Secondo principio di Hamilton

[5mrkv]

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$1.$ Per ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange dall'azione mi sono affidato al libro di analisi. Il libro di meccanica però ricava anche le equazioni di Hamilton dal secondo principio di Hamilton, quindi dall'azione modificata. Ora, perché la variazione di $S=\int_{t_a}^{t_b}(\sum_ip_idq_i-H dt)$ è data da $\delta S = \int_{t_a}^{t_b}(\delta p dq-pd \delta q-\frac{\partial H}{\partial q} \delta qdt-frac{\partial H}{\partial p} \delta p dt)$ ? Capisco i risultati su $H$ ma non quelli sugli ultimi due termini. Infatti per $H(u)$ ho $\delta H(u)=H(u+\delta u)-H(u)=\frac{\partial H}{\partial u}\delta u$ per fare un esempio.

$2.$ Ritorniamo alla forma modificata dell'azione, $S$. Si parla di trasformazioni canoniche. Affinché due variabili $P$ e $Q$, trasformate di $p$ e $q$, soddisfino le equazioni di Hamilton (e che siano quindi canoniche) è necessario che soddisfino il principio di minima azione. Questo vale anche per le vecchie coordinate $p$ e $q$. Quindi abbiamo $\delta \int_{t_a}^{t_b}(\sum_ip_idq_i-H dt)=0$ e $\delta \int_{t_a}^{t_b}(\sum_iP_idQ_i-H' dt)=0$ dove la variazione è svolta tenendo gli estremi delle coordinate e degli impulsi fissati. Le precedenti sono equivalenti soltanto a condizione che le funzioni integrande differiscano di un differenziale totale funzione delle coordinate, degli impulsi e del tempo.
-Perché le precedenti devono essere equivalenti? Cosa significa? Somma a membro a membro e ricava la condizione di uguaglianza per le espressioni integrande?
-Come fuori questa funzione $dF(q,Q,p,P,t)$ ?
-La condizione di minimo per l'azione, e quindi l'esistenza del moto, non impone l'obbligo della canonicità per qualsiasi coppia di variabili $p$ e $q$? Il secondo principio di Hamilton infatti dice che condizione necessaria e sufficiente perché l'azione sia stazionaria su una traiettoria, è che questa soddisfi le equazioni di Hamilton. Come fanno ad esistere trasformazioni non canoniche?

[Sk_Anonymous]

Probabilmente stai trascurando il fatto fondamentale che le equazioni del moto debbano avere la stessa forma:

$\{(dotq=(delH)/(delp)),(dotp=-(delH)/(delq)):} hArr \{(dotQ=(delH')/(delP)),(dotP=-(delH')/(delQ)):}$

[5mrkv]

Appunto. Allora come fanno ad esserci trasformazioni non canoniche? Per il resto?

[Sk_Anonymous]

L'argomento è abbastanza ostico dal punto di vista matematico. In ogni modo, ti assicuro che non tutte le trasformazioni sono "canoniche". Puoi trovare molto materiale, anche in rete, se vuoi approfondire. Che cosa intendi per il resto della discussione? Il primo punto?

[5mrkv]

Ok. Allora il senso di quel differenziale $dF$. Che senso ha dire che le espressioni integrande sono identiche a meno di un differenziale $dF$? Ad intuito direi che se infilo un $dF$ dentro una delle due allora questo scompare integrando. Ma non mi sembra un granché. Magari chiedo di spostare nel thread Analisi dato che l'argomento è prettamente quello. A parte i dubbi sulla canonicità

[yoshiharu]

"5mrkv":Ok. Allora il senso di quel differenziale $dF$. Che senso ha dire che le espressioni integrande sono identiche a meno di un differenziale $dF$? Ad intuito direi che se infilo un $dF$ dentro una delle due allora questo scompare integrando.

No, non e' che scompare integrando, e' che essendo un differenziale esatto dipende solo dagli estremi di integrazione, che durante la variazione tieni costanti: cioe' non contribuisce alla variazione.

