Secchio di Newton
Buongiorno, sto affrontando il problema del secchio di Newton, devo trovare il profilo della superficie libera di un fluido perfetto e omogeneo con densità $\rho_0$ in un recipiente cilindrico che ruota a velocità angolare costante $\omega$.
Mi pongo in un sistema solidale al fluido che ruota (in modo da considerare nulla la velocità) e dunque oltre alle forze esterne $\b$ (che poi sarà solo la forza di gravità) ci sono forze apparenti $-\rho a$ con $\a$ accelerazione di trascinamento. Quindi l'equazione della fluidostatica diventa $\rho(b-a)=grad(p)$.
Il mio problema arriva adesso: la dispensa dice che il sistema ha soluzione perchè $b-a$ è un campo irrotazionale e per dimostrare che il rotore di $a$ è nullo dice che $a=-\omega^2x e_1-\omega^2ye_2$. Che poi il rotore di questa sia zero ok, ma non riesco ad arrivare a questa uguaglianza.
Altro problema è dopo: devo calcolare un potenziale per $b-a$ (con $b=-g e_3$). Ho fatto i conti e ho ottenuto:
integrando in x: $U(x,y,z)=-1/2\omega^2x^2+c(y,z)$ e poi ponendo le derivate rispetto a y e a z uguali alle componenti del campo ho ottenuto $U(x,y,z)=-1/2\omega^2x^2-1/2\omega^2y^2-gz$. Il testo invece dà come soluzione questa, ma con i primi due segni cambiati. Dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo, buon anno a tutti
Mi pongo in un sistema solidale al fluido che ruota (in modo da considerare nulla la velocità) e dunque oltre alle forze esterne $\b$ (che poi sarà solo la forza di gravità) ci sono forze apparenti $-\rho a$ con $\a$ accelerazione di trascinamento. Quindi l'equazione della fluidostatica diventa $\rho(b-a)=grad(p)$.
Il mio problema arriva adesso: la dispensa dice che il sistema ha soluzione perchè $b-a$ è un campo irrotazionale e per dimostrare che il rotore di $a$ è nullo dice che $a=-\omega^2x e_1-\omega^2ye_2$. Che poi il rotore di questa sia zero ok, ma non riesco ad arrivare a questa uguaglianza.
Altro problema è dopo: devo calcolare un potenziale per $b-a$ (con $b=-g e_3$). Ho fatto i conti e ho ottenuto:
integrando in x: $U(x,y,z)=-1/2\omega^2x^2+c(y,z)$ e poi ponendo le derivate rispetto a y e a z uguali alle componenti del campo ho ottenuto $U(x,y,z)=-1/2\omega^2x^2-1/2\omega^2y^2-gz$. Il testo invece dà come soluzione questa, ma con i primi due segni cambiati. Dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo, buon anno a tutti
Risposte
La butto lì: a occhio e croce se $ \vec a$ è l'accelerazione dovuta alla forza apparente allora dovrebbe coincidere con l'accelerazione centrifuga quindi $w^2 \vec r$ ed essendo $\vec r = (x, y)$ (perché l'accelerazione centrifuga non ha componente verticale) viene fuori quella roba la'.
Per il potenziale non so (tra l'altro non capisco neanche a che ti serva calcolarlo...). Avrai sbagliato qualche conto forse.
Per il potenziale non so (tra l'altro non capisco neanche a che ti serva calcolarlo...). Avrai sbagliato qualche conto forse.
Si, avevo immaginato venisse dall'accelerazione centrifuga, il mio problema è la scomposizione nelle due coordinate.
Per il potenziale mi sono fatto il problema per niente, semplicemente nel campo c'è un - davanti alla $a$. Comunque mi serve calcolarlo per poi usare l'equazione dei fluidi perfetti e esplicitare la $z$
Per il potenziale mi sono fatto il problema per niente, semplicemente nel campo c'è un - davanti alla $a$. Comunque mi serve calcolarlo per poi usare l'equazione dei fluidi perfetti e esplicitare la $z$
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