Scomposizione accelerazione nel moto curvilineo
In un moto curvilineo che legame c'è tra \(\displaystyle a= a(t) + a(n) \) cioè accelerazione tangente + accelerazione centripeta e \(\displaystyle a=a(x) + a(y) \)?
Risposte
Non so se ho capito...
l'accelerazione tangente e quella centripeta sono perpendicolari?
l'accelerazione tangente e quella centripeta sono perpendicolari?
l'unica differenza sta nel sistema di riferimento che usi. accelerazione tangenziale e normale si riferisce a un sistema di coordinate polari, mentre ax,ay a un sistema di coordinate cartesiane. Il significato di ax e ay è banale, quindi non mi dilungherò. cerco di richiamare da dove vengono at e an.
Sistema di riferimento polare significa che scegli un punto O, il polo appunto, e scegli due versori per descrivere il moto:il versore ur ha direzione radiale, ovvero lungo la congiungente tra O e il punto di cui stai descrivendo il moto. Perpendicolare a ur sta $u_\theta$. Punto per punto, la posizione del punto puoi descriverla come il modulo r, che rappresenta la distanza euclidea tra O e il punto, e il versore $u_r$ che ti dice la direzione
$\vec s = r \vec{u_r}$.
Derivando due volte rispetto al tempo, ottieni la seguente espressione per l'accelerazione
$\vec a =[-(\theta'^2)r+r'']\vec u_r + [2\theta'r'+\theta''r]\vec u_\theta$ ($\Gamma$)
come vedi l'espressione dell'accelerazione risulta la somma di due vettori, una di direzione radiale, e che chiameremo accelerazione radiale, e l'altro di direzione lungo la traiettoria, che verrà chiamata accelerazione tangenziale.
Se poi vuoi passare dalle coordinate polari e cartesiane, vuoi cioè scriverti
$\vec a = a_x \vec u_x+a_y \vec u_y$, basta porre
$\vec u_r =\cos \theta \vec u_x+\sin\theta \vec u_y$
$\vec u_\theta =-\sin\theta \vec u_x+\cos\theta \vec u_y$.
Sostituisci all''equazione ($\Gamma$) e raccogli... ti rimane $\theta$ come parametro, ma lo elimini facilmente se conosci la $\theta(t)$.
Sistema di riferimento polare significa che scegli un punto O, il polo appunto, e scegli due versori per descrivere il moto:il versore ur ha direzione radiale, ovvero lungo la congiungente tra O e il punto di cui stai descrivendo il moto. Perpendicolare a ur sta $u_\theta$. Punto per punto, la posizione del punto puoi descriverla come il modulo r, che rappresenta la distanza euclidea tra O e il punto, e il versore $u_r$ che ti dice la direzione
$\vec s = r \vec{u_r}$.
Derivando due volte rispetto al tempo, ottieni la seguente espressione per l'accelerazione
$\vec a =[-(\theta'^2)r+r'']\vec u_r + [2\theta'r'+\theta''r]\vec u_\theta$ ($\Gamma$)
come vedi l'espressione dell'accelerazione risulta la somma di due vettori, una di direzione radiale, e che chiameremo accelerazione radiale, e l'altro di direzione lungo la traiettoria, che verrà chiamata accelerazione tangenziale.
Se poi vuoi passare dalle coordinate polari e cartesiane, vuoi cioè scriverti
$\vec a = a_x \vec u_x+a_y \vec u_y$, basta porre
$\vec u_r =\cos \theta \vec u_x+\sin\theta \vec u_y$
$\vec u_\theta =-\sin\theta \vec u_x+\cos\theta \vec u_y$.
Sostituisci all''equazione ($\Gamma$) e raccogli... ti rimane $\theta$ come parametro, ma lo elimini facilmente se conosci la $\theta(t)$.
Ma quindi non c'è nessun legame tra ax+ay e at+an? Nel senso avendo ax e ay non trovo anche at e an?
è la stessa identica accelerazione...solo che invece di esprimerla con le componenti x e y, le esprimo come componente tangenziale e ortogonale alla traiettoria...ciascuna di queste componenti ha una componente x e una componente y, basta che ti fai il disegno...cosa non ti torna?
Ma non riesco a capire, ax= ac e ay= at ? Cioè come valore numerico sono uguali, cambia solo l'orientazione praticamente?
