Segno dell'energia potenziale (Fisica I)
Lo scopo dei seguenti "esercizi" è quello di verificare che l'energia potenziale in un punto è uguale al variare del sistema di riferimento. Partendo dalla definizione di lavoro come integrale della forza con estremi di integrazione la posizione iniziale e finale del corpo dovrei arrivare alla conclusione che il lavoro, cioè W, è sempre uguale alla variazione di energia potenziale cambiata di segno.
Ho inserito sia nel caso dell'energia potenziale gravitazionale che nel caso dell'energia potenziale elastica un caso(che ho chiamato caso a)in cui riesco a spiegarmi perché ciò è vero... vorrei chiedervi di farmi vedere i passaggi matematici da inserire dove ci sono i punti di sospensione per arrivare allo stesso risultato nel caso in cui cambio sistema di riferimento (li ho chiamati casi b e caso c).
Infine ho inserito un "esercizio" in cui se applico la definizione di lavoro poi non riesco a verificare la conservazione di energia meccanica sempre per un problema di segni...
Ringrazio chiunque abbia la pazienza di illustrarmi i passaggi da inserire nei punti di sospensione e che portano ai risultati già presenti. Scusate la dimensione delle immagini, spero si capisca.
Ho inserito sia nel caso dell'energia potenziale gravitazionale che nel caso dell'energia potenziale elastica un caso(che ho chiamato caso a)in cui riesco a spiegarmi perché ciò è vero... vorrei chiedervi di farmi vedere i passaggi matematici da inserire dove ci sono i punti di sospensione per arrivare allo stesso risultato nel caso in cui cambio sistema di riferimento (li ho chiamati casi b e caso c).
Infine ho inserito un "esercizio" in cui se applico la definizione di lavoro poi non riesco a verificare la conservazione di energia meccanica sempre per un problema di segni...
Ringrazio chiunque abbia la pazienza di illustrarmi i passaggi da inserire nei punti di sospensione e che portano ai risultati già presenti. Scusate la dimensione delle immagini, spero si capisca.
Risposte
Non ci sono "passaggi matematici" differenti dai tuoi, semplicemente devi tener conto che se cambi sistema di rifermento cambiano i valori relativi degli estremi di integrazione, in particolare immaginiamo di svolgere l'integrale tra $y_1$ ed $y_2$ di $f$ , con $y_2>y_1$ allora posso scrivere per il teorema fondamentale del calcolo integrale che se $F$ è una primitiva di $f$ che $\int_{y_1}^{y_2}f(x)dx=F(y_2)-F(y_1)$ ma questo è vero solo fintanto che $y_2>y_1$ Altrimenti non è vero, per fortuna si può dimostrare che in generale che $\int_{y_1}^{y_2}f(x)dx=-\int_{y_2}^{y_1}f(x)dx$ per qualunque estremo e qualunque funzione Riemann integrabile, in maniera tale da poter sempre tornare ad integrali con gli estremi giusti al posto giusto cioè un integrale con l'estremo superiore maggiore di quello inferiore.
Ora se nel primo sistema di rifermento era vero che $y_2>y_1$ nel secondo sistema di riferimento ciò non è più vero ma è vero il contrario cioè è vero che $y_2
\int_{y_2}^{y_1}f(x)dx=(F(y_1)-F(y_2))
$$
da qui in poi i passaggi sono banali e portano al risultato cercato.
Per il punto c) non capisco quale sia l'ostacolo che non ti porta alla dimostrazione, poiché il sistema di riferimento è orientato come quello nell'esempio a) i passaggi matematici sono i medesimi e ti portano infatti alla medesima soluzione corretta. Forse ciò che ti turba è che adesso una delle due $y$ è negativa, ma a noi non interessano i segni o i valori specifici delle $y$. Dal punto di vista matematico la relazione esce tale e quale ed anche i valori. Il fatto che ora uno dei due valori sia negativo non cambia nulla, perché traslando l'origine, rimane inalterata sia la distanza relativa fra i punti sia l'ordinamento dei punti. Quindi questo è solo una paturnia tua e non necessita di nessuna dimostrazione, al massimo puoi verificare che ciò che dico sia vero. Proviamo a farlo, riscriviamo per brevità la differenza di energia potenziale come $U_{y_1}-U_{y_2}=mg(y_1-y_2)$ in modo da preoccuparci solo di $(y_1-y_2)$ allora, fissiamo un primo sistema di riferimento tale per cui $y_2=7$ ed $y_1=1$ allora $(y_1-y_2)=-6$ ; a questo punto trasliamo l'origine facendo in modo che l'origine del nuovo sistema di riferimento si trovi nel punto $y=2$ del vecchio sistema di riferimento, allora è chiaro che nel nuovo sistema di riferimento $y_2=4$ ed $y_1=-2$ (infatti a tutti punti è stato sottratto $3$) allora avremo che $(y_1-y_2)=-6$.
Ti ho convinto? spero di si
Per l'esempio della molla vale lo stesso discorso fatto per il punto b) degli estremi di integrazione.
Ora se nel primo sistema di rifermento era vero che $y_2>y_1$ nel secondo sistema di riferimento ciò non è più vero ma è vero il contrario cioè è vero che $y_2
\int_{y_2}^{y_1}f(x)dx=(F(y_1)-F(y_2))
$$
da qui in poi i passaggi sono banali e portano al risultato cercato.
