Sbarretta e molla.
Ciao a tutti.
Volevo proporvi un esercizio che, francamente, non riesco proprio a capire.
Ho una sbarretta vincolata ad un estremo e attaccata ad una molla a riposo all'altro estremo.
[per vedere bene l'immagine apritela in un'altra scheda]
Mi chiede di calcolare la costante elastica della molla.
Ora sapendo che la forza elastica (che qui direi non sia costante e cambi anche in direzione) è $F_(el) = k ⊿L$ calcolo il deltaL attraverso il teorema di pitagora avendo notato che posso trattare il sistema come un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è data da sbarretta e molla nella situazione di equilibrio iniziale.
Il cateto dato quindi dalla molla allungata dovrebbe essere $c_2= sqrt(i^2-c_1^2) = sqrt(3)L $
Da qui:
$⊿L = L_(f) - L_(i) = sqrt(3)L - L = L(sqrt3 - 1)$
ora però per calcolare il K mi servirebbe il modulo della forza elastica (che non è nota) ma non riesco a capire da dove andare a ricavarla.
essendo (mi pare) tutte forze conservative potrei applicare il PCEM ma non mi pare che da li esca fuori qualcosa di utile.
Poi ho pensato alle equazioni della dinamica, ma anche in questo caso mi pare che per una soluzione decente mi servirebbe l'accelerazione del centro di massa della sbarretta (che non ho perchè mi chiede di calcolarla al punto successivo).
Boh. Sono veramente confuso. Molto confuso.
Spero in un vostro aiuto.
Ciao, grazie in anticipo.
Volevo proporvi un esercizio che, francamente, non riesco proprio a capire.
Ho una sbarretta vincolata ad un estremo e attaccata ad una molla a riposo all'altro estremo.
[per vedere bene l'immagine apritela in un'altra scheda]
Mi chiede di calcolare la costante elastica della molla.
Ora sapendo che la forza elastica (che qui direi non sia costante e cambi anche in direzione) è $F_(el) = k ⊿L$ calcolo il deltaL attraverso il teorema di pitagora avendo notato che posso trattare il sistema come un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è data da sbarretta e molla nella situazione di equilibrio iniziale.
Il cateto dato quindi dalla molla allungata dovrebbe essere $c_2= sqrt(i^2-c_1^2) = sqrt(3)L $
Da qui:
$⊿L = L_(f) - L_(i) = sqrt(3)L - L = L(sqrt3 - 1)$
ora però per calcolare il K mi servirebbe il modulo della forza elastica (che non è nota) ma non riesco a capire da dove andare a ricavarla.
essendo (mi pare) tutte forze conservative potrei applicare il PCEM ma non mi pare che da li esca fuori qualcosa di utile.
Poi ho pensato alle equazioni della dinamica, ma anche in questo caso mi pare che per una soluzione decente mi servirebbe l'accelerazione del centro di massa della sbarretta (che non ho perchè mi chiede di calcolarla al punto successivo).
Boh. Sono veramente confuso. Molto confuso.
Spero in un vostro aiuto.
Ciao, grazie in anticipo.
Risposte
Ironia della sorte, la soluzione sta tutta nella conservazione dell'energia meccanica...che avevi bollato come inutile 
)
)
Ah si? Allora rimango ancora più perplesso.. Per favore illuminami 
Ciao.
Se non dico "cavolate", nell'istante in cui si inverte il moto la sommatoria dei momenti delle forze è nulla. calcolando i momenti rispetto al punto attorno a cui la sbarretta ruota, il momento della reazione vincolare è nullo e quindi il momento della forza peso è equilibrato da quello della forza elastica:
$L/2mgcos(L/(2L))-Lk\DeltaL=0$
Da qui, sempre che non mi son scordato qualcosa, si può ricavare $k$
Se non dico "cavolate", nell'istante in cui si inverte il moto la sommatoria dei momenti delle forze è nulla. calcolando i momenti rispetto al punto attorno a cui la sbarretta ruota, il momento della reazione vincolare è nullo e quindi il momento della forza peso è equilibrato da quello della forza elastica:
$L/2mgcos(L/(2L))-Lk\DeltaL=0$
Da qui, sempre che non mi son scordato qualcosa, si può ricavare $k$
Devi semplicemente imporre che l'energia nella.configurazione iniziale sia uguale a quella della configurazione finale ad angolo retto. Tieni presente che l'energia cinetica è nulla in entrambi gli stati quindi devi lavorare solo con l'energia potenziale che è parte elastica e parte gravitazionale. Lo zero dell' energia potenziale gravitazionale lo puoi mettere dove ti pare (ad esempio nella configurazione iniziale). Ora si tratta solo di fare qualche calcolo.
