di questo esercizio da esame di Fisica 2, e vi chiedo un riscontro per capire dove sbaglio.
"Supporre che intorno ad un punto O sia distribuita con simmetria radiale della carica elettrostatica. Al variare della distanza r da O, la densità di carica volumetrica è espressa dalla funzione $ rho (r)=A(r/r_0-1) $ , con $ A=1.0*10^-6 C/m^3 $ e $ r_0=10 cm $.
Determinare:
a. la carica netta presente in una sfera di raggio R=30cm con centro in O.
b. a quale distanza r1 da O si annulla il campo elettrostatico.
c. a quale distanza r2 da O il potenziale elettrostatico assume lo stesso valore che ha in O.
d. L'energia elettrostatica contenuta nella sfera.
Se a distanza R dal centro della sfera è posta in quiete una piccola carica puntiforme $ q_0=10^-11 $ , calcolare la forza esercitata sulla carica q0 e la velocità con cui questa carica raggiunge un punto posto a distanza $ R_2=2R $ da O."
a. la carica netta presente in una sfera di raggio R=30cm con centro in O.
$ Q=int_(0)^(R) rho (r) dV=int_(0)^(R) A(r/r_0-1)4pir^2 dr=A/r_0piR^4-A4piR^3/3=1,41*10^-7 $
b. a quale distanza r1 da O si annulla il campo elettrostatico.
Considerando che il campo elettrostatico si annulla quando Q=0 ho eguagliato a zero l'espressione della carica trovata prima.
$ A/r_0pir_1^4-A4pir_1^3/3=0 $
$ r_1=4/3r_0 $
c. a quale distanza r2 da O il potenziale elettrostatico assume lo stesso valore che ha in O.
Nel centro O il potenziale sarà massimo, quindi mi verrebbe da dire $ r_2=0 $
Per il quarto e quinto quesito ho un dubbio. Come dovrei calcolare l'energia elettrostatica interna alla sfera e la forza esercitata sulla carica q0?
"Supporre che intorno ad un punto O sia distribuita con simmetria radiale della carica elettrostatica. Al variare della distanza r da O, la densità di carica volumetrica è espressa dalla funzione $ rho (r)=A(r/r_0-1) $ , con $ A=1.0*10^-6 C/m^3 $ e $ r_0=10 cm $.
Determinare:
a. la carica netta presente in una sfera di raggio R=30cm con centro in O.
b. a quale distanza r1 da O si annulla il campo elettrostatico.
c. a quale distanza r2 da O il potenziale elettrostatico assume lo stesso valore che ha in O.
d. L'energia elettrostatica contenuta nella sfera.
Se a distanza R dal centro della sfera è posta in quiete una piccola carica puntiforme $ q_0=10^-11 $ , calcolare la forza esercitata sulla carica q0 e la velocità con cui questa carica raggiunge un punto posto a distanza $ R_2=2R $ da O."
a. la carica netta presente in una sfera di raggio R=30cm con centro in O.
$ Q=int_(0)^(R) rho (r) dV=int_(0)^(R) A(r/r_0-1)4pir^2 dr=A/r_0piR^4-A4piR^3/3=1,41*10^-7 $
b. a quale distanza r1 da O si annulla il campo elettrostatico.
Considerando che il campo elettrostatico si annulla quando Q=0 ho eguagliato a zero l'espressione della carica trovata prima.
$ A/r_0pir_1^4-A4pir_1^3/3=0 $
$ r_1=4/3r_0 $
c. a quale distanza r2 da O il potenziale elettrostatico assume lo stesso valore che ha in O.
Nel centro O il potenziale sarà massimo, quindi mi verrebbe da dire $ r_2=0 $
Per il quarto e quinto quesito ho un dubbio. Come dovrei calcolare l'energia elettrostatica interna alla sfera e la forza esercitata sulla carica q0?
Risposte
a) OK (non ho fatto il calcolo numerico)
b) OK, corretto per la simmetria sferica e per T. di Gauss.
c) Fosse anche vero bisogna dimostrarlo. Comunque la generalizzazione del risultato della domanda a) ad un r qualsiasi e l'uso del T. di Gauss fornisce il campo in tutto lo spazio, per cui si può integrare per trovare il potenziale.
d) Usa la formula della densità di energia elettrostatica per unità di volume ($u_E= 1/2 epsilon E^2$) estesa alla sfera di raggio R.
e) La forza chiaramente dipende dal valore del campo in quel punto, mentre la velocità si ricava da un bilancio energetico con la variazione energia potenziale.
b) OK, corretto per la simmetria sferica e per T. di Gauss.
c) Fosse anche vero bisogna dimostrarlo. Comunque la generalizzazione del risultato della domanda a) ad un r qualsiasi e l'uso del T. di Gauss fornisce il campo in tutto lo spazio, per cui si può integrare per trovare il potenziale.
d) Usa la formula della densità di energia elettrostatica per unità di volume ($u_E= 1/2 epsilon E^2$) estesa alla sfera di raggio R.
e) La forza chiaramente dipende dal valore del campo in quel punto, mentre la velocità si ricava da un bilancio energetico con la variazione energia potenziale.
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