[Scienza delle costruzioni] Sezione a Z soggetta a taglio
Salve, ho un problema nel risolvere una sezione a Z (sottile) soggetta a taglio, in breve dopo aver determinato i momenti di inerzia, l'inclinazione degli assi centrali d'inerzia, i momenti statici ed anche le tau zy correttamente, però ho difficoltà con le tau zx... qui i conti non tornano e non riesco a venirne a capo dato che ho ricontrollato diverse volte i calcoli:
http://www.fragger.altervista.org/downl ... taglio.pdf (per scaricare il file cliccate sul link col tasto destro del mouse e fate un: "Salva con nome")
Può qualche anima pia indicarmi dove sto sbagliando?
http://www.fragger.altervista.org/downl ... taglio.pdf (per scaricare il file cliccate sul link col tasto destro del mouse e fate un: "Salva con nome")
Può qualche anima pia indicarmi dove sto sbagliando?
Risposte
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il mio Acrobat 6.0 non legge il file
prova con questo qui, che tra l'altro è più aggiornato del precedente:
http://www.fragger.altervista.org/downl ... _Z_web.pdf
il file può essersi danneggiato fra un passaggio e l'altro, a scanso di ulteriori problemi ti do anche i link alle scansioni delle pagine, i file sono ottimizzati per il web ma sono leggibili:
http://www.fragger.altervista.org/download/1.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/2.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/3.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/4.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/5.jpg
le procedure per ricavare le leggi dei momenti statici sono corrette, sono arrivato alle stesse conclusioni usando due metodi diversi. Ad un certo punto ho pensato di aver sbagliato qualcosa applicando questa formula, per ricavare i valori dei momenti d'inerzia relativi agli assi principali d'inerzia:
$ I _{xi} ,I _{eta} = frac{I _{x} +I _{y} }{2} +- sqrt{ ( frac{I _{x} -I _{y} }{2} ) ^{2} + (I _{xy} ) ^{2} } $
ma non è una formula che si presti tanto all'errore e poi ho potuto verificare i momenti d'inerzia $ I _{xi} $ ed $ I _{eta} $ e l'inclinazione degli assi principali $ alpha $ con Olobeam e sono corretti...
non so perché ma non riesco a venirne a capo.
http://www.fragger.altervista.org/downl ... _Z_web.pdf
il file può essersi danneggiato fra un passaggio e l'altro, a scanso di ulteriori problemi ti do anche i link alle scansioni delle pagine, i file sono ottimizzati per il web ma sono leggibili:
http://www.fragger.altervista.org/download/1.jpg
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http://www.fragger.altervista.org/download/3.jpg
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le procedure per ricavare le leggi dei momenti statici sono corrette, sono arrivato alle stesse conclusioni usando due metodi diversi. Ad un certo punto ho pensato di aver sbagliato qualcosa applicando questa formula, per ricavare i valori dei momenti d'inerzia relativi agli assi principali d'inerzia:
$ I _{xi} ,I _{eta} = frac{I _{x} +I _{y} }{2} +- sqrt{ ( frac{I _{x} -I _{y} }{2} ) ^{2} + (I _{xy} ) ^{2} } $
ma non è una formula che si presti tanto all'errore e poi ho potuto verificare i momenti d'inerzia $ I _{xi} $ ed $ I _{eta} $ e l'inclinazione degli assi principali $ alpha $ con Olobeam e sono corretti...
non so perché ma non riesco a venirne a capo.
ma perché cambi riferimento, ti viene richiesto dal problema, o è una tua scelta? Se non è richiesto, io rimarrei agli assi x e y, visto che cerchi Tau zx etc
Io sto cercando $ tau_{z,xi} $ e $ tau_{z,eta} $ per questo devo cambiare sistema di riferimento, altrimenti vado a fare qualcosa che la traccia non chiede.
va bene, però avevi detto di avere difficoltà colle $tau_(zx)$; comunque non fa differenza.
Intanto io comincerei a calcolare la $tau_(xz)$, visto che poi, se la trave è sottile, il legame tra questa e la $tau_(xiz)$ è puramente geometrico, dato che puoi scrivere che $tau_(xz)*cosalpha=tau_(xiz)$.
La $tau_(xz)$ la sai calcolare?
