Semicilindro
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente problema di fisica !
un corpo rigido avente la forma di un semicilindro omogeneo di massa m e raggio R è tenuto fermo su un piano orizzontale scabro, come mostrato in figura. Ad un certo istante il corpo viene lasciato libero di muoversi, rotolando sul piano. Determinare la velocità angolare del cilindro e la forza esercitata su di esso dal piano orizzontale quando il piano AB è ruotato di π/2 (si indichi con d=4R/π3) la distanza del centro di massa del corpo dal piano AB).
Non indico la mia via di risoluzione perchè non capisco proprio come procedere. spero possiate darmi almeno qualche suggerimento.
Grazie mille in anticipo
un corpo rigido avente la forma di un semicilindro omogeneo di massa m e raggio R è tenuto fermo su un piano orizzontale scabro, come mostrato in figura. Ad un certo istante il corpo viene lasciato libero di muoversi, rotolando sul piano. Determinare la velocità angolare del cilindro e la forza esercitata su di esso dal piano orizzontale quando il piano AB è ruotato di π/2 (si indichi con d=4R/π3) la distanza del centro di massa del corpo dal piano AB).
Non indico la mia via di risoluzione perchè non capisco proprio come procedere. spero possiate darmi almeno qualche suggerimento.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ammesso che il corpo rigido rotoli senza strisciare, per determinarne la velocità angolare nella configurazione finale è sufficiente conservare l'energia meccanica:
$[mgR=1/2I_C\omega^2+mg(R-d)] rarr [\omega=...]$
essendo $I_C$ il suo momento d'inerzia rispetto al punto di contatto $C$ con il piano orizzontale nella medesima configurazione:
$[I_C=I_G+m(R-d)^2]$
Per quanto riguarda la forza esercitata dal piano orizzontale, premesso che l'accelerazione angolare nella configurazione finale è nulla (lascio a te dimostrarne il motivo), puoi procedere in due modi.
Modo 1. Scrivere la prima equazione cardinale della dinamica rispetto a un sistema di riferimento non inerziale avente l'origine coincidente con il centro $O$ della semicirconferenza e assi, in ogni istante, paralleli a quelli di un sistema di riferimento inerziale (insomma, il sistema di riferimento non inerziale non ruota). Poiché il sistema di riferimento non inerziale, nella configurazione finale, ha accelerazione assoluta nulla, l'accelerazione assoluta del centro di massa del corpo rigido è uguale a quella relativa, e il raggio di curvatura necessario per esprimere quest'ultima è di più immediata valutazione.
Modo 2. Derivare rispetto al tempo la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_G)=vec(v_O)+vec\omega xx (G-O)] rarr [vec(a_G)=vec(a_O)+vec\alpha xx (G-O)+vec\omega xx (vec(v_G)-vec(v_O))]$
e imporre:
$[vec(a_O)=0] ^^ [vec\alpha=0]$
Ti ricordo che, per determinare $vec(v_G)$ e $vec(v_O)$, basta osservare che il punto di contatto $C$ con il piano orizzontale è il centro istantaneo di rotazione.
$[mgR=1/2I_C\omega^2+mg(R-d)] rarr [\omega=...]$
essendo $I_C$ il suo momento d'inerzia rispetto al punto di contatto $C$ con il piano orizzontale nella medesima configurazione:
$[I_C=I_G+m(R-d)^2]$
Per quanto riguarda la forza esercitata dal piano orizzontale, premesso che l'accelerazione angolare nella configurazione finale è nulla (lascio a te dimostrarne il motivo), puoi procedere in due modi.
Modo 1. Scrivere la prima equazione cardinale della dinamica rispetto a un sistema di riferimento non inerziale avente l'origine coincidente con il centro $O$ della semicirconferenza e assi, in ogni istante, paralleli a quelli di un sistema di riferimento inerziale (insomma, il sistema di riferimento non inerziale non ruota). Poiché il sistema di riferimento non inerziale, nella configurazione finale, ha accelerazione assoluta nulla, l'accelerazione assoluta del centro di massa del corpo rigido è uguale a quella relativa, e il raggio di curvatura necessario per esprimere quest'ultima è di più immediata valutazione.
Modo 2. Derivare rispetto al tempo la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_G)=vec(v_O)+vec\omega xx (G-O)] rarr [vec(a_G)=vec(a_O)+vec\alpha xx (G-O)+vec\omega xx (vec(v_G)-vec(v_O))]$
e imporre:
$[vec(a_O)=0] ^^ [vec\alpha=0]$
Ti ricordo che, per determinare $vec(v_G)$ e $vec(v_O)$, basta osservare che il punto di contatto $C$ con il piano orizzontale è il centro istantaneo di rotazione.
