Separare un Hamiltoniana in due dimensioni

[JimmyBrighy]

Buondì, eccomi con la domanda del giorno
Ho una particella in due dimensioni vincolata a un potenziale $V(q_1, q_2)$:
\[ H=\frac{p_1^2+p_2^2}{2m}+m \omega^2(q_1^2-q_1q_2+q_2^2) \]
Mi viene chiesto se l'equazione di Schrodinger per questa Hamiltoniana è risolvibile separando le variabili, quindi in sostanza devo trovare il modo di separare le variabili nella mia Hamiltoniana. Cioè devo trovare una trasformazione canonica $q \rightarrow \tilde{q}$, $p \rightarrow \tilde{p} $ tale che $H=H_1(\tilde{q_1}, \tilde{p_1})+H_2(\tilde{q_2}, \tilde{p_2})$.
Non saprei come proseguire, c'è un modo generale di affrontare il problema? Altrimenti dovrei andare a tentoni provando diverse trasformazioni canoniche finche non trovo quella giusta!

Grazie mille in anticipo!

[LoreT314]

C'è un trucco, nessun andar a tentoni. Il potenziale che hai in mano è una forma quadratica, cioè puoi scriverla nella forma $V=\underline{q}^TA\underline{q}$, dove $\underline{q}=(q_1, q_2)^T$ e $A$ è un opportuna matrice (trovala). $A$ risulta essere una matrice reale e simmetrica, quindi è diagonalizzabile tramite una matrice ortogonale. Ovvero esiste una matrice diagonale $D=diag(\lambda_1,\lambda_2)$ tale che $A=RDR^T$, dove $R$ è ortogonale. Ma allora $V=\underline{q}^TA\underline{q}=\underline{q}^TRDR^T\underline{q}=(R^T\underline{q})D(R^T\underline{q})$. Chiama ora $\underline{y}=R^T\underline{q}$, così hai che $V=\underline{y}^TD\underline{y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2$. Abbiamo disaccoppiato V. E il termine cinetico? La trasformazione che abbiamo costruito è ortogonale, ed è riasaputo che i laplaciani sono invarianti per rotazioni.

[JimmyBrighy]

Ok, penso di avere capito il ragionamento, avrei dunque dovuto saper riconoscere la forma quadratica e da lì riconoscere il metodo di separazione. Ho però una domanda su il ragionamento che avevo fatto io nel cercare di trovare questa trasformazione canonica. Ho posto:

$((q_1),(q_2)) = ((a,b),(c,d))((\tilde{q_1}),(\tilde{q_2})) $ e quindi $q_1=a\tilde{q_1}+b\tilde{q_2}$ e $q_2=c\tilde{q_1}+d\tilde{q_2}$. Ora, imponendo la condizione: $q_1^2+q_2^2-q_1q_2=\tilde{q_1}^2+\tilde{q_2}^2$ ottengo il sistema:

$\{(a^2+c^2-ac=1),(b^2+d^2-bd=1),(ac+bd+bc-2ab-2cd=0):}$

Mi domandavo se, per semplificare il sistema, non ci fossero delle condizioni che posso porre agli elementi di matrice in virtù del fatto che rappresenta una trasformazione canonica...

[LoreT314]

Se vuoi che sia canonica la matrice $M$ deve essere simplettica, ovvero tale che $M^TJM=J$ dove $J=((0,1),(-1,0))$. Se la matrice è 2x2 ricorda che la condizione di essere simplettica è equivalente ad avere determinante 1. Ma questo metodo è troppo scomodo, hai un sistema grosso non linare. Con l'altro metodo se ti interessa solo lo spettro è sufficiente risolvere un'equazione di secondo grado.

[JimmyBrighy]

Più che lo spettro mi interessa soltanto dimostrare che è separabile e in effetti verrebbe un sistema abbastanza lungo da risolvere usando le condizioni di canonicità, in ogni caso grazie degli insight!