Intanto io comincerei a calcolare la $tau_(xz)$, visto che poi, se la trave è sottile, il legame tra questa e la $tau_(xiz)$ è puramente geometrico, dato che puoi scrivere che $tau_(xz)*cosalpha=tau_(xiz)$.
La $tau_(xz)$ la sai calcolare?
E' che nel file pdf che avevo messo all'inizio della discussione avevo chiamato x ed y gli assi principali di inerzia inclinati $ alpha $ rispetto a $ xi $ ed $ eta $ che erano assi baricentrici ortogonali fra loro, quando sono andato a rifare l'esercizio ho voluto cambiare convenzione.
Si, so calcolare la $tau_(xz)$ , so applicare Jourawsky, magari provo a fare come hai detto.
[UP]
In effetti quello che dici ha senso, però il taglio F agisce in direzione ortogonale all'asse x per cui devo considerare una distribuzione $ tau_(zy) $ che in effetti è più facile da calcolare (per quanto riguarda i momenti statici ed i momenti d'inerzia), e che poi posso usare per ricavare le mie $ tau_(z xi) $ e $ tau_(z eta) $ proiettando sugli assi centrali d'inerzia $ xi $ ed $ eta $.
O forse no? Forse la trattazione approssimata di Jourawsky impone che le distribuzioni tangenziali di sforzo vengano calcolate rispetto agli assi centrali d'inerzia della sezione? In questo momento il dubbio mi viene.
[/UP]
Si, so calcolare la $tau_(xz)$ , so applicare Jourawsky, magari provo a fare come hai detto.
[UP]
In effetti quello che dici ha senso, però il taglio F agisce in direzione ortogonale all'asse x per cui devo considerare una distribuzione $ tau_(zy) $ che in effetti è più facile da calcolare (per quanto riguarda i momenti statici ed i momenti d'inerzia), e che poi posso usare per ricavare le mie $ tau_(z xi) $ e $ tau_(z eta) $ proiettando sugli assi centrali d'inerzia $ xi $ ed $ eta $.
O forse no? Forse la trattazione approssimata di Jourawsky impone che le distribuzioni tangenziali di sforzo vengano calcolate rispetto agli assi centrali d'inerzia della sezione? In questo momento il dubbio mi viene.
[/UP]
se tu ripercorri l'approccio della teoria approssimata del taglio, vedi che in realtà si tratta solo di scrivere le equazioni di equilibrio. Queste sono vere sempre, indipendentemente dagli assi considerati (sono le equazioni cardinali).
Se tu sezioni un'ala di un concio di trave di lunghezza $dz$ con un piano parallelo al piano per Gxz (contenente l'asse $y_1$ della fig. 1), e consideri la parte che rimane alla sua sinistra, vedi che se $(delsigma_z)/(delx)!=0$, l'equilibrio alla traslazione del pezzo lungo $z$ è garantito solo da una $tau_(xz)$ che vi si oppone. E' così che la puoi calcolare. Vediamo come fare, considerando per semplicità di calcolo $sigma_z$ uniforme lungo $delta$. Il calcolo preciso lo puoi rifare tu.
Dopo aver fatto la sezione come detto prima, ti ritrovi un parallelepipedo di lunghezza $dz$, altezza $delta$ e larghezza $a-x$.
Portai scrivere il suo equilibrio alla traslazione lungo $z$ nel seguente modo:
$-sigma_z*delta*(a-x)+(sigma_z+(delsigma_z)/(delx)*dz)*delta*(a-x)-tau_(xz)*delta*dz=0$, e svolgendo tutti i calcoli necessari arrivi a:
$tau_(xz)=(delsigma_z)/(delx)*(a-x)$
Se rifai i conti considerando anche la dipendenza di $sigma_z$ da y, otterrai di nuovo il momento statico della superfice $delta*(a-x)$ rispetto all'asse x, che già conoscevi. E' chiaro?
Se tu sezioni un'ala di un concio di trave di lunghezza $dz$ con un piano parallelo al piano per Gxz (contenente l'asse $y_1$ della fig. 1), e consideri la parte che rimane alla sua sinistra, vedi che se $(delsigma_z)/(delx)!=0$, l'equilibrio alla traslazione del pezzo lungo $z$ è garantito solo da una $tau_(xz)$ che vi si oppone. E' così che la puoi calcolare. Vediamo come fare, considerando per semplicità di calcolo $sigma_z$ uniforme lungo $delta$. Il calcolo preciso lo puoi rifare tu.
