Sbarra con moto di pendolo conico

[caffeinaplus]

Salve a tutti, ho il seguente esercizio:

Un pendolo conico è costituito semplicemente da una sbarra sottile ed uniforme, di lunghezza $L$, sospesa ad una sua estremità ad un punto fisso e libera di ruotare intorno ad esso senza attrito.
Un tale pendolo viene messo in rotazione uniforme e stabile intorno ad un asse verticale con velocità angolare costante $omega$. Si chiede di determinare l’angolo $theta$ compreso tra la sbarra e la direzione verticale.

(in spoiler trovate l'immagine dell'esercizio)

Dato che la massa è costante, la distanza sbarra-asse è costante e lo è pure la velocità angolare mi sono detto che si conserva il momento angolare del sistema, quindi

$Deltap=0$

Mi è sembrato un caso in cui è necessario e sufficiente studiare il moto del centro di massa, quindi mi sono limitato ad osservare che, date le premesse del moto deve essere vero che, assunto come polo il centro di massa, nel punto in cui la sbarra è incernierata al punto fisso, si ha una forza che deve contrastare la forza peso e la forza centrifuga che però non ha un momento rispetto a questo polo dato che il braccio e questa sono paralleli.

Dato che si conserva il momento angolare, e dato che l'unica forza in gioco che nel nostro sistema applica momento è la forza peso, si ha che, calcolata l'inerzia della sbarra rispetto all'asse di rotazione

$I= 1/3mL^2sin^2(theta)$

Allora

$Iw = 1/2mgLcos(theta)$

Ma questo non mi porta al risultato corretto.

Ho provato anche a scomporre la forza centrifuga ma con gli stessi scarsi risultati

Risultato: $3/2(g/(Lw^2))$

Edit: avevo interpretato male la forza centrifuga, però ancora non ho raggiunto il risultato giusto

Ho pensato anche che

$(dp)/(d(theta)) = 0 \Rightarrow d/(d(theta)) ( mw^2L/2*L/2*cos(theta) +mgL/2sin(theta) ) =0$

Allora

$gcos(theta)-(Lw^2)/2sin(theta)=0$

Che neanche ha funzionato

[Shackle]

Ti faranno presidente dell’ UCCS

Per caso, non ti viene in mente che, nel sistema di riferimento rotante con la sbarra, il risultante della forza peso e della forza centrifuga è equilibrato dalla reazione del vincolo?

[caffeinaplus]

Ti faranno presidente dell’ UCCS

Mi spiace ma non l'ho capita, oggi non sono molto perspicace

In ogni caso, si io ho proprio studiato il vincolo in pratica.
Infatti prendendo il centro di massa come polo e dato che $Deltap=0$ (momento angolare) si ha che

$mgsin(theta)L/2 +mw^2cos(theta)L^2/4=Iw$

Che è quello che ho proposto nel mio intervento iniziale in pratica, solo che trovavo più semplice usare la derivata dato si può porre l'espressione $=0$ mentre nel caso precedente mi troverei a dover risolvere

$mgsin(theta)L/2 +mw^2cos(theta)L^2/4=1/3mL^2sin^2(theta)w$

[Shackle]

Veniamo prima all'esercizio, poi alle facezie.

L'asta ha una massa distribuita su tutta la lunghezza , non è uguale a un filo senza massa che porta alla fine una massa concentrata. Quindi, la reazione del perno non è detto che sia diretta lungo l'asse dell'asta stessa, come nel caso del pendolo conico semplice. Questo rende un po' più difficoltoso il calcolo dell'angolo di equilibrio, che comunque si può fare anche senza considerare la reazione del perno, di cui parlavo prima.

Ci mettiamo in un sistema di coordinate rotante con la stessa velocità angolare costante $omega$ , sicché in tale sistema l'asta è in equilibrio sotto l'azione del momento della forza peso e del momento della forza centrifuga , entrambi calcolati rispetto al perno, e l'angolo tra l'asta e la verticale per il perno rimane costante.
Ma non possiamo sostituire semplicemente all'asta una massa concentrata nel CM , per calcolare la forza centrifuga e il suo momento rispetto al perno . Dobbiamo fare il calcolo per un tratto elementare $dx$ ( l'asse $x$ è l'asse dell'asta, con origine nel perno : vedi figura allegata ), e poi integrare lungo l'asse.
Allora , procediamo cosi (vedi figura). Per un tratto di asta lungo $dx$ , di massa $dm = m/Ldx$ , la forza centrifuga vale :

$df_c = dm*omega^2*xsen\theta$

e il momento rispetto al perno vale :

$ d\tau_c = df_c*xsen(\pi/2-\theta) = m/L\omega^2x^2sen\thetacos\theta dx$

Integrando da $0$ ad $L$, il momento totale della forza centrifuga vale :

$tau_c = 1/3m\omega^2L^2sen\thetacos\theta$

Il momento della forza peso rispetto al perno $P$ è invece semplicemente : $tau_p = mgL/2sen\theta$

Uguagliando i due momenti : $tau_c = tau_p$ ( per l'equilibrio nel sistema rotante) , si ottiene :

$cos\theta = 3/2 g/(omega^2L) $

Questa è la figura :

PS : la sigla UCCS significa : Ufficio Complicazione Cose Semplici.

[caffeinaplus]

Ma certo, più scorriamo lungo l'asta maggiore sarà il raggio della circonferenza percorsa dall'elemento infinitesimale!

Grazie mille

Ps: avevo letto il vecchio messaggio, non me l'ero presa per la storia dell'UCCS, veramente non avevo capito l'acronimo

[Shackle]

Si, il campo delle forze centrifughe varia con x e quindi col raggio. Il campo dei momenti varia con $x^2$ . Invece il campo gravitazionale è uniforme, su piccole distanze.