Satellite con attrito
Salve a tutti!
Mi piacerebbe un confronto sul seguente esercizio, che parafraso:
Un satellite di massa $m$ percorre un'orbita approssimativamente circolare intorno alla terra ed è soggetto a una forza di attrito $\vec{F}=-A\vec{v}$. Calcola la traiettoria del satellite $r(t)$ supponendo \(\displaystyle A \ll m/T \), dove $T$ è il periodo iniziale di rivoluzione.
Nell'ipotesi di attrito debole, posso supporre che la traiettoria si mantenga circolare su un periodo "al prim'ordine", e dunque per l'energia totale vale
$E=\frac{1}{2} m v^2-G\frac{mM}{r}=-\frac{1}{2}mv^2$ in quanto $G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$.
La variazione di energia mediata su un periodo è dunque
$\frac{dE}{dt}=-mv\frac{dv}{dt}=- < \vec{F}*\vec{v} > =Av^2$.
L'equazione differenziale che ottengo per $v$ ha soluzione
\(\displaystyle v(t)=v_0e^{-\frac{A}{m}t} \) che integrata nuovamente mi da
\(\displaystyle r(t)-r_0=\frac{v_0m}{A}(1-e^{-\frac{A}{m}t}) \). Volendo potrei eliminare una delle costanti di integrazione usando le relazioni per l'orbita circolare, ma mi interessa verificare la correttezza del risultato perché ho proceduto fondamentalmente per analogia con il moto di un elettrone classico che perde energia per irraggiamento e temo di essermi perso qualche dettaglio...
Mi piacerebbe un confronto sul seguente esercizio, che parafraso:
Un satellite di massa $m$ percorre un'orbita approssimativamente circolare intorno alla terra ed è soggetto a una forza di attrito $\vec{F}=-A\vec{v}$. Calcola la traiettoria del satellite $r(t)$ supponendo \(\displaystyle A \ll m/T \), dove $T$ è il periodo iniziale di rivoluzione.
Nell'ipotesi di attrito debole, posso supporre che la traiettoria si mantenga circolare su un periodo "al prim'ordine", e dunque per l'energia totale vale
$E=\frac{1}{2} m v^2-G\frac{mM}{r}=-\frac{1}{2}mv^2$ in quanto $G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$.
La variazione di energia mediata su un periodo è dunque
$\frac{dE}{dt}=-mv\frac{dv}{dt}=- < \vec{F}*\vec{v} > =Av^2$.
L'equazione differenziale che ottengo per $v$ ha soluzione
\(\displaystyle v(t)=v_0e^{-\frac{A}{m}t} \) che integrata nuovamente mi da
\(\displaystyle r(t)-r_0=\frac{v_0m}{A}(1-e^{-\frac{A}{m}t}) \). Volendo potrei eliminare una delle costanti di integrazione usando le relazioni per l'orbita circolare, ma mi interessa verificare la correttezza del risultato perché ho proceduto fondamentalmente per analogia con il moto di un elettrone classico che perde energia per irraggiamento e temo di essermi perso qualche dettaglio...
Risposte
Intanto, imponendo che la derivata temporale dell'energia meccanica sia uguale alla potenza sviluppata dalla forza di attrito, si ottiene un'equazione differenziale esatta le cui incognite sono il modulo del vettore posizione istantanea e il modulo del vettore velocità istantanea:
Inoltre, ipotizzando che l'accelerazione centripeta sia quella che compete a un moto circolare, si ottiene una relazione approssimata tra il modulo del vettore posizione istantanea e il modulo del vettore velocità istantanea:
A questo punto, sostituendo nell'equazione differenziale esatta, si ottiene un'equazione differenziale approssimata la cui incognita è il modulo del vettore velocità istantanea:
In conclusione:
essendo:
Prima di concludere, vale la pena sottolineare che la relazione che hai scritto:
è concettualmente (gravemente, lasciamelo dire) sbagliata.
Equazione differenziale esatta
$[E=m/2v^2-GMm1/r] ^^ [(dE)/(dt)=-Av^2] rarr [mvdotv+GMm1/r^2dotr=-Av^2]$
Inoltre, ipotizzando che l'accelerazione centripeta sia quella che compete a un moto circolare, si ottiene una relazione approssimata tra il modulo del vettore posizione istantanea e il modulo del vettore velocità istantanea:
Relazione approssimata
$[mv^2/r=GMm1/r^2] rarr [r=GM1/v^2] ^^ [dotr=-2GM1/v^3dotv]$
A questo punto, sostituendo nell'equazione differenziale esatta, si ottiene un'equazione differenziale approssimata la cui incognita è il modulo del vettore velocità istantanea:
$[dotv=A/mv] rarr [v=v_0e^(A/mt)]$
In conclusione:
$[r=GM1/v^2] ^^ [v=v_0e^(A/mt)] rarr [r=r_0e^(-(2A)/mt)]$
essendo:
$r_0=(GM)/v_0^2$
Prima di concludere, vale la pena sottolineare che la relazione che hai scritto:
$r-r_0=\int_{0}^{t}vdt$
è concettualmente (gravemente, lasciamelo dire) sbagliata.
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