Dopo aver fatto la sezione come detto prima, ti ritrovi un parallelepipedo di lunghezza $dz$, altezza $delta$ e larghezza $a-x$.
Portai scrivere il suo equilibrio alla traslazione lungo $z$ nel seguente modo:
$-sigma_z*delta*(a-x)+(sigma_z+(delsigma_z)/(delx)*dz)*delta*(a-x)-tau_(xz)*delta*dz=0$, e svolgendo tutti i calcoli necessari arrivi a:
$tau_(xz)=(delsigma_z)/(delx)*(a-x)$
Se rifai i conti considerando anche la dipendenza di $sigma_z$ da y, otterrai di nuovo il momento statico della superfice $delta*(a-x)$ rispetto all'asse x, che già conoscevi. E' chiaro?
E su questo sono d'accordo, ma guarda che per sezioni aperte in parete sottile abbiamo che:
Sistema di riferimento ($xi,eta$) centrale ($I_(xi eta)=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(xi) S_(eta)) (I_(eta) delta ) + frac (T_(eta) S_(xi)) (I_(xi) delta ) $
Sistema di riferimento con assi baricentrici ($x,y$) non centrale ($I_(x y)!=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(y)^* S_(x)) (I_(x) delta ) + frac (T_(x)^* S_(y)) (I_(y) delta ) $
con $T_(x)^*= frac(T_(x)-i_(x)T_(y))(1-i_(x)i_(y))$ , $T_(y)^*= frac(T_(y)-i_(y)T_(x))(1-i_(x)i_(y))$ , $i_(x)=frac(I_(xy))(Ix)$ , $i_(y)=frac(I_(xy))(Iy)$ .
con $s$ ascissa curvilinea lungo la linea media della sezione e $T$ azione di taglio deviata, quindi non è che io mi posso mettere semplicemente a fare $tau_(z y)*cosalpha=tau_(z eta)$ perché non è corretto e te ne accorgi anche empiricamente, per esempio verificandolo con una sezione ad L:
http://www.fragger.altervista.org/download/6.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/7.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/8.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/9.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/10.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/11.jpg
in quest'ultimo caso:
$ tau_(zy)(s_(1))=frac (6Fs_(1)(3l-2s_(1)))(5deltal^3) $
l'eguaglianza: $tau_(z y)*cosalpha=tau_(z eta)$ non è verificata.
Sistema di riferimento ($xi,eta$) centrale ($I_(xi eta)=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(xi) S_(eta)) (I_(eta) delta ) + frac (T_(eta) S_(xi)) (I_(xi) delta ) $
Sistema di riferimento con assi baricentrici ($x,y$) non centrale ($I_(x y)!=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(y)^* S_(x)) (I_(x) delta ) + frac (T_(x)^* S_(y)) (I_(y) delta ) $
con $T_(x)^*= frac(T_(x)-i_(x)T_(y))(1-i_(x)i_(y))$ , $T_(y)^*= frac(T_(y)-i_(y)T_(x))(1-i_(x)i_(y))$ , $i_(x)=frac(I_(xy))(Ix)$ , $i_(y)=frac(I_(xy))(Iy)$ .
con $s$ ascissa curvilinea lungo la linea media della sezione e $T$ azione di taglio deviata, quindi non è che io mi posso mettere semplicemente a fare $tau_(z y)*cosalpha=tau_(z eta)$ perché non è corretto e te ne accorgi anche empiricamente, per esempio verificandolo con una sezione ad L:
http://www.fragger.altervista.org/download/6.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/7.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/8.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/9.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/10.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/11.jpg
in quest'ultimo caso:
$ tau_(zy)(s_(1))=frac (6Fs_(1)(3l-2s_(1)))(5deltal^3) $
l'eguaglianza: $tau_(z y)*cosalpha=tau_(z eta)$ non è verificata.
fra
per capirci forse è utile che tu faccia una prova: seziona un'ala con una corda parallela all'asse $xi$ e poi calcolati $tau_(xiz)$ colla teoria approssimata. Poi mi dici cosa ottieni.
