Ruota con punto materiale
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere questo problema.
Una ruota, assimilabile ad un disco omogeneo, di massa M e raggio R, al bordo del quale è rigidamente unito un punto materiale P, di massa m=M/2, è vincolata a muoversi di moto di puro rotolamento su binario orizzontale fisso, giacendo sempre in un piano verticale. La ruota, inizialmente in quiete, è abbandonata nella configurazione in cui P si trova alla stessa quota del centro O della ruota. Calcolare:
1) velocità angolare quando P tocca il binario
Allora io ho pensato di risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia. inoltre ho pensato che a causa del punto materiale P il centro di massa del sistema non coincidesse con il centro della ruota e ho calcolato la nuova posizione, rispetto al centro della ruota, come:
xcm= (mR)/(m+M)
applicando il principio di conservazione ho scritto
Ekf=mgh dove h vale R Eki= 0 perchè il sistema è in quiete.
ho un problema nello scrivere quanto vale l'energia cinetica, ho pensato di scriverla in questo modo riferendomi al centro della ruota e applicando il th di Koenig:
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2Iw^2 $
il momento di inerzia ho pensato di scriverlo riferendomi al centro della ruota, come:
$ I=1/2MR^2 + mR^2 $ .
nell'equazione della conservazione posso poi sostituire $ Vcm=w(r-xcm) $
Ho risolto nella maniera corretta?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, in ogni caso grazie mille in anticipo
Una ruota, assimilabile ad un disco omogeneo, di massa M e raggio R, al bordo del quale è rigidamente unito un punto materiale P, di massa m=M/2, è vincolata a muoversi di moto di puro rotolamento su binario orizzontale fisso, giacendo sempre in un piano verticale. La ruota, inizialmente in quiete, è abbandonata nella configurazione in cui P si trova alla stessa quota del centro O della ruota. Calcolare:
1) velocità angolare quando P tocca il binario
Allora io ho pensato di risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia. inoltre ho pensato che a causa del punto materiale P il centro di massa del sistema non coincidesse con il centro della ruota e ho calcolato la nuova posizione, rispetto al centro della ruota, come:
xcm= (mR)/(m+M)
applicando il principio di conservazione ho scritto
Ekf=mgh dove h vale R Eki= 0 perchè il sistema è in quiete.
ho un problema nello scrivere quanto vale l'energia cinetica, ho pensato di scriverla in questo modo riferendomi al centro della ruota e applicando il th di Koenig:
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2Iw^2 $
il momento di inerzia ho pensato di scriverlo riferendomi al centro della ruota, come:
$ I=1/2MR^2 + mR^2 $ .
nell'equazione della conservazione posso poi sostituire $ Vcm=w(r-xcm) $
Ho risolto nella maniera corretta?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, in ogni caso grazie mille in anticipo
Risposte
Direi di no, a occhio.
Il momento di inerzia lo devi scrivere rispetto al centro di massa. Che dista una distanza d dal centro della ruota (distanza da te giustamente calcolata).
Quindi $I_[cm]=MR^2/2+Md^2+m(R-d)^2$
Poi devi aggiungere il contributo della velocita' del centro di massa $1/2(M+m)omega^2(R-d)^2$.
Alla fine dei conti, nell'eq. dell' en. cin. totale il contributo di m si dovrebbe eliminare, perche quando passa per la verticale, m e' ferma.
Quindi, per evitarmi il facchinaggio algenrico pesante, io scriverei direttamente tutto rispetto al centro della sfera, e l'energia cinetica totale dovrebbe essere $1/2Mv_c^2+1/2MR^2/2omega^2=1/2Momega^2R^2+1/4Momega^2R^2=3/4Momega^2R^2$ che come vedi non include m.
Dovrei mettere giu' una figura per esser certo al 100%, perche' lo sto facendo "a mente", che' non ho carta a portata di mano, ma mi sembra che sia cosi e qualcuno sicuramente mi correggera' se sbaglio.
Il momento di inerzia lo devi scrivere rispetto al centro di massa. Che dista una distanza d dal centro della ruota (distanza da te giustamente calcolata).
Quindi $I_[cm]=MR^2/2+Md^2+m(R-d)^2$
Poi devi aggiungere il contributo della velocita' del centro di massa $1/2(M+m)omega^2(R-d)^2$.
Alla fine dei conti, nell'eq. dell' en. cin. totale il contributo di m si dovrebbe eliminare, perche quando passa per la verticale, m e' ferma.
