Sbarra su rotaie su campo magnetico
Ciao ragazzi, facendo un pò di esercizi ho trovato difficoltà in questo problema che credo sia tra l'altro un classico sui campi magnetici.
Praticamente abbiamo due rotaie (parallele ovviamente) di lunghezza $L$ poste ad una distanza $d$ l'una dall'altra.
All'inizio delle rotaie è posta una sbarra (di lunghezza $d$) di cui conosciamo massa $m$ e raggio $r$.
Sappiamo inoltre che nella sbarra scorre una corrente (con direzione verso il basso) $I$.
La richiesta è quella di calcolare la velocità della sbarra una volta che esce dai binari.
Io ho calcolato subito la forza magnetica pensado (e sbagliando) poi di usare la legge di newton, ma in realtà la sbarretta va considerata come tale e non come un punto materiale.
Sapete suggerirmi una strada?
Grazie in anticipo
Praticamente abbiamo due rotaie (parallele ovviamente) di lunghezza $L$ poste ad una distanza $d$ l'una dall'altra.
All'inizio delle rotaie è posta una sbarra (di lunghezza $d$) di cui conosciamo massa $m$ e raggio $r$.
Sappiamo inoltre che nella sbarra scorre una corrente (con direzione verso il basso) $I$.
La richiesta è quella di calcolare la velocità della sbarra una volta che esce dai binari.
Io ho calcolato subito la forza magnetica pensado (e sbagliando) poi di usare la legge di newton, ma in realtà la sbarretta va considerata come tale e non come un punto materiale.
Sapete suggerirmi una strada?
Grazie in anticipo
Risposte
La forza magnetica agente sulla sbarra è $vecF=Ivech times vec B$ (non sono date informazioni sul campo,
ma, posta la sbarra a sinistra, è ovvio che tale campo è entrante nel foglio; inoltre ho rinominato la lunghezza
della sbarra $h$, per evitare confusione con gli operatori differenziali). Per convincersene, un "semplice"
calcolo. Possiamo scomporre la corrente nella sbarra in tante correnti infinitesime che scorrono in dei "fili"
quadrati, disposti in modo radiale dal centro della sbarra. L'area di questi quadratini (sono pezzi di corone
circolari di raggi $r$ e $r+dr$) è data dalla proporzione $(pi[(r+dr)^2-r^2])/(dA)=(2pi)/(d theta)$, e trascurando
gli infinitesimi di ordine superiore al primo, $dA=r dr d theta$. La densità di corrente è $J=I/(pi R^2)$ ($R$ è il raggio
della sbarra), per cui $dI= (Ir dr d theta)/(pi R^2)$, e $dF=(I r dr d theta h B)/(pi R^2)$. Integrando, si ottiene
la forza totale agente sulla sbarra, ovvero $F=int int _(mbox(sbarra)) (I r h B)/(pi R^2) dr d theta=(IhB)/(pi R^2) int_0^R r dr int_0^(2pi) d theta=IhB$.
Ora, da $F=ma$, $a=(IhB)/m$, e poichè $L=1/2 (IhB)/m t^2$, dove $t$ è il tempo impegato a percorrere l'intera rotaia,
$t=sqrt((2Lm)/(IhB))$. Infine $(IhB)/m = vsqrt((2Lm)/(IhB))$, da cui $v=((IhB)^(3/2))/(m^(3/2)sqrt(2L))$.
ma, posta la sbarra a sinistra, è ovvio che tale campo è entrante nel foglio; inoltre ho rinominato la lunghezza
della sbarra $h$, per evitare confusione con gli operatori differenziali). Per convincersene, un "semplice"
calcolo. Possiamo scomporre la corrente nella sbarra in tante correnti infinitesime che scorrono in dei "fili"
quadrati, disposti in modo radiale dal centro della sbarra. L'area di questi quadratini (sono pezzi di corone
circolari di raggi $r$ e $r+dr$) è data dalla proporzione $(pi[(r+dr)^2-r^2])/(dA)=(2pi)/(d theta)$, e trascurando
gli infinitesimi di ordine superiore al primo, $dA=r dr d theta$. La densità di corrente è $J=I/(pi R^2)$ ($R$ è il raggio
della sbarra), per cui $dI= (Ir dr d theta)/(pi R^2)$, e $dF=(I r dr d theta h B)/(pi R^2)$. Integrando, si ottiene
la forza totale agente sulla sbarra, ovvero $F=int int _(mbox(sbarra)) (I r h B)/(pi R^2) dr d theta=(IhB)/(pi R^2) int_0^R r dr int_0^(2pi) d theta=IhB$.
Ora, da $F=ma$, $a=(IhB)/m$, e poichè $L=1/2 (IhB)/m t^2$, dove $t$ è il tempo impegato a percorrere l'intera rotaia,
$t=sqrt((2Lm)/(IhB))$. Infine $(IhB)/m = vsqrt((2Lm)/(IhB))$, da cui $v=((IhB)^(3/2))/(m^(3/2)sqrt(2L))$.
