Ruota su Tapis Roulant inclinato
Ho pensato ad un quesito di cinematica del piano inclinato:
Una ruota di massa M raggio r è appoggiata su un tapis roulant inclinato di Alfa°.
Appena la ruota inizia a rotolare il TR si avvia e scorre verso l'alto nel tentativo di "trattenere la caduta".
A che velocità deve andare il TR per fermare la discesa della ruota?
Una ruota di massa M raggio r è appoggiata su un tapis roulant inclinato di Alfa°.
Appena la ruota inizia a rotolare il TR si avvia e scorre verso l'alto nel tentativo di "trattenere la caduta".
A che velocità deve andare il TR per fermare la discesa della ruota?
Risposte
Penso che il moto della ruota sia uniformemente accelerato con $a=g*sin(\alpha)$
Quindi il TR deve accelerare anch'esso allo stesso modo
Quindi il TR deve accelerare anch'esso allo stesso modo
In prima battuta anche io pensavo così. Poi però....
La ruota è sottoposta alla forza G cha la fa scendere. Il nastro agisce solo con la forza di atrito volvente. La ruota non è motorizzata per cui il nastro agisce solo sul rotolamento della ruota e non la può trascinare in alto.
La ruota è sottoposta alla forza G cha la fa scendere. Il nastro agisce solo con la forza di atrito volvente. La ruota non è motorizzata per cui il nastro agisce solo sul rotolamento della ruota e non la può trascinare in alto.
"szanella68":
In prima battuta anche io pensavo così. Poi però....
La ruota è sottoposta alla forza G cha la fa scendere. Il nastro agisce solo con la forza di atrito volvente.
LA forza con cui il nastro agisce sulla ruota è la forza di attrito statico , non attrito volvente. Ammettiamo tacitamente che l'attrito sia sufficiente a consentire un moto di puro rotolamento , e questo dipende dall'angolo rispetto al piano orizzontale .
La ruota non è motorizzata per cui il nastro agisce solo sul rotolamento della ruota e non la può trascinare in alto.
Detto in soldoni, il nastro deve accelerare verso l'alto , visto che il disco accelera verso il basso, se vuoi che il disco "rimanga sul posto" , ruotando solamente senza traslare, rispetto a un osservatore inerziale fisso. Ma ci vuole un po' di riflessione.
Proponi la tua soluzione, come si richiede a chi posta un esercizio qui . Individua i riferimenti:assoluto e di trascinamento.Ricorda le formule di cinematica che legano velocità assoluta , relativa e di trascinamento , nonché le accelerazioni.Dopo di ciò,scrivi le equazioni che ti sembrano applicabili.
Visto che nessuno ha risposto, scrivo io qualcosa .
Il riferimento assoluto è quello di un osservatore fisso a terra , indicato con $OXY$ nel disegno allegato, a cui è solidale il sistema del nastro trasportatore . Il riferimento di trascinamento è un rif solidale al nastro, avente , ad esempio, un asse parallelo e l'altro perpendicolare ad esso. Spostamenti, velocità e accelerazioni sono tutte parallele al nastro.
Tra le velocità sussiste la solita relazione cinematica :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
dove con $vecv_r$ si deve intendere la velocità di traslazione del CM del disco nel rif del nastro . Perchè il disco sia fermo rispetto al rif assoluto deve essere :
$vecv_a =0 \rightarrow vecv_r = - vecv_t$
Ma anche l'accelerazione assoluta deve essere nulla, cioè deve essere :
$veca_a = veca_r+veca_t =0 \rightarrow veca_r=-veca_t $
Questa condizione, integrata con la condizione di velocità iniziale nulla del disco rispetto al nastro, porta automaticamente a scrive la relazione sopra detta per le velocità. Questa è la figura :
Analizziamo le forze che agiscono sul disco poggiato sul nastro . Supponiamo che il nastro non si deformi per effetto della massa del disco.
Abbiamo la forza peso del disco : $vecP $, che si scompone in componente tangente e componente normale al nastro; la reazione $vecR$ del nastro ha componente tangente , che è la forza di attrito statico $vecA$ agente sul disco, applicata nel punto di contatto $Q$ e diretta come in figura; e naturalmente componente normale $vecN$ . Diamo per scontato che l'attrito statico sia sufficiente per assicurare il rotolamento senza slittamento del disco rispetto al nastro , e cioè che sia : $A<=mu_sN$ .
La forza di attrito ha momento rispetto al centro $C$ del disco, dato da : $ vecM = (Q-C) timesvecA$ , di modulo :
$M=AR$
il quale causa accelerazione angolare del disco : $M =AR = Idotomega \rightarrow dotomega = (AR)/I = (2A)/(mR)$.