Che senso ha allora in un esercizio dare la legge oraria e chiedere la scomposizione cartesiana dell'accelerazione e nella domanda successiva la scomposizione ac+at??
Che senso ha allora in un esercizio dare la legge oraria e chiedere la scomposizione cartesiana dell'accelerazione e nella domanda successiva la scomposizione ac+at??
non hanno valore numerico (suppongo tu intenda dire coordinate) uguali. L'accelerazione totale ha un modulo e un verso, e questi non cambiano se cambi sistema di riferimento. Se prendi un sistema di riferimento Oxy, con x orizzontale e v verticale, esprimerai l'accelerazione come somma di due vettori, uno lungo x e l'altro lungo y. in un altro sistema di riferimento tu dici: prendo come due assi ortogonali x' tangente alla traiettoria e y' perpendicolare alla traiettoria. lo stesso vettore di prima avrà una componente in x' e una componente in y'. A priori non puoi dire che c'è un legame tra la coordinata x e la coordinata x' dell'accelerazione, a meno che tu non conosca la legge di trasformazione (cioè l'applicazione di cambiamento di base)
Come non hanno valore numerico? Si che lo hanno!
Comunque se un esercizio mi chiede di scomporre il vettore accelerazione come an+at devo usare le relative formule, senza sfruttare la scomposizione cartesiana che ho gia trovato?
Ho un po' di confusione...
Comunque se un esercizio mi chiede di scomporre il vettore accelerazione come an+at devo usare le relative formule, senza sfruttare la scomposizione cartesiana che ho gia trovato?
Ho un po' di confusione...
prova a proporre l'esercizio
A dire il vero l'avevo già proposto:
moto-circolare-t93719.html
il passo successivo era scomporre il vettore accelerazione come a=an+at
moto-circolare-t93719.html
il passo successivo era scomporre il vettore accelerazione come a=an+at
Ti provo a rispondere in 2 parole.
Hai il vettore posizione, lo derivi hai il vettore velocità, lo derivi ancora hai il vettore accelerazione.
Tutti e 3 sono funzione del tempo.
Quindi scomponi l'accelerazione in due componenti, una parallela alla velocità e l'altra che sarà ortogonale.
Per fare ciò calcoli il versore velocità, che è sempre tangenziale alla curva.
Questo metodo funziona in generale per tutte le curve.
Hai il vettore posizione, lo derivi hai il vettore velocità, lo derivi ancora hai il vettore accelerazione.
Tutti e 3 sono funzione del tempo.
Quindi scomponi l'accelerazione in due componenti, una parallela alla velocità e l'altra che sarà ortogonale.
Per fare ciò calcoli il versore velocità, che è sempre tangenziale alla curva.
Questo metodo funziona in generale per tutte le curve.
Ma derivando x ottengo vx, derivando vx ottengo ax;
derivando y ottengo vy, derivando vy ottengo ay!!
E ac e at come le ottengo? è questo che non capisco..
derivando y ottengo vy, derivando vy ottengo ay!!
E ac e at come le ottengo? è questo che non capisco..
$\{(vecr=xveci+yvecj),(vecv=dotxveci+dotyvecj),(veca=ddotxveci+ddotyvecj):}$
$\{(vect=dotx/(sqrt(dotx^2+doty^2))veci+doty/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecj),(vecn=(-doty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))veci+dotx/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecj):}$
$[veca=a_tvect+a_nvecn] rarr \{(a_t=veca*vect=(dotxddotx+dotyddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))),(a_n=veca*vecn=(-dotyddotx+dotxddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))):} rarr [veca=(dotxddotx+dotyddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))vect+(-dotyddotx+dotxddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecn]$
$\{(vect=dotx/(sqrt(dotx^2+doty^2))veci+doty/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecj),(vecn=(-doty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))veci+dotx/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecj):}$
$[veca=a_tvect+a_nvecn] rarr \{(a_t=veca*vect=(dotxddotx+dotyddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))),(a_n=veca*vecn=(-dotyddotx+dotxddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))):} rarr [veca=(dotxddotx+dotyddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))vect+(-dotyddotx+dotxddoty)/(sqrt(dotx^2+doty^2))vecn]$
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