Intanto grazie mille per la risposta e le spiegazioni. Non riesco però a spiegarmi il motivo dell'accelerazione angolare nulla, dopo che il piano AB ruota di 90° la velocità angolare è da considerarsi costante? perchè? come procede il moto del corpo rigido?
forse perchè il centro di massa e il punto di contatto si trovano sempre sulla stessa retta e quindi la forza agente, la forza peso, rispetto al polo scelto (il punto di contatto) ha momento nullo?
e inoltre, nel secondo modo di procedere, l'accelerazione aO risulta essere nulla per lo stesso motivo che spieghi nel primo metodo?
e inoltre, nel secondo modo di procedere, l'accelerazione aO risulta essere nulla per lo stesso motivo che spieghi nel primo metodo?
"Gianluca Giannola":
Non riesco però a spiegarmi il motivo dell'accelerazione angolare nulla ...
Il sistema prima accelera, $[(d\omega)/(dt) gt 0]$, poi decelera, $[(d\omega)/(dt) lt 0]$. L'accelerazione angolare $[(d\omega)/(dt)]$ non è sempre nulla. Tuttavia, è nulla nella configurazione finale.
"Gianluca Giannola":
... forse perchè il centro di massa e il punto di contatto si trovano sempre sulla stessa retta ...
Non si comprende che cosa tu intenda. Due punti appartengono sempre a una stessa retta. Ad ogni modo, in una discussione precedente, a proposito della seconda equazione cardinale della dinamica, ti facevo osservare che:
1. Essa assume la forma $[(dL_P)/(dt)=M_P]$ se il polo $P$ è fisso, oppure, se il polo $P$ coincide con il centro di massa $G$, oppure, se il polo $P$ è animato, in ogni istante, da una velocità parallela al centro di massa $G$.
2. Il momento angolare $L_P$ del sistema deve essere calcolato con le velocità assolute.
3. Se il polo $P$ coincide con il centro di massa $G$, il momento angolare $L_G$ del sistema calcolato con le velocità assolute è uguale a quello calcolato con le velocità relative, rispetto a un sistema di riferimento che non ruota e ha origine nel centro di massa $G$.
4. Poiché, rispetto al sistema di riferimento del punto precedente, il sistema ruota attorno al centro di massa $G$, molto semplicemente $[L_G=I_G\omega]$.
In definitiva, $[I_G(d\omega)/(dt)=M_G]$ rispetto al centro di massa $G$. Tra l'altro, scritta in questa forma, si comprende immediatamente il motivo per il quale, se il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa $G$ è nullo in ogni istante, la velocità angolare del sistema non cambia.
Tornando alla presente discussione, almeno nell'istante corrispondente alla configurazione finale, non potendo immediatamente sostenere $[M_G=0]$, a causa della presenza della forza di attrito, è necessario scegliere come polo il punto geometrico $C$ di contatto con il piano orizzontale, evidentemente animato da una velocità $vec(v_C)$ orizzontale:
1. $vec(v_G)$ è parallela a $vec(v_C)$ (il sistema rotola senza strisciare e il punto fisico $C$ appartenente al sistema che, in ogni istante, occupa il punto geometrico $C$, è il centro istantaneo di rotazione)
2. $[(dL_C)/(dt)=M_C] ^^ [M_C=0] rarr [(dL_C)/(dt)=0]$
Quindi, dopo aver osservato che, almeno nell'istante corrispondente alla configurazione finale:
$[L_C(t)=I_C(t)\omega(t)] rarr [(dI_C)/(dt)\omega+I_C(d\omega)/(dt)=0]$
se riesci a dimostrare che $[(dI_C)/(dt)=0]$ (non è così difficile), puoi finalmente concludere che $[(d\omega)/(dt)=0]$. Tra l'altro, riconsiderando proprio $[I_G(d\omega)/(dt)=M_G] ^^ [(d\omega)/(dt)=0] rarr [M_G=0]$, puoi anche concludere che, almeno nell'istante corrispondente alla configurazione finale, la forza di attrito è sicuramente nulla.