Grazie per la risposta, il campo magnetico è entrante nel foglio mi ero scordato di specificarlo.
Cmq mi sebra che tu lo abbia risolto come me ma il risultato non torna... provo a rifarlo qui cosi magari viene più chiaro.
I dati sono:
$m=0.72Kg$
$r=6cm$
$L=45cm$ lunghezza delle rotaie
$d=12cm$ lunghezza sbarretta
$I=48A$
$B=0.240T$
Ora la forza magnetica è $F=IdB=1.3824N$ se pongo $F=m*a$ trovo $a=1.3824/0.72=1.92 m/s^2$.
Fino a qua è giusto?
Poi ho usato, come te mi sembra, $Vf^2=Vi^2+2aL$ da cui $Vf=sqrt(2aL)=1.31 m/s$ invece il risultato che riporta il libro è $1.07 m/s$.
Secondo me, forse dico una cavolata, con questo tipo di risoluzione si intende la sbarretta come un punto materiale.
Sai dirmi dove sbaglio per favore?
Grazie
Cmq mi sebra che tu lo abbia risolto come me ma il risultato non torna... provo a rifarlo qui cosi magari viene più chiaro.
I dati sono:
$m=0.72Kg$
$r=6cm$
$L=45cm$ lunghezza delle rotaie
$d=12cm$ lunghezza sbarretta
$I=48A$
$B=0.240T$
Ora la forza magnetica è $F=IdB=1.3824N$ se pongo $F=m*a$ trovo $a=1.3824/0.72=1.92 m/s^2$.
Fino a qua è giusto?
Poi ho usato, come te mi sembra, $Vf^2=Vi^2+2aL$ da cui $Vf=sqrt(2aL)=1.31 m/s$ invece il risultato che riporta il libro è $1.07 m/s$.
Secondo me, forse dico una cavolata, con questo tipo di risoluzione si intende la sbarretta come un punto materiale.
Sai dirmi dove sbaglio per favore?
Grazie
Si ha che $vecF=m vec a_(cm)$, e l'accelerazione impressa al centro di massa è uguale a quella
impressa a tutta la sbarra. Comunque il mio risultato è $2,8 m/s$.
impressa a tutta la sbarra. Comunque il mio risultato è $2,8 m/s$.
Mmm tre risultati diversi sono molto rincuoranti 
... riporto cmq il disegnino dell'esercizio perchè non vorrei averlo spiegato male a parole...
La cosa che mi lascia un pò perplesso, anche se delle volte vengono forniti dati in più per deviare, è il fatto che venga dato il raggio della sbarretta.
Prego chiunque sappia aiutarmi di farlo perchè l'esame si avvicina
Grazie in anticipo!
... riporto cmq il disegnino dell'esercizio perchè non vorrei averlo spiegato male a parole...La cosa che mi lascia un pò perplesso, anche se delle volte vengono forniti dati in più per deviare, è il fatto che venga dato il raggio della sbarretta.
Prego chiunque sappia aiutarmi di farlo perchè l'esame si avvicina
Grazie in anticipo!
valutando il problema anche a ma pare che l'unica forza che agisca sul filo sia quella data dal campo magnetico $F=BId$, dove d è la lunghezza della sbarretta; infatti, usando la regola della mano detsra, viene indirizzata verso la direzione giusta...
quello che non si è tenuto conto è il momento d'inerzia $gamma$ del cilindro.
l'energia cinetica in questo caso è $K=1/2gammaomega^2$
in un cilindro pieno come nel nostro caso, $gamma=1/2mr^2
sostituendo si ottiene che $K=1/2*1/2mr^2omega^2=1/4mv^2
questa variazione di energia cinetica è uguale al lavoro effettuato dalla forza cioè $K=W=FL$ in quanto $K_0=0J$
quindi si ottiene $1/4mv^2=BIdL$ da cui $v=sqrt((4BILd)/m)=sqrt((4*0.24T*48A*0.12m*0.45m)/(0.72kg))=1.859m/s$
quello che non si è tenuto conto è il momento d'inerzia $gamma$ del cilindro.
l'energia cinetica in questo caso è $K=1/2gammaomega^2$
in un cilindro pieno come nel nostro caso, $gamma=1/2mr^2
sostituendo si ottiene che $K=1/2*1/2mr^2omega^2=1/4mv^2
questa variazione di energia cinetica è uguale al lavoro effettuato dalla forza cioè $K=W=FL$ in quanto $K_0=0J$
quindi si ottiene $1/4mv^2=BIdL$ da cui $v=sqrt((4BILd)/m)=sqrt((4*0.24T*48A*0.12m*0.45m)/(0.72kg))=1.859m/s$
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