io ho fatto cosi:
$E_(mf) = E_(mi)$
$E_(kf) + E_(pf) = E_(ki) + E_(p i)$
essendo l'energia cinetica nulla in entrambe le situazioni (perchè il sistema si trova istantaneamente fermo)
$E_(pf) = E_(p i)$
ma scegliendo come 0 la retta di posizione iniziale in cui si ha che la quota h del centro di massa della sbarretta è 0 e l'allungamento della molla è 0 si ha che $E_(p i) = 0 => E_(pf) = 0$
quindi:
$-mgh + 1/2k(⊿L)^2 = 0$ con $h$ trovato sapendo che la metà della sbarretta (ipotenusa) nella posizione finale è L/2, e che l'angolo tra la sbarretta nella posizione iniziale e quella finale è 60°(e quindi h è il cateto opposto alla metà della sbarretta nella posizione finale)
allora:
con ⊿L = $L(sqrt3 -1)$ si ha:
$1/2k(L(sqrt3-1))^2 = mg sqrt3/4 L$
$k= sqrt3/(2L) mg 1/ (sqrt3-1)^2 = sqrt3mg/(2L(sqrt3-1)^2$
è giusto o ho sbagliato?
comunque:
$E_(mf) = E_(mi)$
$E_(kf) + E_(pf) = E_(ki) + E_(p i)$
essendo l'energia cinetica nulla in entrambe le situazioni (perchè il sistema si trova istantaneamente fermo)
$E_(pf) = E_(p i)$
ma scegliendo come 0 la retta di posizione iniziale in cui si ha che la quota h del centro di massa della sbarretta è 0 e l'allungamento della molla è 0 si ha che $E_(p i) = 0 => E_(pf) = 0$
quindi:
$-mgh + 1/2k(⊿L)^2 = 0$ con $h$ trovato sapendo che la metà della sbarretta (ipotenusa) nella posizione finale è L/2, e che l'angolo tra la sbarretta nella posizione iniziale e quella finale è 60°(e quindi h è il cateto opposto alla metà della sbarretta nella posizione finale)
allora:
con ⊿L = $L(sqrt3 -1)$ si ha:
$1/2k(L(sqrt3-1))^2 = mg sqrt3/4 L$
$k= sqrt3/(2L) mg 1/ (sqrt3-1)^2 = sqrt3mg/(2L(sqrt3-1)^2$
è giusto o ho sbagliato?
comunque:
"Ziben":perchè
nell'istante in cui si inverte il moto la sommatoria dei momenti delle forze è nulla
Ciao,
perché, come hai detto tu, nell'istante in cui il moto si inverte il sistema è istantaneamente fermo e ho pensato che fosse istantaneamente in equilibrio. La mia era solo un'idea, non è molto che mi dedico alla fisica (e si vede). Tra l'altro ho anche sbagliato a scrivere volevo dire:
$L/2mgsin(30°)-Lk\DeltaL=0$
Non volevo incasinarti, tanto più che nel tuo calcolo io avrei messo $h=Lsin(60°)$ e non $L/2sin(60°)$. Chiedo venia
perché, come hai detto tu, nell'istante in cui il moto si inverte il sistema è istantaneamente fermo e ho pensato che fosse istantaneamente in equilibrio. La mia era solo un'idea, non è molto che mi dedico alla fisica (e si vede). Tra l'altro ho anche sbagliato a scrivere volevo dire:
$L/2mgsin(30°)-Lk\DeltaL=0$
Non volevo incasinarti, tanto più che nel tuo calcolo io avrei messo $h=Lsin(60°)$ e non $L/2sin(60°)$. Chiedo venia
Non è vero che se il sistema è fermo allora le forze o i momenti si equilibrano. Ad esempio nell'oscillatore armonico avviene esattamente il contrario e cioè quando la.massa è ferma la.forza.agente è massima, mentre quando passa nella posizione di equilibrio, cioè forza nulla, la.velocità è massima. In generale la forza è nulla quando l' accelerazione è nulla, non la velocità.
@Mikelozzo
Non ho controllato i dettagli dei calcoli ma l'impostazione e l' equazione sono giusti. A occhio e croce anche i calcoli mi sembrano ok.
Non ho controllato i dettagli dei calcoli ma l'impostazione e l' equazione sono giusti. A occhio e croce anche i calcoli mi sembrano ok.
"mathbells":
Non è vero che se il sistema è fermo allora le forze o i momenti si equilibrano. Ad esempio nell'oscillatore armonico avviene esattamente il contrario e cioè quando la.massa è ferma la.forza.agente è massima, mentre quando passa nella posizione di equilibrio, cioè forza nulla, la.velocità è massima. In generale la forza è nulla quando l' accelerazione è nulla, non la velocità.
infatti mi sembrava strano..
"mathbells":
Non ho controllato i dettagli dei calcoli ma l'impostazione e l' equazione sono giusti. A occhio e croce anche i calcoli mi sembrano ok.
ok grazie
[anche se la correzione del mio prof in aula prevedeva che K era uguale a DELTA(L); cosa che comunque mi era sembrata molto strana.. si sarà impappinato con le soluzioni]
Bè, k non può essere uguale a deltaL, per questioni dimensionali.
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