Per quanto riguarda il resto, tieni conto che mentre le trasformazioni puntuali (cioe' [tex]q \rightarrow Q(q)[/tex]) possono essere estese a trasformazioni canoniche, puoi sempre mischiare le carte (in una trasformazione generale) e far dipendere le nuove coordinate anche dagli impulsi. Cio' aumenta di molto il "coefficiente di difficolta'" (cioe', non sempre ti vengono canoniche)

[5mrkv]

"yoshiharu":[quote="5mrkv"]Ok. Allora il senso di quel differenziale $dF$. Che senso ha dire che le espressioni integrande sono identiche a meno di un differenziale $dF$? Ad intuito direi che se infilo un $dF$ dentro una delle due allora questo scompare integrando.

No, non e' che scompare integrando, e' che essendo un differenziale esatto dipende solo dagli estremi di integrazione, che durante la variazione tieni costanti: cioe' non contribuisce alla variazione.
[/quote]Un differenziale esatto in genere si annulla quando le coordinate di partenza sono uguali a quelle di arrivo. Nel mio caso la classe delle funzioni ammissibili ha coordinate e momenti fissati, ma non uguali.

"yoshiharu":
Per quanto riguarda il resto, tieni conto che mentre le trasformazioni puntuali (cioe' [tex]q \rightarrow Q(q)[/tex]) possono essere estese a trasformazioni canoniche, puoi sempre mischiare le carte (in una trasformazione generale) e far dipendere le nuove coordinate anche dagli impulsi. Cio' aumenta di molto il "coefficiente di difficolta'" (cioe', non sempre ti vengono canoniche)

La domanda era, come fanno a non essere canoniche se la condizione di canonicità deriva direttamente dal secondo principio di Hamilton, che impone le condizioni di esistenza del moto? Potrebbe essere che se il principio è soddisfatto allora si ha moto, ma se si ha moto non necessariamente il principio è soddisfatto. Boh.

[dissonance]

Una curiosità: da che libri stai studiando? Quello di meccanica è per caso lo Strumia?

[5mrkv]

-Goldstein
-Landau-Lifsits
-Turchetti

La roba a primo post viene dal Landau-Lifsits.

[yoshiharu]

"5mrkv":Un differenziale esatto in genere si annulla quando le coordinate di partenza sono uguali a quelle di arrivo. Nel mio caso la classe delle funzioni ammissibili ha coordinate e momenti fissati, ma non uguali.

E' appunto quel che dicevo: la quantita' che ti interessa e' [tex]\delta \int (L_H + dF)[/tex], il secondo termine e' [tex]\delta F |^b_a = 0[/tex], per cui le soluzioni vecchie corrispondono alle nuove. E' questo che rende possibile la costruzione di trasformazioni canoniche in prima istanza.

La domanda era, come fanno a non essere canoniche se la condizione di canonicità deriva direttamente dal secondo principio di Hamilton, che impone le condizioni di esistenza del moto? Potrebbe essere che se il principio è soddisfatto allora si ha moto, ma se si ha moto non necessariamente il principio è soddisfatto. Boh.

Non sono sicuro di avere capito benissimo il tuo dubbio, per la verita': e' noto che esistono trasformazioni non canoniche, quindi non puo' essere che ne stai negando l'esistenza per cui devo rileggermi un momento il tuo post originario e pensarci un po'.

[5mrkv]

Ah, mi ero dimenticato che la variazione è anche su $dF$! Puoi scrivermi $\delta int_{t_1}^{t_2}\frac{dF}{dt}dt$ con la notazione completa? Cioè con i passaggi anche.

[yoshiharu]

"5mrkv":Ah, mi ero dimenticato che la variazione è anche su $dF$! Puoi scrivermi $\delta int_{t_1}^{t_2}\frac{dF}{dt}dt$ con la notazione completa? Cioè con i passaggi anche.

E' appunto quello che dicevo prima: la variazione di [tex]\int_{t_0}^{t_1} dF[/tex] si annulla, perche' si integra banalmente,

[tex]\int_{t_0}^{t_1} dF = F|_{t_0}^{t_1}[/tex]

e la variazione e' nulla agli estremi: non c'e' quindi niente da calcolare.

[5mrkv]

Ok.