Sfera carica con cavità
Ciao a tutti,
non riesco a impostare correttamente questo problema:
All'interno di una sfera di raggio $r_0$ è presente una densità volumetrica uniforme di carica
elettrica uniforme $\rho$. All'interno della sfera è presente una cavità sferica con centro che dista $d = r_0/2$ dal centro della sfera e raggio $r_1 = r_0/4$. Determinare l'intensità del campo elettrico all'interno della
cavità.
Come si fa in questi casi, ho usato il principio di sovrapposizione, considerando fittiziamente una sfera piena carica a cui si "sovrappone" una sferetta carica negativamente (la cavità). Se calcolo il campo dovuto alla sfera piena a una distanza d dal centro della sfera (quindi calcolo il campo in corrispondenza del centro della cavità) ottengo che $E = (\rho * d)/(3\epsilon_0)$. Poi ho calcolato il campo nella cavità, considerando una densità = $-\rho$ e calcolando con il teorema di Gauss (come superficie ho preso la superficie sferica di raggio $r_1$ che delimita la cavità):
$-\rho int dV = E int dS = -(\rhor_0)/(12epsilon_0)$
Pensavo che la somma di questi due campi mi dovesse dare il campo nella cavità, ma così non è (il valore numerico, che qui non ho inserito, non è corretto...). Immagino che l'errore possa essere dovuto al fatto che ho calcolato il campo dovuto alla sfera piena solo nel centro della cavità, mentre questa cavità ha dimensioni non trascurabili, ma non saprei come calcolare il campo in tutta la cavità.
Grazie in anticipo :))
non riesco a impostare correttamente questo problema:
All'interno di una sfera di raggio $r_0$ è presente una densità volumetrica uniforme di carica
elettrica uniforme $\rho$. All'interno della sfera è presente una cavità sferica con centro che dista $d = r_0/2$ dal centro della sfera e raggio $r_1 = r_0/4$. Determinare l'intensità del campo elettrico all'interno della
cavità.
Come si fa in questi casi, ho usato il principio di sovrapposizione, considerando fittiziamente una sfera piena carica a cui si "sovrappone" una sferetta carica negativamente (la cavità). Se calcolo il campo dovuto alla sfera piena a una distanza d dal centro della sfera (quindi calcolo il campo in corrispondenza del centro della cavità) ottengo che $E = (\rho * d)/(3\epsilon_0)$. Poi ho calcolato il campo nella cavità, considerando una densità = $-\rho$ e calcolando con il teorema di Gauss (come superficie ho preso la superficie sferica di raggio $r_1$ che delimita la cavità):
$-\rho int dV = E int dS = -(\rhor_0)/(12epsilon_0)$
Pensavo che la somma di questi due campi mi dovesse dare il campo nella cavità, ma così non è (il valore numerico, che qui non ho inserito, non è corretto...). Immagino che l'errore possa essere dovuto al fatto che ho calcolato il campo dovuto alla sfera piena solo nel centro della cavità, mentre questa cavità ha dimensioni non trascurabili, ma non saprei come calcolare il campo in tutta la cavità.
Grazie in anticipo :))
Risposte
Scrivendo il campo in notazione vettoriale viene tutto più agevolmente. Essendo valida all'interno di una sfera con carica uniforme \(\rho\) con centro nell'origine la seguente:
\[\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}\]
sovrapponendo l'effetto dei due campi, e detto perciò \(\vec{d}\) il vettore congiungente centro della sfera grande e centro cavità, dovrebbe valere (internamente alla cavità) :
\[\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} - \frac{\rho \left(\vec{r}-\vec{d}\right)}{3 \epsilon_0} =\frac{\rho\vec{d}}{3 \epsilon_0}\]
infine dato che la sfera è posta a distanza \(\frac{r_0}{2}\),
\[
|\vec{E}| = \frac{\rho r_0}{6 \epsilon_0}
\]
\[\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}\]
sovrapponendo l'effetto dei due campi, e detto perciò \(\vec{d}\) il vettore congiungente centro della sfera grande e centro cavità, dovrebbe valere (internamente alla cavità) :
\[\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} - \frac{\rho \left(\vec{r}-\vec{d}\right)}{3 \epsilon_0} =\frac{\rho\vec{d}}{3 \epsilon_0}\]
infine dato che la sfera è posta a distanza \(\frac{r_0}{2}\),
\[
|\vec{E}| = \frac{\rho r_0}{6 \epsilon_0}
\]
Tutto chiaro, grazie mille!!
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