Ruota con massa inchiodata sul bordo
salve a tutti.
sono alle prese con un problema di meccanica che non riesco a risolvere!
Una ruota omogenea, di raggio R e massa M, e’ appoggiata su un piano orizzontale. Una massa puntiforme di valore M/2 e’ inchiodata in un punto A, che si trova sul bordo della ruota ed alla stessa altezza del suo centro. Al tempo t = 0 il sistema e’ fermo nella posizione descritta e viene lasciato libero di muoversi. Si ipotizzi che vi sia sufficiente attrito sul punto di contatto, in modo tale che la ruota effettui un moto di puro rotolamento.
mi viene chiesto di descrivere il moto del centro della ruota (NON del centro di massa) e altre cose come la velocità angolare e l'accelerazione angolare, ma a me interessa soprattutto sapere come affrontare l'esercizio.
io ho capito che la ruota comincia a girare grazie alla forza di gravità esercitata sulla massa inchiodata, forza ortogonale al raggio solo nell'istante iniziale. ma come faccio a trovare per esempio la legge oraria del centro della ruota?
grazie se mi risponderete.
sono alle prese con un problema di meccanica che non riesco a risolvere!
Una ruota omogenea, di raggio R e massa M, e’ appoggiata su un piano orizzontale. Una massa puntiforme di valore M/2 e’ inchiodata in un punto A, che si trova sul bordo della ruota ed alla stessa altezza del suo centro. Al tempo t = 0 il sistema e’ fermo nella posizione descritta e viene lasciato libero di muoversi. Si ipotizzi che vi sia sufficiente attrito sul punto di contatto, in modo tale che la ruota effettui un moto di puro rotolamento.
mi viene chiesto di descrivere il moto del centro della ruota (NON del centro di massa) e altre cose come la velocità angolare e l'accelerazione angolare, ma a me interessa soprattutto sapere come affrontare l'esercizio.
io ho capito che la ruota comincia a girare grazie alla forza di gravità esercitata sulla massa inchiodata, forza ortogonale al raggio solo nell'istante iniziale. ma come faccio a trovare per esempio la legge oraria del centro della ruota?
grazie se mi risponderete.
Risposte
Il testo del problema è esattamente quello che hai scritto?
Te lo chiedo perché non credo sia possibile integrare le equazioni e scrivere la legge oraria.
E' invece possibile scrivere le equazioni differenziali che regolano il moto, oppure la velocità della ruota in funzione della sua posizione.
Si parte sempre dalle stesse cose cose: equazione della quantità di moto del momento angolare e dell'energia.
Te lo chiedo perché non credo sia possibile integrare le equazioni e scrivere la legge oraria.
E' invece possibile scrivere le equazioni differenziali che regolano il moto, oppure la velocità della ruota in funzione della sua posizione.
Si parte sempre dalle stesse cose cose: equazione della quantità di moto del momento angolare e dell'energia.
"Faussone":
Il testo del problema è esattamente quello che hai scritto?
le domande del problema, per la precisione, sono queste:
1.1 Si dica se il moto del centro della ruota sara’: a) uniformemente accelerato b) rettilineo ed armonico c) rettilineo e periodico, ma non armonico d) circolare e) nessuno dei precedenti. [Nota: si chiede la velocita’ del punto centrale, non del centro di massa]
1.2 Si calcoli la massima distanza raggiunta dal centro della ruota rispetto alla posizione iniziale.
1.3 Utilizzando la legge di conservazione appropriata, si calcoli la velocita’ angolare della ruota nel momento in cui il punto A si trova a contatto con il suolo.
1.4 Si calcoli l’accelerazione angolare della ruota nell’istante iniziale (t = 0).
per la 1.1 la mia risposta è rettilineo e periodico ma è solo un'intuizione perchè non la so dimostrare rigorosamente.
per quanto riguarda le altre domande brancolo un po' nel buio perchè non so come trattare quel chiodino attaccato!
"Faussone":
Si parte sempre dalle stesse cose cose: equazione della quantità di moto del momento angolare e dell'energia.
l'equazione del momento angolare la conosco, però non so dire se sia o meno conservativa..
sicuramente l'energia meccanica si conserva, ma quanto vale l'energia cinetica?
Infatti come immaginavo non si chiede la legge oraria esatta ma il tipo di moto....
Per la prima domanda penso che la risposta non possa che essere intuitiva perché se scrivessi l'equazione del moto vedresti che è piuttosto complessa... Che il moto sia periodico penso sia fuori discussione. Sul fatto che non sia armonico potresti mostrare che lo sarebbe solo se la massa fosse molto vicina alla verticale.
Per una dimostrazione precisa dovresti scrivere le equazioni del moto e osservare che compaiono forzanti periodiche, non saprei però come dimostrare tutto in maniera rigorosa però.
Per rispondere alla seconda e terza domanda devi scrivere l'equazione di conservazione dell'energia meccanica. Ti conviene scomporre l'energia cinetica in due termini uno dovuto solo al disco senza massa ed uno dovuto solo alla massa sul bordo (quest'ultima energia dipende dalla posizione della massa ovviamente). L'energia cinetica infatti è additiva e puoi sommare i due contributi.
Per l'ultima devi scrivere nella posizione iniziale l'equazione del momento angolare in modo da ottenere l'accelerazione angolare della ruota all'istante iniziale.
Ricorda che tale equazione dice che la derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento delle forze esterne applicate (dove il momento delle forze e il momento angolare sono calcolati rispetto allo stesso polo ovviamente).
