Sei parametri per le trasformazioni di Lorentz
Scriviamo \(\eta=\text{diag}(+1, -1, -1, -1)\). Chiamiamo trasformazione di Lorentz ogni trasformazione lineare (confondiamo trasformazioni lineari e matrici) con la proprietà
\[\eta_{\mu \nu}=\eta_{\sigma \rho}\Lambda^\sigma_{{\ }\mu} \Lambda^\rho_{{\ }\nu}.\]
Richiediamo anche \(\det \Lambda=+1\) e \(\Lambda^0_{{\ }0} \ge 1\) e avremo ottenuto il gruppo di Lorentz. Il problema è stabilirne la dimensione. Allo scopo il libro che sto leggendo (Maggiore, A modern introduction to quantum field theory) considera una trasformazione infinitamente vicina all'identità
\[\Lambda^\mu_{\ \nu}=\delta^\mu_{\nu} + \omega^\mu_{\ \nu}\]
e poi dichiara seraficamente che, "per quanto già visto" (
), \(\omega\) deve essere antisimmetrica, per cui il gruppo ha dimensione 6. Ma come cavolo ha fatto? Inserendo brutalmente la seconda equazione nella prima io arrivo a
\[0 = \eta_{\sigma \rho}\omega^\sigma_{\ \mu}\omega^\rho_{\ \nu}+\eta_{\mu \rho}\omega^\rho_{\ \nu}+\eta_{\sigma \nu}\omega^\sigma_{\ \mu}\]
e come faccio a concludere, adesso? (Non riesco proprio a maneggiare questi oggetti, mi incasino sempre di brutto!)
\[\eta_{\mu \nu}=\eta_{\sigma \rho}\Lambda^\sigma_{{\ }\mu} \Lambda^\rho_{{\ }\nu}.\]
Richiediamo anche \(\det \Lambda=+1\) e \(\Lambda^0_{{\ }0} \ge 1\) e avremo ottenuto il gruppo di Lorentz. Il problema è stabilirne la dimensione. Allo scopo il libro che sto leggendo (Maggiore, A modern introduction to quantum field theory) considera una trasformazione infinitamente vicina all'identità
\[\Lambda^\mu_{\ \nu}=\delta^\mu_{\nu} + \omega^\mu_{\ \nu}\]
e poi dichiara seraficamente che, "per quanto già visto" (
), \(\omega\) deve essere antisimmetrica, per cui il gruppo ha dimensione 6. Ma come cavolo ha fatto? Inserendo brutalmente la seconda equazione nella prima io arrivo a \[0 = \eta_{\sigma \rho}\omega^\sigma_{\ \mu}\omega^\rho_{\ \nu}+\eta_{\mu \rho}\omega^\rho_{\ \nu}+\eta_{\sigma \nu}\omega^\sigma_{\ \mu}\]
e come faccio a concludere, adesso? (Non riesco proprio a maneggiare questi oggetti, mi incasino sempre di brutto!)
Risposte
Tenendo conto che $\eta_{\mu\rho}\omega^\rho \ _\nu=\omega_{\mu\nu}$ ($\eta$ abbassa gli indici), l'ultima equazione che hai scritto è $\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} + O(\omega^2) = 0$, e considerando solo i termini al primo ordine $\omega$ è antisimmetrico.
Ah certo! Il quadrato sparisce perché è di ordine superiore. Senti, ma così tu mostri che \(\omega_{\mu \nu}\) è antisimmetrico. Il testo invece parla di \(\omega^\mu_{\ \nu}\). E' la stessa cosa?
Si e no. In genere la proprietà di simmetria od antisimmetria è definita rispetto ad indici della stessa natura (covarianti o contravarianti). Se consideri un boost lungo $x$
\begin{equation}
\Lambda =
\left[{\begin{array}{cccc}
\gamma &-\gamma v &0 & 0 \\
-\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}}\right]
\end{equation}
che in indici esprime $\Lambda^\mu_\nu$ (un indice covariante ed uno contravariante), non ottieni affatto uno sviluppo in termini antisimmetrici. In forma più compatta, la proprietà della traformazione di Lorentz si scrive $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$, e sviluppando $\Lambda = I + \omega$ si ottiene $\omega^T\eta + \eta \omega = 0$, e poiché $\eta^T=\eta$, si ha $(\eta \omega)^T = - \eta \omega$, quindi a voler essere pignoli è $\eta \omega$ ad essere antisimmetrico, ma la terminologia che hai incontrato è comune.
\begin{equation}
\Lambda =
\left[{\begin{array}{cccc}
\gamma &-\gamma v &0 & 0 \\
-\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}}\right]
\end{equation}
che in indici esprime $\Lambda^\mu_\nu$ (un indice covariante ed uno contravariante), non ottieni affatto uno sviluppo in termini antisimmetrici. In forma più compatta, la proprietà della traformazione di Lorentz si scrive $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$, e sviluppando $\Lambda = I + \omega$ si ottiene $\omega^T\eta + \eta \omega = 0$, e poiché $\eta^T=\eta$, si ha $(\eta \omega)^T = - \eta \omega$, quindi a voler essere pignoli è $\eta \omega$ ad essere antisimmetrico, ma la terminologia che hai incontrato è comune.
Avevo già risposto a questo messaggio ma ci dev'essere stato qualche intoppo tecnico, quindi riscrivo.
Ti volevo ringraziare, perché hai svelato un inghippo che mi avrebbe sicuramente fatto perdere un mucchio di tempo. Infatti io cercavo di dimostrare che
\[\omega^\mu{ }_\nu=\omega^\nu{ }_\mu, \]
ma a questo punto capisco che ciò è falso in generale. Grazie!
Ti volevo ringraziare, perché hai svelato un inghippo che mi avrebbe sicuramente fatto perdere un mucchio di tempo. Infatti io cercavo di dimostrare che
\[\omega^\mu{ }_\nu=\omega^\nu{ }_\mu, \]
ma a questo punto capisco che ciò è falso in generale. Grazie!
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