Quindi, per evitarmi il facchinaggio algenrico pesante, io scriverei direttamente tutto rispetto al centro della sfera, e l'energia cinetica totale dovrebbe essere $1/2Mv_c^2+1/2MR^2/2omega^2=1/2Momega^2R^2+1/4Momega^2R^2=3/4Momega^2R^2$ che come vedi non include m.
Dovrei mettere giu' una figura per esser certo al 100%, perche' lo sto facendo "a mente", che' non ho carta a portata di mano, ma mi sembra che sia cosi e qualcuno sicuramente mi correggera' se sbaglio.
Sempre grazie mille per le risposte molto chiare.
Il problema ha una seconda domanda che chiede di determinare la velocità angolare quando il punto P si trova ad una quota rispetto a terra pari a R/2.
Credo che si debba procedere alla stessa maniera; con la conservazione dell'energia meccanica, quindi:
Energia potenziale = energia cinetica
Ho dei problemi sempre per scrivere l'energia cinetica.
Mi servo del th di koenig e quindi scrivo energia cinetica del centro di massa + energia cinetica rispetto al centro di massa, quindi analiticamente :
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
la Vcm la scrivo come $ Vcm=w*(d) $ e il momento di inerzia lo devo calcolo rispetto al centro di massa. Così facendo però non riesco ad arrivare alla soluzione. In questo caso il contributo della massa m lo devo considerare perchè in moto, non si trova nel punto di contatto tra ruota e piano.
La conservazione dell'energia la scrivo in questo modo:
$ M/2gR/2=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
Dove sbaglio?
Il problema ha una seconda domanda che chiede di determinare la velocità angolare quando il punto P si trova ad una quota rispetto a terra pari a R/2.
Credo che si debba procedere alla stessa maniera; con la conservazione dell'energia meccanica, quindi:
Energia potenziale = energia cinetica
Ho dei problemi sempre per scrivere l'energia cinetica.
Mi servo del th di koenig e quindi scrivo energia cinetica del centro di massa + energia cinetica rispetto al centro di massa, quindi analiticamente :
$ Ek=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
la Vcm la scrivo come $ Vcm=w*(d) $ e il momento di inerzia lo devo calcolo rispetto al centro di massa. Così facendo però non riesco ad arrivare alla soluzione. In questo caso il contributo della massa m lo devo considerare perchè in moto, non si trova nel punto di contatto tra ruota e piano.
La conservazione dell'energia la scrivo in questo modo:
$ M/2gR/2=1/2(m+M)Vcm^2 + 1/2 Iw^2 $
Dove sbaglio?
No. Il centro di massa non ha quella velocita'. Lo sarebbe se fosse un disco che gira attorno a un'asse fisso. Ma il centro della sfera si muove, quindi $vecv_[cm]=omegaRveci+vecomegaxxvecd$. La difficolta' (non tanta) sta a trovare il modulo di $v_[cm]$.
Prova a risolvere, e se non ce la fai ti diamo la soluzione.
Prova a risolvere, e se non ce la fai ti diamo la soluzione.
In ogni istante la ruota "ruota" attorno al punto di contatto, non c'è bisogno del teorema di koenig
Grazie mille per i suggerimenti!
un'ultima domanda, il momento di inerzia lo devo calcolare rispetto a quale polo? mi confonde il dover introdurre, questa volta, il contributo della massa m
un'ultima domanda, il momento di inerzia lo devo calcolare rispetto a quale polo? mi confonde il dover introdurre, questa volta, il contributo della massa m
Se provo a calcolare il momento di inerzia rispetto al punto di contatto tra ruota e piano devo considerare il th di steiner per il disco, però non capisco come considerare la massa m, come calcolo la distanza di m dal mio polo?
La distanza della massa m dal polo si calcola con un po' di geometria
Scusa ma non ci arrivo, magari non ricordo qualche nozione di base. Mi sembra di conoscere solo una dimensione, quella della quota del punto m, R/2, non ho nient'altro. cosa mi sfugge? è nota a priori qualche altra dimensione?
Sai che il punto è attaccato alla ruota (quindi quanto dista radialmente dal centro della ruota?, usa un po di trigonometria se proprio non ce la fai senza) fai un disegno e vedi un po'...ti è stato dato anche un caso semplice in cui dista R/2 dal suolo, prova a vedere quanto vale la distanza dal punto di contatto se distasse $h$ generico dal suolo
Grazie mille per non avermi dato la soluzione bella e pronta! devo stare più attento, guardavo con superficialità il disegno e non riuscivo ad arrivare alla soluzione, adesso ho risolto. Grazie ancora
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