Per il punto c) non capisco quale sia l'ostacolo che non ti porta alla dimostrazione, poiché il sistema di riferimento è orientato come quello nell'esempio a) i passaggi matematici sono i medesimi e ti portano infatti alla medesima soluzione corretta. Forse ciò che ti turba è che adesso una delle due $y$ è negativa, ma a noi non interessano i segni o i valori specifici delle $y$. Dal punto di vista matematico la relazione esce tale e quale ed anche i valori. Il fatto che ora uno dei due valori sia negativo non cambia nulla, perché traslando l'origine, rimane inalterata sia la distanza relativa fra i punti sia l'ordinamento dei punti. Quindi questo è solo una paturnia tua e non necessita di nessuna dimostrazione, al massimo puoi verificare che ciò che dico sia vero. Proviamo a farlo, riscriviamo per brevità la differenza di energia potenziale come $U_{y_1}-U_{y_2}=mg(y_1-y_2)$ in modo da preoccuparci solo di $(y_1-y_2)$ allora, fissiamo un primo sistema di riferimento tale per cui $y_2=7$ ed $y_1=1$ allora $(y_1-y_2)=-6$ ; a questo punto trasliamo l'origine facendo in modo che l'origine del nuovo sistema di riferimento si trovi nel punto $y=2$ del vecchio sistema di riferimento, allora è chiaro che nel nuovo sistema di riferimento $y_2=4$ ed $y_1=-2$ (infatti a tutti punti è stato sottratto $3$) allora avremo che $(y_1-y_2)=-6$.
Ti ho convinto? spero di si
Per l'esempio della molla vale lo stesso discorso fatto per il punto b) degli estremi di integrazione.
Direi, a occhio, che per la molla e' sbagliato il segno del lavoro che e' sempre negativo.
Mi sembra, (ma i pedici non li vedo senza occhiali
] che l'errore siaa dovuto a quello piuttosto che agli estremi di integrazione.
Mi sembra, (ma i pedici non li vedo senza occhiali
] che l'errore siaa dovuto a quello piuttosto che agli estremi di integrazione.
Non è il lavoro che è sempre negativo (perché dipende dagli estremi di integrazione che posso cambiare a piacere) al massimo volevi dire che non puoi togliere quel meno dalla forza elastica, questo eccome se è vero, anzi non lo avevo notato scusa!
$F=-kx$ è una forza di richiamo proprio grazie a quel meno, e non cambia la sua forma cambiando il sistema di riferimento, altrimenti avresti che in un sistema di riferimento la molla oscilla attorno al suo punto di equilibrio mentre in un altro sistema di riferimento la molla tenderebbe semplicemente ad allungarsi sempre di più o a comprimersi sempre di più.
$F=-kx$ è una forza di richiamo proprio grazie a quel meno, e non cambia la sua forma cambiando il sistema di riferimento, altrimenti avresti che in un sistema di riferimento la molla oscilla attorno al suo punto di equilibrio mentre in un altro sistema di riferimento la molla tenderebbe semplicemente ad allungarsi sempre di più o a comprimersi sempre di più.
Si, impropriamente formulato. E' sbagliato il segno dell'integrale che deve essere sempre negativo.
Ok ho capito, grazie mille per la risposta. Per quanto riguarda la seconda questione (quellao che ho chiamato problema 2) invece? Perché dagli integrali si deve (giustamente) conservare l'energia meccanica anziché essere come ho scritto a matita?
Nel secondo integrale ti sei scordato un meno, hai $-ky$ ! La forza elastica è una forza di richiamo pertanto il segno meno va messo sempre indipendentemente dal sistema di riferimento. Quel meno è la caratterista più importante della forza elastica, ed proprio quel meno che genera il moto armonico, senza quel meno crolla il mondo.
Inoltre il sistema di riferimento, nel caso di una molla non lo puoi fissare con l'origine messa dove ti pare a te, l'origine deve essere nel punto in cui la molla si trova a riposo, questo ti permette di scrivere $F=-ky$ altrimenti la forma della forza elastica cambia e diventa $F=-k(y-l_0)$ con $l_0$ misurato rispetto al sistema di riferimento scelto, dove $l_0$ è la distanza del punto in cui la molla è a riposo rispetto all'origine, nel caso particolare in cui l'origine è fissata nel punto in cui la molla è a riposo allora chiaramente $l_0=0$ e quindi ottieni la tua bella formulina. Ricorda (e questo è estremamente importante) che la forza elastica non è proporzionale a una qualche coordinata a muzzo, ma è proporzionale all'allungamento della molla!
Inoltre il sistema di riferimento, nel caso di una molla non lo puoi fissare con l'origine messa dove ti pare a te, l'origine deve essere nel punto in cui la molla si trova a riposo, questo ti permette di scrivere $F=-ky$ altrimenti la forma della forza elastica cambia e diventa $F=-k(y-l_0)$ con $l_0$ misurato rispetto al sistema di riferimento scelto, dove $l_0$ è la distanza del punto in cui la molla è a riposo rispetto all'origine, nel caso particolare in cui l'origine è fissata nel punto in cui la molla è a riposo allora chiaramente $l_0=0$ e quindi ottieni la tua bella formulina. Ricorda (e questo è estremamente importante) che la forza elastica non è proporzionale a una qualche coordinata a muzzo, ma è proporzionale all'allungamento della molla!
Ok, perfetto ora mi è tutto chiaro, ti ringrazio nuovamente, sei stato gentilissimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo