Schrodinger Calcolo delle Variazioni
Come si fa a trovare il problema variazionale associato a Schrodinger?
Che è se non sbaglio la minimizzazione del funzionale Energia, ma formalmente come ci si arriva?
In alternativa su che libro posso trovarlo?
Che è se non sbaglio la minimizzazione del funzionale Energia, ma formalmente come ci si arriva?
In alternativa su che libro posso trovarlo?
Risposte
Bè puoi ragionare in analogia con il campo di klein-gordon, dove conosci sia la densità di lagrangiana che le equazioni del moto, e vedere se riesci a cavarci fuori qualcosa.
Ti ringrazio per la dritta, ma purtroppo non studio fisica e non ho capito nulla di quello che hai detto... 
avevo pensato di cercare una funzione smooth [tex]L(x,z,p)[/tex], [tex]L: \mathbb{R}^n \times \mathbb{C} \times \mathbb{C}^n\ \to \mathbb{C}[/tex] tale che
[tex]L_z(x,u,Du)-\sum_{i=1}^n (L_{p_i}(x,u,Du))_{x_i}=0[/tex] sia uguale all'equazione di schrodinger;
come si fa per trovare le equazioni di Eulero-Lagrange.
Perchè in questo modo associerei la edp di schrodinger al problema della ricerca dei punti critici del funzionale [tex]\int_{\mathbb{R}^n}L(x,u,Du) \ dx[/tex]
ma la funzione [tex]u[/tex] è complessa, quindi
mi pare che potrei scrivere [tex]L(x,u,Du)=\frac{1}{2}(V-E) \ u^2+ \frac{\bar{h}^2}{4m} Du^2[/tex], se non fosse che io so che mi dovrebbe venire fuori l'energia...
sbaglio qualcosa?
Forse dovrei considerare [tex]\mathbb{C}[/tex] come [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? ma in questo modo otterrei un sistema di 2 equazioni... non una eq. complessa...
certo da li potrei sempre unirle mettendo a una delle 2 l'unità immaginaria [tex]i[/tex], ma mi sembra una soluzione un pò "accerottata".
Che ne dici?
avevo pensato di cercare una funzione smooth [tex]L(x,z,p)[/tex], [tex]L: \mathbb{R}^n \times \mathbb{C} \times \mathbb{C}^n\ \to \mathbb{C}[/tex] tale che
[tex]L_z(x,u,Du)-\sum_{i=1}^n (L_{p_i}(x,u,Du))_{x_i}=0[/tex] sia uguale all'equazione di schrodinger;
come si fa per trovare le equazioni di Eulero-Lagrange.
Perchè in questo modo associerei la edp di schrodinger al problema della ricerca dei punti critici del funzionale [tex]\int_{\mathbb{R}^n}L(x,u,Du) \ dx[/tex]
ma la funzione [tex]u[/tex] è complessa, quindi
mi pare che potrei scrivere [tex]L(x,u,Du)=\frac{1}{2}(V-E) \ u^2+ \frac{\bar{h}^2}{4m} Du^2[/tex], se non fosse che io so che mi dovrebbe venire fuori l'energia...
sbaglio qualcosa?
Forse dovrei considerare [tex]\mathbb{C}[/tex] come [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? ma in questo modo otterrei un sistema di 2 equazioni... non una eq. complessa...
certo da li potrei sempre unirle mettendo a una delle 2 l'unità immaginaria [tex]i[/tex], ma mi sembra una soluzione un pò "accerottata".
Che ne dici?
Su wiki c'è qualcosa ma niente di esaltante...infatti si limita a considerare l'equazione agli autovalori per la parte spaziale.
Stavo continuando a pensarci e mi sono detto che una delle cose da prendere in considerazione è che l'equazione di Schroedinger è al primo ordine nella derivata temporale e le equazioni di E-L sono di secondo. Al massimo puoi cercare di fare una teoria hamiltoniana però mi pare che il prezzo da pagare sia di dover introdurre anche il campo complesso coniugato e trattarlo come una variabile......
Stavo continuando a pensarci e mi sono detto che una delle cose da prendere in considerazione è che l'equazione di Schroedinger è al primo ordine nella derivata temporale e le equazioni di E-L sono di secondo. Al massimo puoi cercare di fare una teoria hamiltoniana però mi pare che il prezzo da pagare sia di dover introdurre anche il campo complesso coniugato e trattarlo come una variabile......
Oggi interpretando un pò di materiale ho tirato fuori questo, ditemi che ne pensate...
Prendiamo l'equazione di Schrodinger, sappiamo che essa deriva dall'onda piana e poi si dice che le composizioni sono lineari... quindi vale in generale per ogni combinazione.
L'interpretazione che diamo fisicamente alla funzione d'onda è che il suo modulo quadro rappresenta la probabilità, quindi per ogni stato fisico [tex]||\psi||_2=1[/tex], questo significa che [tex]\forall \lambda\in \mathbb{R}-{0} \ \ \ \lambda \psi[/tex] non rappresenta un diverso stato fisico. Inoltre ovviamente dato che quello che ci interessa è il modulo quadro nemmeno un cambio di fase rappresenta un diverso stato fisico.
Quindi in definitiva mi pare di poter affermare che una soluzione dell'equazione di Schrodinger nel senso delle distribuzioni, è una funzione [tex]\psi\in H^1(\mathbb{R}^n)\ \ tc\ \ ||\psi||_2=1[/tex]
Il funzionale Energia di uno stato fisico è [tex]E(\psi)=\frac{\bar{h}^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^n} |D\psi|^2\ dx+ \int_{\mathbb{R}^n} V \ |\psi|^2\ dx[/tex]
Sia [tex]v=||v||_2 \ \psi[/tex] dove [tex]\psi[/tex] è uno stato fisico,
bisogna notare che [tex]E(v)=||v||_2^2\ E(\psi)[/tex]
Ora:
dire che [tex]u[/tex] STATO FISICO, è un punto critico del funzionale [tex]E[/tex] significa dire che in quel punto si annulla la "derivata", quindi si può andare a perturbare e guardare che condizione viene fuori.
Sia [tex]u_\tau=u+\tau f[/tex] dove [tex]f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)[/tex]
In quel punto l'energia è minima PER GLI STATI FISICI, quindi [tex]\frac{d(\frac{E(u_\tau)}{(u_\tau,u_\tau)})}{d\tau}|_{\tau=0}=0[/tex] e se avete la pazienza di svolgerlo, viene che la funzione [tex]u[/tex] soddisfa Schrodinger nel senso delle distribuzioni.
Che ne pensate?
Prendiamo l'equazione di Schrodinger, sappiamo che essa deriva dall'onda piana e poi si dice che le composizioni sono lineari... quindi vale in generale per ogni combinazione.
L'interpretazione che diamo fisicamente alla funzione d'onda è che il suo modulo quadro rappresenta la probabilità, quindi per ogni stato fisico [tex]||\psi||_2=1[/tex], questo significa che [tex]\forall \lambda\in \mathbb{R}-{0} \ \ \ \lambda \psi[/tex] non rappresenta un diverso stato fisico. Inoltre ovviamente dato che quello che ci interessa è il modulo quadro nemmeno un cambio di fase rappresenta un diverso stato fisico.
Quindi in definitiva mi pare di poter affermare che una soluzione dell'equazione di Schrodinger nel senso delle distribuzioni, è una funzione [tex]\psi\in H^1(\mathbb{R}^n)\ \ tc\ \ ||\psi||_2=1[/tex]
Il funzionale Energia di uno stato fisico è [tex]E(\psi)=\frac{\bar{h}^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^n} |D\psi|^2\ dx+ \int_{\mathbb{R}^n} V \ |\psi|^2\ dx[/tex]
Sia [tex]v=||v||_2 \ \psi[/tex] dove [tex]\psi[/tex] è uno stato fisico,
bisogna notare che [tex]E(v)=||v||_2^2\ E(\psi)[/tex]
Ora:
dire che [tex]u[/tex] STATO FISICO, è un punto critico del funzionale [tex]E[/tex] significa dire che in quel punto si annulla la "derivata", quindi si può andare a perturbare e guardare che condizione viene fuori.
Sia [tex]u_\tau=u+\tau f[/tex] dove [tex]f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)[/tex]
In quel punto l'energia è minima PER GLI STATI FISICI, quindi [tex]\frac{d(\frac{E(u_\tau)}{(u_\tau,u_\tau)})}{d\tau}|_{\tau=0}=0[/tex] e se avete la pazienza di svolgerlo, viene che la funzione [tex]u[/tex] soddisfa Schrodinger nel senso delle distribuzioni.
Che ne pensate?
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