Riguardo l'esempio che hai citato della trave ad L, mi pare che tu concludi che il centro di taglio sia in A: secondo me è sbagliato.
per capirci forse è utile che tu faccia una prova: seziona un'ala con una corda parallela all'asse $xi$ e poi calcolati $tau_(xiz)$ colla teoria approssimata. Poi mi dici cosa ottieni.
Riguardo l'esempio che hai citato della trave ad L, mi pare che tu concludi che il centro di taglio sia in A: secondo me è sbagliato.
Va bene farò anche questo tentativo, per quanto riguarda il centro di taglio della L io credo che sia corretto, per una semplice questione di equilibrio alla rotazione; F è il risultante della distribuzione $tau$ sull'anima della sezione, quindi: $F**d=0$ è chiaro che $F!=0 -> d=0 -> C-=A$ è inevitabile.
Poi uno può sempre verificarselo con un programmino tipo olobeam http://www.olobeam.com/ :
http://www.fragger.altervista.org/download/l1.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/l2.jpg
Poi uno può sempre verificarselo con un programmino tipo olobeam http://www.olobeam.com/ :
http://www.fragger.altervista.org/download/l1.jpg
http://www.fragger.altervista.org/download/l2.jpg
fra
scusami ma ho pasticciato cogli assi. La corda deve essere parallela all'asse $eta$, per calcolarti $tau_(xiz)$, riportato nella figura del disegno contenuto nel file 1.jpg. (in cui, tra l'altro, hai cambiato nome agli assi, rispetto al file pdf).
scusami ma ho pasticciato cogli assi. La corda deve essere parallela all'asse $eta$, per calcolarti $tau_(xiz)$, riportato nella figura del disegno contenuto nel file 1.jpg. (in cui, tra l'altro, hai cambiato nome agli assi, rispetto al file pdf).
"kinder":
La corda deve essere parallela all'asse $eta$, per calcolarti $tau_(xiz)$, riportato nella figura del disegno contenuto nel file 1.jpg.
ed è esattamente quello che ho fatto in figura 4 ed il problema è proprio lì perché tutto quello che precede le $tau_(xiz)$ funziona perfettamente ed è corretto.(in cui, tra l'altro, hai cambiato nome agli assi, rispetto al file pdf).
E qual'è il problema? Altervista.org - bontà sua - non permette di scaricarlo per una sua particolare impostazione lato server, di cui io non ero a conoscenza. Fortunatamente non filtrano le jpg.
fra,
a me, salvo errori, viene la seguente espressione:
$tau_(xiz)=6/7*(s_1*F*cos alpha)/(a^2delta)$
Ti torna?
a me, salvo errori, viene la seguente espressione:
$tau_(xiz)=6/7*(s_1*F*cos alpha)/(a^2delta)$
Ti torna?
Purtroppo no, non so come l'hai ricavata ma se provi a integrare la tua legge: $d**int_0^atau_(z xi) ds$ ottieni come risultante della distribuzione un 0,052563*F e non può andare.
l'ho calcolata usando Jourawsky, come ti avevo suggerito di fare. Semplicemente non ho cambiato riferimento, e sono rimasto in xy. Perché dici che non va bene?
Ho dato un'occhiata al tuo foglio 4.jpg, e rilevo quanto segue:
1) la legge che fornisce $tau_(xiz)$ rispetto a $s_1$ è quadratica ripetto a quest'ultima, contrariamente a quanto ci si aspetti, cioè lineare (come viene a me);
2) riguardo al contributo al momento flettente, mi pare che tu consideri solo il momento rispetto all'asse $eta$, considerando solo $F*sen alpha$, mentre in realtà anche $F*cos alpha$ genera un momento flettente rispetto all'asse $xi$, che contribuisce alla $sigma_z$, quindi alla $tau_(xiz)$. Perché non l'hai considerata?
3) devi notare che le tensioni su una superfice sono invarianti rispetto al sistema di riferimento che utilizzi. Se tu calcoli $tau_(xiz)$ utilizzando il rifeminento xy sicuramente consideri tutta la forza F, non solo la sua componente lungo uno dei suoi assi principali di inerzia.
4) posso immaginare che quando considererai tutti i contributi alle tensioni, la dipendenza di cui sopra tornerà lineare.
