Sfera carica con densità non uniforme
sul libro ho quest esercizio(svolto)=
all' interno di una sfera di raggio R è contenuta una carica q,distribuita uniformemente con densità p(r)=br,con b costante e r distanza dal centro O.
Calcolare b...
(non do i valori numerici di carica e raggio perchè non mi interessano,comunque la carica è data e il raggio pure)...
La risoluzione dice=
q=$\int_{0}^{R} br4\pir^2dr$
ma visto che stiamo parlando di una densità volumetrica è non superficiale,perchè nell'integrale ci mette l'area della sfera e non il volume?
se è come dice il libro,se anche considero questo esercizio qui=
una carica Q è distribuita nel vuoto in una regione sferica di centro 0 e raggio R=10 cm con densità volumetrica non uniforme p=Kr,essendo r la distanza da O e K costante.
Determinare la carica Q e il campo elettrico in un punto P a distanza R/2 da O.
Di questo non ho lo svolgimento ma cmq anche in questo caso devo fare come nel problema precedente?stavolta per trovare q ovviamente.sapete spiegarmi perchè?
all' interno di una sfera di raggio R è contenuta una carica q,distribuita uniformemente con densità p(r)=br,con b costante e r distanza dal centro O.
Calcolare b...
(non do i valori numerici di carica e raggio perchè non mi interessano,comunque la carica è data e il raggio pure)...
La risoluzione dice=
q=$\int_{0}^{R} br4\pir^2dr$
ma visto che stiamo parlando di una densità volumetrica è non superficiale,perchè nell'integrale ci mette l'area della sfera e non il volume?
se è come dice il libro,se anche considero questo esercizio qui=
una carica Q è distribuita nel vuoto in una regione sferica di centro 0 e raggio R=10 cm con densità volumetrica non uniforme p=Kr,essendo r la distanza da O e K costante.
Determinare la carica Q e il campo elettrico in un punto P a distanza R/2 da O.
Di questo non ho lo svolgimento ma cmq anche in questo caso devo fare come nel problema precedente?stavolta per trovare q ovviamente.sapete spiegarmi perchè?
Risposte
puoi scrivere il differenziale del volume come $d 4/3 pi r^3$, da cui ottieni l'espressione sopra differenziando rispetto ad r
ma perchè devo considerare il differenziale del volume?
perchè hai la densità che è funzione di r, quindi se vuoi integrarla devi avere un differenziale dr. sono cose che capirai meglio coi corsi di matematica
infatti io dr l'ho messo nell'integrale....ma se ci metto $4/3\pir^3$ non è lo stesso...
Se la densità di carica nel volume è $rho=b*r$, il valore della costante $b$ di proporzionalità si può calcolare conoscendo il raggio $R$ della sfera e la carica totale $Q$.
La carica totale $Q$ si può considerare la somma delle cariche contenute in gusci sferici di raggio $r$ e spessore infinitesimo $dr$, il cui volume è $dV=4*pi*r^2*dr$. Perciò la carica infinitesima nel guscio è $dq=rho*dV=(b*r)*(4*pi*r^2*dr)$.
Di conseguenza
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^Rb*r*4*pi*r^2dr=4*pi*b\int_0^Rr^3dr=4*pi*b*1/4*R^4=pi*b*R^4$,
da cui
$b=Q/(pi*R^4)$.
La carica totale $Q$ si può considerare la somma delle cariche contenute in gusci sferici di raggio $r$ e spessore infinitesimo $dr$, il cui volume è $dV=4*pi*r^2*dr$. Perciò la carica infinitesima nel guscio è $dq=rho*dV=(b*r)*(4*pi*r^2*dr)$.
Di conseguenza
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^Rb*r*4*pi*r^2dr=4*pi*b\int_0^Rr^3dr=4*pi*b*1/4*R^4=pi*b*R^4$,
da cui
$b=Q/(pi*R^4)$.
