Sfera Bucata
Salve , Ho alcuni dubbi con la risoluzione di questo esercizio :
Una sfera di raggio $a$ e densità di carica uniforme $rho$ ha al suo interno una cavità sferica di raggio $b<\frac{a}{2}$ , il cui centro è a distanza $d$ dal centro della sfera. Calcolare il campo Elettrostatico all'interno della cavità. La sfera viene posta in un campo elettrostatico esterno $\vec{E}$ . Calcolare la forza agente sulla sfera ; il momento della forza rispetto al centro della sfera . Si diano i risultati anche nel caso $d=0$ .
Io mi sono mosso cosi :
Il campo E della cavità è nullo in quando esso è conduttore.
ho calcolato la carica $q$ contenuta nella sfera "piena" $q=\rho V=\frac{4\pi\rho[a^3-b^3]}{3}$
La forza agente sulla sfera è data da $F=qE=\frac{4E\pi\rho[a^3-b^3]}{3}$
Mentre il momento rispetto al centro sarà : $M=aF\sin(\alpha)=\frac{4aE\pi\rho[a^3-b^3]}{3}\sin(\alpha)$
Sempre se i risultati sono corretti ( se sbaglio vi prego di correggermi e\o darmi suggerimenti ) come esprimo i risultati nel caso in cui $d=0$? Dovrei esprimere,credo, $b$ in funzione di $d$ ma non vedo come fare.. dato che $b$ non è fissato , sò solo che $b<\frac{a}{2} $
Consigli?
Saluti.
Una sfera di raggio $a$ e densità di carica uniforme $rho$ ha al suo interno una cavità sferica di raggio $b<\frac{a}{2}$ , il cui centro è a distanza $d$ dal centro della sfera. Calcolare il campo Elettrostatico all'interno della cavità. La sfera viene posta in un campo elettrostatico esterno $\vec{E}$ . Calcolare la forza agente sulla sfera ; il momento della forza rispetto al centro della sfera . Si diano i risultati anche nel caso $d=0$ .
Io mi sono mosso cosi :
Il campo E della cavità è nullo in quando esso è conduttore.
ho calcolato la carica $q$ contenuta nella sfera "piena" $q=\rho V=\frac{4\pi\rho[a^3-b^3]}{3}$
La forza agente sulla sfera è data da $F=qE=\frac{4E\pi\rho[a^3-b^3]}{3}$
Mentre il momento rispetto al centro sarà : $M=aF\sin(\alpha)=\frac{4aE\pi\rho[a^3-b^3]}{3}\sin(\alpha)$
Sempre se i risultati sono corretti ( se sbaglio vi prego di correggermi e\o darmi suggerimenti ) come esprimo i risultati nel caso in cui $d=0$? Dovrei esprimere,credo, $b$ in funzione di $d$ ma non vedo come fare.. dato che $b$ non è fissato , sò solo che $b<\frac{a}{2} $
Consigli?
Saluti.
Risposte
Consigli:
-Una sfera carica uniformemente con un buco eccentrico equivale a una sfera piena con densità $\rho$ contenente un'altra sfera (più piccola) piena carica uniformemente con densità $-\rho$. Per la sovrapposizione degli effetti la somma di queste due sfere deve equivalere alla sfera bucata.
-La forza che agisce sulle sfere va considerata applicata al loro centro di massa, dunque il momento rispetto al centro della sfera grande ha contributo nullo per quanto concerne la sfera grande, mentre ha contributo diverso da zero per quanto concerne la sfera piccola, se il suo centro non coincide col centro della sfera grande.
-Una sfera carica uniformemente con un buco eccentrico equivale a una sfera piena con densità $\rho$ contenente un'altra sfera (più piccola) piena carica uniformemente con densità $-\rho$. Per la sovrapposizione degli effetti la somma di queste due sfere deve equivalere alla sfera bucata.
-La forza che agisce sulle sfere va considerata applicata al loro centro di massa, dunque il momento rispetto al centro della sfera grande ha contributo nullo per quanto concerne la sfera grande, mentre ha contributo diverso da zero per quanto concerne la sfera piccola, se il suo centro non coincide col centro della sfera grande.
"Falco5x":
-Una sfera carica uniformemente con un buco eccentrico equivale a una sfera piena con densità $\rho$ contenente un'altra sfera (più piccola) piena carica uniformemente con densità $-\rho$. Per la sovrapposizione degli effetti la somma di queste due sfere deve equivalere alla sfera bucata.
Quindi..
$\rho=\frac{3 q}{4\pi a^3}$ e $-\rho=\frac{3 q}{4 \pi b^3}$ da cui sommando $q=\frac{4\pi\rho (a^3-b^3)}{3}$
E per la legge di Gauss : $E_{cavità}=\frac{\rho(a^3-b^3)}{3\epsilon_0 r^2}$ ??
"Falco5x":
-La forza che agisce sulle sfere va considerata applicata al loro centro di massa, dunque il momento rispetto al centro della sfera grande ha contributo nullo per quanto concerne la sfera grande, mentre ha contributo diverso da zero per quanto concerne la sfera piccola, se il suo centro non coincide col centro della sfera grande.
Per quando riguarda la sfera grande ci sono , invece per quella piccola non saprei come agire.. anche perché averei bisogno di una relazione che inglobi tutte queste possibilità , no?
Mi stupisce che questo esercizio dia così poche informazioni sulla posizione del punto interno alla cavità nel quale si vuole calcolare il campo elettrico e sull'orientamento della cavità rispetto alla direzione del campo elettrico esterno.
Questa carenza di informazioni costringe a dare una risposta molto articolata.
Ad ogni modo ecco come si dovrebbe impostare il problema.
Prima di tutto occorre trovare il campo elettrico di una sfera caricata con distribuzione uniforme di carica, con densità volumica di carica $\rho$. A seconda che ci si ponga all'interno o all'esterno della sfera il campo varia in modo diverso rispetto alla distanza dal centro della sfera. Per trovare questo campo si sfrutta il teorema di Gauss. Detta r la distanza dal centro e R il raggio della sfera si ha:
$$\eqalign{
& r \leqslant R \cr
& {\Phi _E} = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{E_i} = q = \frac{4}
{3}\pi {r^3}\rho \cr
& {E_i} = \frac{\rho }
{{3{\varepsilon _0}}}r \cr
& \cr
& r > R \cr
& {\Phi _E} = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{E_e} = q = \frac{4}
{3}\pi {R^3}\rho \cr
& {E_e} = \frac{{\rho {R^3}}}
{{3{\varepsilon _0}{r^2}}} \cr} $$
Allora per calcolare il campo in un punto P interno alla cavità occorre sommare gli effetti delle cariche della sfera grande e di quella piccola, che hanno densità di carica uguali e opposte. Sia O il centro della sfera con raggio a e O' il centro della sfera con raggio b il campo totale si ottiene dalla seguente somma vettoriale:
$${{\bf{E}}_P} = \frac{\rho }
{{3{\varepsilon _0}}}\left( {{{\bf{r}}_{OP}} - {{\bf{r}}_{O'P}}} \right)$$
Evidentemente se i due centri coincidono (cioè d=0) si ha:
$${{\bf{r}}_{OP}} = {{\bf{r}}_{O'P}}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{{\bf{E}}_P} = 0$$
qualunque sia il punto P all'interno della cavità.
Vediamo adesso la forza esercitata da un campo esterno sulla sfera cava.
$$\eqalign{
& {\bf{F}} = \left( {q - q'} \right){{\bf{E}}_{ext}} = \frac{4}
{3}\pi \rho \left( {{a^3} - {b^3}} \right){\bf{u}} \cr
& {\bf{u}} = \frac{{{{\bf{E}}_{ext}}}}
{{{E_{ext}}}} \cr} $$
dove u indica il versore parallelo a E
Riguardo al momento, è fondamentale la posizione della cavità rispetto al campo. In generale detto OO' il vettore da O a O' lungo d e formante un angolo $\theta$ con la direzione del campo esterno, ovvero:
$$\eqalign{
& \left| {{\bf{OO'}}} \right| = d \cr
& \widehat{{\bf{OO'}} - {{\bf{E}}_{ext}}} = \theta \cr} $$
il momento rispetto al centro della sfera di raggio a è il seguente:
$$\eqalign{
& {\bf{M}} = {\bf{OO'}} \times {\bf{F}} = - \left( {\frac{4}
{3}\pi {b^3}\rho } \right){\bf{OO'}} \times {{\bf{E}}_{ext}} \cr
& \left| {\bf{M}} \right| = \frac{4}
{3}\pi {b^3}\rho d{E_{ext}}\sin \theta \cr} $$
Questa carenza di informazioni costringe a dare una risposta molto articolata.
Ad ogni modo ecco come si dovrebbe impostare il problema.