In alternativa e in modo più immediato, poiché l'energia meccanica si conserva:
$[E_M=1/2I_C(t)\omega^2(t)+mgy_G(t)] rarr [1/2(dI_C)/(dt)\omega^2+I_C\omega(d\omega)/(dt)+mgv_(yG)=0]$
almeno nell'istante corrispondente alla configurazione finale:
$[v_(yG)=0] rarr [1/2(dI_C)/(dt)\omega^2+I_C\omega(d\omega)/(dt)=0]$
e, come prima, se riesci a dimostrare che $[(dI_C)/(dt)=0]$, puoi concludere che $[(d\omega)/(dt)=0]$.
@Gianluca
Il semicerchio di diametro $AB$ è la metà di un cerchio
, il centro del cerchio $O$ è il punto medio di AB. Questo punto è l'unico che, nel rotolamento (puro) si mantiene a distanza costante dal piano. Essendo il piano orizzontale tangente al semicerchio, la verticale passante per il punto di contatto $C$ , che è centro di istantanea rotazione, variabile sul piano e sul corpo, passa pure per $O$ , costantemente. Questo è forse ciò che volevi dire.
Perciò, la componente verticale della reazione del piano passa sempre per $O$ . C'è poi una componente orizzontale di questa reazione, che è la forza di attrito statico. Come è diretta ?
Per quanto riguarda l'accelerazione angolare, immagina che il semicilindro continui a ruotare fino alla posizione simmetrica: l'accelerazione angolare prima cresce e poi diminuisce, perchè la forza peso passa dall'altra parte della verticale per $C$ .
Renditi conto che il CM si comporta, rispetto al punto $O$ , come un pendolo : quando $AB$ è orizzontale, il CM è nella sua posizione più bassa , e sta tra $O$ e $C$ , a distanza $d = (4R)/(3\pi)$ da $O$ . Per cui , il momento del peso rispetto a $C$ è nullo. La velocità è massima, l'accelerazione è nulla.
Per ricavare $\omega$ nella posizione con $AB$ orizzontale, va bene la 2º eq. cardinale della dinamica. Ma io risolverei con la conservazione dell'energia, visto che la forza di attrito non compie lavoro .
E cioè , visto che il CM si abbassa di $d$ , come detto, dalla posizione iniziale alla finale, direi che la diminuzione dell'energia potenziale è uguale all'aumento di energia cinetica tra le stesse posizioni. Basta quindi calcolare quanto vale il momento di inerzia rispetto a $C$ nella posizione finale , e scrivere :
$1/2I\omega^2 = Mgd$
risulta : $I =\approx 0.65MR^2$ , per cui si ha : $ \omega = sqrt(d(2Mg)/(0.65MR^2) ) = sqrt(1.3g/R) $ .
Il semicerchio di diametro $AB$ è la metà di un cerchio
, il centro del cerchio $O$ è il punto medio di AB. Questo punto è l'unico che, nel rotolamento (puro) si mantiene a distanza costante dal piano. Essendo il piano orizzontale tangente al semicerchio, la verticale passante per il punto di contatto $C$ , che è centro di istantanea rotazione, variabile sul piano e sul corpo, passa pure per $O$ , costantemente. Questo è forse ciò che volevi dire. Perciò, la componente verticale della reazione del piano passa sempre per $O$ . C'è poi una componente orizzontale di questa reazione, che è la forza di attrito statico. Come è diretta ?
Per quanto riguarda l'accelerazione angolare, immagina che il semicilindro continui a ruotare fino alla posizione simmetrica: l'accelerazione angolare prima cresce e poi diminuisce, perchè la forza peso passa dall'altra parte della verticale per $C$ .
Renditi conto che il CM si comporta, rispetto al punto $O$ , come un pendolo : quando $AB$ è orizzontale, il CM è nella sua posizione più bassa , e sta tra $O$ e $C$ , a distanza $d = (4R)/(3\pi)$ da $O$ . Per cui , il momento del peso rispetto a $C$ è nullo. La velocità è massima, l'accelerazione è nulla.
Per ricavare $\omega$ nella posizione con $AB$ orizzontale, va bene la 2º eq. cardinale della dinamica. Ma io risolverei con la conservazione dell'energia, visto che la forza di attrito non compie lavoro .
E cioè , visto che il CM si abbassa di $d$ , come detto, dalla posizione iniziale alla finale, direi che la diminuzione dell'energia potenziale è uguale all'aumento di energia cinetica tra le stesse posizioni. Basta quindi calcolare quanto vale il momento di inerzia rispetto a $C$ nella posizione finale , e scrivere :
$1/2I\omega^2 = Mgd$
risulta : $I =\approx 0.65MR^2$ , per cui si ha : $ \omega = sqrt(d(2Mg)/(0.65MR^2) ) = sqrt(1.3g/R) $ .
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