Semplice domanda su legge oraria/traiettoria

[matteo_g1]

ciao, se ho una legge oraria del tipo $ x(t)=3t^2-2t^3 $ e mi viene chiesto quale distanza copre nei primi 4 secondi c'e' un modo alternativo all'integrale per dare la risposta?

comunque in ogni caso, qual'è a vostro parere il modo più veloce l'integrale?

$ int(1+(-6t^2+6t)^2)^(1/2)dt $

grazie!!

[mgrau]

Cosa c'entra l'integrale? Devi solo sapere dove si trova l'oggetto al tempo 4, e al tempo 0, cioè calcolare $x(4) - x(0) = 3*4^2 - 2*4^3 = -48$ (salvo errori)

[professorkappa]

non e' -80?

[donald_zeka]

"Quale distanza copre" è un po' ambiguo...la legge oraria ti dice dove si trova in ogni istante...per sapere la distanza percorsa devi integrare la curva che percorre.

[mgrau]

@professorkappa
vero, è -80...

@vulplasir
effettivamente è ambiguo; in questi casi, perchè non cercare la risposta più semplice, anche se banale? O no?
E poi, comunque direi che non serve integrare: siccome l'oggetto va prima avanti, poi indietro, si tratta solo di trovare il punto estremo in avanti e poi da lì a -80

[matteo_g1]

"professorkappa":non e' -80?

-80 è lo spostamento, io cerco la "distanza coperta nei primi 4 secondi" (così chiede il libro)

[matteo_g1]

e viene 82

[matteo_g1]

"Vulplasir":"Quale distanza copre" è un po' ambiguo...la legge oraria ti dice dove si trova in ogni istante...per sapere la distanza percorsa devi integrare la curva che percorre.

integrare la curva che percorre intendi il passaggio che ho svolto io ?

[donald_zeka]

Allora, se un corpo puntiforme nello spazio ha legge oraria:

$gamma(t)={ ( x=x(t) ),( y=y(t) ),( z=z(t) ):}$, nell'intervallo di tempo [a,b], percorre sulla curva $gamma$ una distanza:

$l=int_(gamma)1ds=int_(a)^(b)abs(gamma(t)')dt$

Nel caso di moto unidimensionale, possiamo porre $y=z=0$, e la distanza percorsa diventa:

$l=int_(a)^(b)abs(dotx)dt$

[donald_zeka]

Comunque mi viene il dubbio che il testo non richieda questo, dato che il risultato è negativo...mentra quell'integrale restituisce un numero positivo, probabilmente il risultato del testo è sbagliato e la soluzione corretta è quella di mgrau.

[mgrau]

Io però continuo a pensare che volete complicarvi la vita...
Con quella legge oraria si vede subito che l'oggetto si sposta verso le x positive per il primo secondo ($(dx)/(dt) > 0$ se $0 Poi si sposta sempre verso le x negative e al secondo 4 si trova in $x = 3*4^2 - 2*4^3 = -80$, per cui percorre 1 verso il più e 81 verso il meno, in totale 82. (Da dove poi venga 82.6 non riesco proprio a immaginarlo)

[mgrau]

Riguardando l'integrale che hai proposto come soluzione all'inizio del post, $ int(1+(-6t^2+6t)^2)^(1/2)dt $
mi viene in mente che forse hai dimenticato di dirci che la legge oraria comprende anche $y(t) = t$, nel qual caso il moto è bi-dimensionale, la risposta corretta è appunto il tuo integrale, e il valore 82,6 diventa sensato (a parte il segno meno, che resta incomprensibile)

[donald_zeka]

@mgrau, alla fine nessuno ha complicato le cose, quelle definizioni che ho dato io sono proprio quelle che hai usato nel primo caso (ottenendo 82) nel secondo caso con $y=t$ ottenendo 82.6

[mgrau]

@Vulplasir, intendevo dire che, se il moto è unidimensionale - come, in assenza di lumi da parte dell'OP, dobbiamo credere - non c'è bisogno di nessun integrale. Basta trovare quando il movimento si inverte (t = 1), e poi sommare il percorso in avanti (1) e quello all'indietro (81).

[donald_zeka]

Si certo, il punto cruciale è peró quel "quando il movimento si inverte", che nella mia formula è rappresentato dal valore assoluto sulla velocità, una volta trovato dove la velocità è positiva e negativa chiaramente nel caso unidimensionale non c'è bisogno dell'integrale. Insomma per uno esperto la cosa viene subito, uno studente è meglio che parta dalle definizioni.

[matteo_g1]

ho sbagliato io a mettere il segno meno, ho corretto, il risultato è 82. io sono arrivato alla conclusione con uno studio di funzione, tra poco posto le soluzioni. Usare l'integrale in questo caso era un errore secondo me, perchè dato che sto lavorando sulla legge oraria con l'integrale del tipo: $ int(1+(f(x)')^2)^(1/2)dx $ posso trovare la lunghezza della curva ma se ad esempio percorro il solito tratto a velocità minore il grafico si allunga e quindi "falsifico" le misure. vi torna quest'ultimo ragionamento?

[matteo_g1]

il risultato che avevo fornito era errato, quello giusto è +82, mi scuso.
ho risolto il problema con uno studio di funzione che posterò qua a breve.
secondo me con il classico integrale che si usa ad analisi 1 per trovare la lunghezza di una curva non poteva essere risolto questo esercizio perchè lavorando sulla legge oraria tutto dipende dal tempo; nel senso che se percorro la stessa distanza ma in un tempo maggiore il grafico si allunga e quindi la misura è "falsificata". ho comunque osservato la tua risposta e da essa mi è venuto il dubbio del perchè l'integrale finale che hai postato tu è diverso dal classico di analisi 1 ( $ int(1+(f(x)')^2)^(1/2) $ ?

[matteo_g1]

con le parti evidenziate non intendo l'effettiva lunghezza del grafico ma è solo un riferimento per capire meglio.

[matteo_g1]

"mgrau":Io però continuo a pensare che volete complicarvi la vita...
Con quella legge oraria si vede subito che l'oggetto si sposta verso le x positive per il primo secondo ($(dx)/(dt) > 0$ se $0 Poi si sposta sempre verso le x negative e al secondo 4 si trova in $x = 3*4^2 - 2*4^3 = -80$, per cui percorre 1 verso il più e 81 verso il meno, in totale 82. (Da dove poi venga 82.6 non riesco proprio a immaginarlo)

avevo saltato il tuo messaggio per errore, la risposta che hai dato mi torna completamente.