Il problema comunque non è dei più immediati, non so a che punto sei dello studio della fisica ma se sei all'inizio ti consiglierei di metterlo da parte per ora e di cominciare con problemi più abbordabili per iniziare a capire le cose.
Per la prima domanda penso che la risposta non possa che essere intuitiva perché se scrivessi l'equazione del moto vedresti che è piuttosto complessa... Che il moto sia periodico penso sia fuori discussione. Sul fatto che non sia armonico potresti mostrare che lo sarebbe solo se la massa fosse molto vicina alla verticale.
Per una dimostrazione precisa dovresti scrivere le equazioni del moto e osservare che compaiono forzanti periodiche, non saprei però come dimostrare tutto in maniera rigorosa però.
Per rispondere alla seconda e terza domanda devi scrivere l'equazione di conservazione dell'energia meccanica. Ti conviene scomporre l'energia cinetica in due termini uno dovuto solo al disco senza massa ed uno dovuto solo alla massa sul bordo (quest'ultima energia dipende dalla posizione della massa ovviamente). L'energia cinetica infatti è additiva e puoi sommare i due contributi.
Per l'ultima devi scrivere nella posizione iniziale l'equazione del momento angolare in modo da ottenere l'accelerazione angolare della ruota all'istante iniziale.
Ricorda che tale equazione dice che la derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento delle forze esterne applicate (dove il momento delle forze e il momento angolare sono calcolati rispetto allo stesso polo ovviamente).
Il problema comunque non è dei più immediati, non so a che punto sei dello studio della fisica ma se sei all'inizio ti consiglierei di metterlo da parte per ora e di cominciare con problemi più abbordabili per iniziare a capire le cose.
grazie per la risposta! ora i primi tre punti mi sono chiari.
per l'1.2 ho proceduto così: ho chiamato l'altezza di A da terra $R-Rsenθ$. in A essa è uguale a $R$ mentre nel punto di contatto col suolo è $0$. poi ho applicato la legge di conservazione dell'energia:
$E=U_f-U_i=K_f-K_i$ dove il punto finale è quelo in cui la ruota è di nuovo ferma.
$K_(f)=K_i=0$ quindi abbiamo che $U_(f)=U_i$
$U_(f)=M/2g(R-Rsenθ)=M/2gR=U_i$ da cui abbiamo che $θ=pi$ e che quindi la massima distanza raggiunta dal centro della ruota sarà $piR$.
per il punto 1.3 ho applicato ancora la legge di prima ottenendo $E=M/2gR=1/2Iω^2$ dove $I=1/2MR^2+MR^2=3/2MR^2$
sviluppando i conti si ottiene $ω=$ $ sqrt((2g)/(3R)) $ (tutto sotto radice)
per il punto 1.4 il prof dà come soluzione $M/2gR=I_cα$ dove $I_c$ e’ il momento di inerzia del sistema (rispetto al punto di contatto) all’istante iniziale.
$I_c=3/2MR^+M/2(2R^2)=5/2MR^2$
io però non ho capito come ha fatto a ricavarsi $I_c$
puoi aiutarmi tu?
per l'1.2 ho proceduto così: ho chiamato l'altezza di A da terra $R-Rsenθ$. in A essa è uguale a $R$ mentre nel punto di contatto col suolo è $0$. poi ho applicato la legge di conservazione dell'energia:
$E=U_f-U_i=K_f-K_i$ dove il punto finale è quelo in cui la ruota è di nuovo ferma.
$K_(f)=K_i=0$ quindi abbiamo che $U_(f)=U_i$
$U_(f)=M/2g(R-Rsenθ)=M/2gR=U_i$ da cui abbiamo che $θ=pi$ e che quindi la massima distanza raggiunta dal centro della ruota sarà $piR$.
per il punto 1.3 ho applicato ancora la legge di prima ottenendo $E=M/2gR=1/2Iω^2$ dove $I=1/2MR^2+MR^2=3/2MR^2$
sviluppando i conti si ottiene $ω=$ $ sqrt((2g)/(3R)) $ (tutto sotto radice)
per il punto 1.4 il prof dà come soluzione $M/2gR=I_cα$ dove $I_c$ e’ il momento di inerzia del sistema (rispetto al punto di contatto) all’istante iniziale.
$I_c=3/2MR^+M/2(2R^2)=5/2MR^2$
io però non ho capito come ha fatto a ricavarsi $I_c$
puoi aiutarmi tu?
Mi sembra tutto corretto.
Per calcolare il momento di inerzia nel punto di contatto puoi prima calcolare il momento di inerzia rispetto a quel punto del solo disco che trovi con Steiner essere pari a $3/2 M R^2$ e poi sommarci quello della massa nel bordo che sarà pari alla massa $M/2$ moltiplicata la distanza di essa dal punto di contatto al quadrato cioè $(R sqrt(2))^2$. Quindi ottieni la formula che hai scritto per il momento di inerzia....
Per calcolare il momento di inerzia nel punto di contatto puoi prima calcolare il momento di inerzia rispetto a quel punto del solo disco che trovi con Steiner essere pari a $3/2 M R^2$ e poi sommarci quello della massa nel bordo che sarà pari alla massa $M/2$ moltiplicata la distanza di essa dal punto di contatto al quadrato cioè $(R sqrt(2))^2$. Quindi ottieni la formula che hai scritto per il momento di inerzia....
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