"katesweet9":
infatti io dr l'ho messo nell'integrale....ma se ci metto $4/3\pir^3$ non è lo stesso...
la carica volumica si scrive come integrale sul volume della densità per un volumetto infinitesimo:
$int_V rhp dV = int_V br \ d 4/3 pi r^3 = int br 4 pi r^2 dr$
ok ora è chiaro...quindi è lo stesso anche per il secondo esercizio giusto?ti ringrazio
ne ho provato a fare io uno simile,con $\rho=\rho_o(r/R)$,R raggio della sfera.
allora $Q=\rho_0*4\pi/R\int_{0}^{R}r^3 dr=\rho_0\piR^3$
mentre il potenziale al centro è=
$V(0)=k_e\int_{0}^{R}\rhod\tau/r= 1/3k_e\rho_0*4\piR$
è giusto?
allora $Q=\rho_0*4\pi/R\int_{0}^{R}r^3 dr=\rho_0\piR^3$
mentre il potenziale al centro è=
$V(0)=k_e\int_{0}^{R}\rhod\tau/r= 1/3k_e\rho_0*4\piR$
è giusto?
"katesweet9":
ne ho provato a fare io uno simile,con $\rho=\rho_o(r/R)$,R raggio della sfera.
allora $Q=\rho_0*4\pi/R\int_{0}^{R}r^3 dr=\rho_0\piR^3$
mentre il potenziale al centro è=
$V(0)=k_e\int_{0}^{R}\rhod\tau/r= 1/3k_e\rho_0*4\piR$
è giusto?
A me sembrerebbe così:
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^R rho_o*r/R*4*pi*r^2 dr=$
$4*pi*rho_0/R*\int_0^R r^3 dr=4*pi*rho_0/R*1/4*R^4=pi*rho_0*R^3$,
$V(0) = \int_(Volume)k_e (dq)/r = \int_(Volume) k_e*rho* 1/r d(Volume)=$
$ \int_0^R k_e* rho_o*r/R*1/r*4*pi*r^2 dr=4* k_e*pi*rho_0/R*\int_0^R r^2 dr=$
$4*k_e*pi*rho_0/R*1/3*R^3 =4/3* pi*k_e*rho_0*R^2$.
Poiché
$Q=pi*rho_0*R^3$,
allora
$Q/R=pi*rho_0*R^2$
e la seconda si può riscrivere come
$V(0)=4/3* pi*k_e*rho_0*R^2=4/3*k_e*Q/R$.
hai ragione tu chiarotta,non avevo semplificato una R...grazie ancora a tutti e due =)
Salve a tutti 
io ho un problema diverso da quello del collega, ma riguarda questo stesso esercizio, che vi riscrivo qui:
All'interno di una sfera di raggio R=10 cm è contenuta una carica q=8*$10^-9$ C, distribuita uniformemente con densità P(r)=br, con b costante ed r distanza dal centro O della sfera. Calcolare a) la costante b, b)il campo elettrostatico E(r) e la differenza di potenziale tra il centro O e la superficie sferica.
Il mio problema riguarda il punto a dell'esercizio. Applicando il teorema di Gauss, io trovo la formula E(r)=(P/3$epsilon$0)*r, formula che tra l'altro è data cosi anche nella parte teorica del libro. Tuttavia utilizzando questa formula non viene il risultato corretto, in quanto (come spiega anche un certo Luigi74 qui: http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 723AAW83d0) nella formula risolutiva dovrebbe esserci un 4 anzichè un 3. Non riesco assolutamente a capire cosa sbaglio. Vi prego, aiutatemi
Cordiali saluti.
io ho un problema diverso da quello del collega, ma riguarda questo stesso esercizio, che vi riscrivo qui:All'interno di una sfera di raggio R=10 cm è contenuta una carica q=8*$10^-9$ C, distribuita uniformemente con densità P(r)=br, con b costante ed r distanza dal centro O della sfera. Calcolare a) la costante b, b)il campo elettrostatico E(r) e la differenza di potenziale tra il centro O e la superficie sferica.
Il mio problema riguarda il punto a dell'esercizio. Applicando il teorema di Gauss, io trovo la formula E(r)=(P/3$epsilon$0)*r, formula che tra l'altro è data cosi anche nella parte teorica del libro. Tuttavia utilizzando questa formula non viene il risultato corretto, in quanto (come spiega anche un certo Luigi74 qui: http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 723AAW83d0) nella formula risolutiva dovrebbe esserci un 4 anzichè un 3. Non riesco assolutamente a capire cosa sbaglio. Vi prego, aiutatemi
Cordiali saluti.
Ho guardato, e facendo l'integrale di dq esteso a tutto il volume della sfera nel modo in cui è stato fatto li, non mi viene comunque il risultato corretto 
deprimente la cosa!
deprimente la cosa!
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