Scriviamo la 2º eq della dinamica per il CM del disco , punto $C$, nel riferimento NON inerziale del nastro, il quale ha, in direzione parallela, l'accelerazione di trascinamento $veca_t$ , di modulo : $a_t = dotomegaR = (2A)/m$, (come si vede usando la formula prima trovata per $dotomega$ ) : le forze agenti nel rif non inerziale sono quelle direttamente applicate , come detto, e la forza apparente di trascinamento $vecF_t $ :
$mveca_r = vecP + vecR + vecF_t $
la forza di trascinamento è data, come sempre, da : $vecF_t = -mveca_t$
Proiettando sulla perpendicolare al nastro si ha l'ovvia relazione : $N = mgcos\alpha$
Proiettando sulla direzione parallela , si ha :
$ma_r = A -ma_t -mgsen\alpha$
MA siccome abbiamo detto che deve essere : $veca_r = - veca_t $ , si ha, passando alle componenti e sostituendo:
$A - mgsen\alpha =0 $
da cui : $A = mgsenalpha \rightarrow dotomega = (2g)/Rsenalpha$
A questo si poteva arrivare quasi subito, dal punto di vista dell' OI esterno , per il quale non esistono forze di trascinamento : se si vuole che, rispetto a questo OI, il disco non trasli ma ruoti "sul posto" , cioè col CM in posizione fissa, la forza di attrito deve essere , in modulo , uguale alla componente della forza peso tangente al piano , e cioè la relazione già scritta :
$A = mgsenalpha$
quindi il disco, rispetto al nastro, accelera nel verso opposto al movimento del nastro: in realtà , rispetto ad OI esterno, è il nastro che accelera verso l'alto , con accelerazione di modulo : $a_t = 2gsenalpha$ . L'accelerazione angolare del disco vale :
$dotomega = (2g)/Rsenalpha$ .
Quindi Il disco ruota con velocità angolare crescente : $omega = (2g)/Rsenalpha*t $, e non si sposta rispetto all'OI esterno, cioè il CM rimane fisso rispetto a OI .
Il riferimento assoluto è quello di un osservatore fisso a terra , indicato con $OXY$ nel disegno allegato, a cui è solidale il sistema del nastro trasportatore . Il riferimento di trascinamento è un rif solidale al nastro, avente , ad esempio, un asse parallelo e l'altro perpendicolare ad esso. Spostamenti, velocità e accelerazioni sono tutte parallele al nastro.
Tra le velocità sussiste la solita relazione cinematica :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
dove con $vecv_r$ si deve intendere la velocità di traslazione del CM del disco nel rif del nastro . Perchè il disco sia fermo rispetto al rif assoluto deve essere :
$vecv_a =0 \rightarrow vecv_r = - vecv_t$
Ma anche l'accelerazione assoluta deve essere nulla, cioè deve essere :
$veca_a = veca_r+veca_t =0 \rightarrow veca_r=-veca_t $
Questa condizione, integrata con la condizione di velocità iniziale nulla del disco rispetto al nastro, porta automaticamente a scrive la relazione sopra detta per le velocità. Questa è la figura :
Analizziamo le forze che agiscono sul disco poggiato sul nastro . Supponiamo che il nastro non si deformi per effetto della massa del disco.
Abbiamo la forza peso del disco : $vecP $, che si scompone in componente tangente e componente normale al nastro; la reazione $vecR$ del nastro ha componente tangente , che è la forza di attrito statico $vecA$ agente sul disco, applicata nel punto di contatto $Q$ e diretta come in figura; e naturalmente componente normale $vecN$ . Diamo per scontato che l'attrito statico sia sufficiente per assicurare il rotolamento senza slittamento del disco rispetto al nastro , e cioè che sia : $A<=mu_sN$ .
La forza di attrito ha momento rispetto al centro $C$ del disco, dato da : $ vecM = (Q-C) timesvecA$ , di modulo :
$M=AR$
il quale causa accelerazione angolare del disco : $M =AR = Idotomega \rightarrow dotomega = (AR)/I = (2A)/(mR)$.
Scriviamo la 2º eq della dinamica per il CM del disco , punto $C$, nel riferimento NON inerziale del nastro, il quale ha, in direzione parallela, l'accelerazione di trascinamento $veca_t$ , di modulo : $a_t = dotomegaR = (2A)/m$, (come si vede usando la formula prima trovata per $dotomega$ ) : le forze agenti nel rif non inerziale sono quelle direttamente applicate , come detto, e la forza apparente di trascinamento $vecF_t $ :
$mveca_r = vecP + vecR + vecF_t $
la forza di trascinamento è data, come sempre, da : $vecF_t = -mveca_t$
Proiettando sulla perpendicolare al nastro si ha l'ovvia relazione : $N = mgcos\alpha$
Proiettando sulla direzione parallela , si ha :
$ma_r = A -ma_t -mgsen\alpha$
MA siccome abbiamo detto che deve essere : $veca_r = - veca_t $ , si ha, passando alle componenti e sostituendo:
$A - mgsen\alpha =0 $
da cui : $A = mgsenalpha \rightarrow dotomega = (2g)/Rsenalpha$
A questo si poteva arrivare quasi subito, dal punto di vista dell' OI esterno , per il quale non esistono forze di trascinamento : se si vuole che, rispetto a questo OI, il disco non trasli ma ruoti "sul posto" , cioè col CM in posizione fissa, la forza di attrito deve essere , in modulo , uguale alla componente della forza peso tangente al piano , e cioè la relazione già scritta :
$A = mgsenalpha$
quindi il disco, rispetto al nastro, accelera nel verso opposto al movimento del nastro: in realtà , rispetto ad OI esterno, è il nastro che accelera verso l'alto , con accelerazione di modulo : $a_t = 2gsenalpha$ . L'accelerazione angolare del disco vale :
$dotomega = (2g)/Rsenalpha$ .
Quindi Il disco ruota con velocità angolare crescente : $omega = (2g)/Rsenalpha*t $, e non si sposta rispetto all'OI esterno, cioè il CM rimane fisso rispetto a OI .
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