Prima di tutto occorre trovare il campo elettrico di una sfera caricata con distribuzione uniforme di carica, con densità volumica di carica $\rho$. A seconda che ci si ponga all'interno o all'esterno della sfera il campo varia in modo diverso rispetto alla distanza dal centro della sfera. Per trovare questo campo si sfrutta il teorema di Gauss. Detta r la distanza dal centro e R il raggio della sfera si ha:
$$\eqalign{
& r \leqslant R \cr
& {\Phi _E} = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{E_i} = q = \frac{4}
{3}\pi {r^3}\rho \cr
& {E_i} = \frac{\rho }
{{3{\varepsilon _0}}}r \cr
& \cr
& r > R \cr
& {\Phi _E} = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{E_e} = q = \frac{4}
{3}\pi {R^3}\rho \cr
& {E_e} = \frac{{\rho {R^3}}}
{{3{\varepsilon _0}{r^2}}} \cr} $$
Allora per calcolare il campo in un punto P interno alla cavità occorre sommare gli effetti delle cariche della sfera grande e di quella piccola, che hanno densità di carica uguali e opposte. Sia O il centro della sfera con raggio a e O' il centro della sfera con raggio b il campo totale si ottiene dalla seguente somma vettoriale:
$${{\bf{E}}_P} = \frac{\rho }
{{3{\varepsilon _0}}}\left( {{{\bf{r}}_{OP}} - {{\bf{r}}_{O'P}}} \right)$$
Evidentemente se i due centri coincidono (cioè d=0) si ha:
$${{\bf{r}}_{OP}} = {{\bf{r}}_{O'P}}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{{\bf{E}}_P} = 0$$
qualunque sia il punto P all'interno della cavità.
Vediamo adesso la forza esercitata da un campo esterno sulla sfera cava.
$$\eqalign{
& {\bf{F}} = \left( {q - q'} \right){{\bf{E}}_{ext}} = \frac{4}
{3}\pi \rho \left( {{a^3} - {b^3}} \right){\bf{u}} \cr
& {\bf{u}} = \frac{{{{\bf{E}}_{ext}}}}
{{{E_{ext}}}} \cr} $$
dove u indica il versore parallelo a E
Riguardo al momento, è fondamentale la posizione della cavità rispetto al campo. In generale detto OO' il vettore da O a O' lungo d e formante un angolo $\theta$ con la direzione del campo esterno, ovvero:
$$\eqalign{
& \left| {{\bf{OO'}}} \right| = d \cr
& \widehat{{\bf{OO'}} - {{\bf{E}}_{ext}}} = \theta \cr} $$
il momento rispetto al centro della sfera di raggio a è il seguente:
$$\eqalign{
& {\bf{M}} = {\bf{OO'}} \times {\bf{F}} = - \left( {\frac{4}
{3}\pi {b^3}\rho } \right){\bf{OO'}} \times {{\bf{E}}_{ext}} \cr
& \left| {\bf{M}} \right| = \frac{4}
{3}\pi {b^3}\rho d{E_{ext}}\sin \theta \cr} $$
"Falco5x":
... Evidentemente se i due centri coincidono (cioè d=0) si ha:
$${{\bf{r}}_{OP}} = {{\bf{r}}_{O'P}}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{{\bf{E}}_P} = 0$$
qualunque sia il punto P all'interno della cavità.
Mentre, se non coincidono, ma si trovano ad una distanza $0\le d \le a-b$ [nota]Ovvero cavità completamente interna alla sfera.[/nota], avremo un risultato diciamo inaspettato, ovvero un campo COSTANTE in TUTTI i punti interni della cavità, sia come modulo
$ E_P= \frac{\rho d}{3 \epsilon_0}$
sia come direzione e verso, coincidenti con quelli del vettore $\vec {OO'}$ congiungente i centri delle due sfere.
"Falco5x":
Mi stupisce che questo esercizio dia così poche informazioni sulla posizione del punto interno alla cavità nel quale si vuole calcolare il campo elettrico e sull'orientamento della cavità rispetto alla direzione del campo elettrico esterno.
Questa carenza di informazioni costringe a dare una risposta molto articolata.
Pensa come mi sono sentito io nel leggere la traccia durante l'esame.. non ho mai visto nulla di più vago.. e non capisco nemmeno il motivo..
Comunque sia ti ringrazio per la stupenda spiegazione e per il tempo che mi hai dedicato , ne farò certamente buon uso!
@RenzoDF Grazie anche a te per la precisazione
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