Ho dato un'occhiata al tuo foglio 4.jpg, e rilevo quanto segue:
1) la legge che fornisce $tau_(xiz)$ rispetto a $s_1$ è quadratica ripetto a quest'ultima, contrariamente a quanto ci si aspetti, cioè lineare (come viene a me);
2) riguardo al contributo al momento flettente, mi pare che tu consideri solo il momento rispetto all'asse $eta$, considerando solo $F*sen alpha$, mentre in realtà anche $F*cos alpha$ genera un momento flettente rispetto all'asse $xi$, che contribuisce alla $sigma_z$, quindi alla $tau_(xiz)$. Perché non l'hai considerata?
3) devi notare che le tensioni su una superfice sono invarianti rispetto al sistema di riferimento che utilizzi. Se tu calcoli $tau_(xiz)$ utilizzando il rifeminento xy sicuramente consideri tutta la forza F, non solo la sua componente lungo uno dei suoi assi principali di inerzia.
4) posso immaginare che quando considererai tutti i contributi alle tensioni, la dipendenza di cui sopra tornerà lineare.
Se vuoi applicare Jourawsky devi attenerti a queste formule presenti in un qualunque testo:
Sistema di riferimento ($xi,eta$) centrale ($I_(xi eta)=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(xi) S_(eta)) (I_(eta) delta ) + frac (T_(eta) S_(xi)) (I_(xi) delta ) $
Sistema di riferimento con assi baricentrici ($x,y$) non centrale ($I_(x y)!=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(y)^* S_(x)) (I_(x) delta ) + frac (T_(x)^* S_(y)) (I_(y) delta ) $
con $T_(x)^*= frac(T_(x)-i_(x)T_(y))(1-i_(x)i_(y))$ , $T_(y)^*= frac(T_(y)-i_(y)T_(x))(1-i_(x)i_(y))$ , $i_(x)=frac(I_(xy))(Ix)$ , $i_(y)=frac(I_(xy))(Iy)$ .
anzi se dai un'occhiata ad un testo tipo Meccanica delle strutture 1 (Leone Corradi dell'Acqua) per evitare ogni equivoco la trattazione approssimata viene riportata solo ad assi centrali d'inerzia per la sezione, che sono poi assi neutri per la trave. Se il taglio non è parallelo ad uno degli a.c.i. bisogna scomporre la forza e ricavare le leggi delle tensioni tangenziali separatamente, la legge complessiva si ottiene per sovrapposizione degli effetti.
In alternativa, matematicamente, si possono dire tante cose bellissime, che però vengono a cadere nel momento stesso in cui vengono applicate.
PS - Se dai un'occhiata ad un caso più semplice del mio - ad esempio ad una sezione a doppio T soggetta a taglio $T_(y)$- noterai che la legge delle tensioni tangenziali dell'anima può essere eccome quadratica.
Sistema di riferimento ($xi,eta$) centrale ($I_(xi eta)=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(xi) S_(eta)) (I_(eta) delta ) + frac (T_(eta) S_(xi)) (I_(xi) delta ) $
Sistema di riferimento con assi baricentrici ($x,y$) non centrale ($I_(x y)!=0$)
$ tau_(z s)=frac (T_(y)^* S_(x)) (I_(x) delta ) + frac (T_(x)^* S_(y)) (I_(y) delta ) $
con $T_(x)^*= frac(T_(x)-i_(x)T_(y))(1-i_(x)i_(y))$ , $T_(y)^*= frac(T_(y)-i_(y)T_(x))(1-i_(x)i_(y))$ , $i_(x)=frac(I_(xy))(Ix)$ , $i_(y)=frac(I_(xy))(Iy)$ .
anzi se dai un'occhiata ad un testo tipo Meccanica delle strutture 1 (Leone Corradi dell'Acqua) per evitare ogni equivoco la trattazione approssimata viene riportata solo ad assi centrali d'inerzia per la sezione, che sono poi assi neutri per la trave. Se il taglio non è parallelo ad uno degli a.c.i. bisogna scomporre la forza e ricavare le leggi delle tensioni tangenziali separatamente, la legge complessiva si ottiene per sovrapposizione degli effetti.
In alternativa, matematicamente, si possono dire tante cose bellissime, che però vengono a cadere nel momento stesso in cui vengono applicate.
PS - Se dai un'occhiata ad un caso più semplice del mio - ad esempio ad una sezione a doppio T soggetta a taglio $T_(y)$- noterai che la legge delle tensioni tangenziali dell'anima può essere eccome quadratica.
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