Rullo che scende su piano inclinato mobile
un rullo cilindrico omogeneo scende, rotolando senza strisciare, lungo un piano inclinato di un'angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale; il piano inclinato è costituito da un blocco di massa $M$ che può scorrere su un piano orizzontale liscio. Si determini il modulo $A$ dell'accelerazione del blocco considerando trascurabile l'attrito volvente.
https://www.dropbox.com/s/twn34pa3akpo7 ... 281%29.jpg
Ho provato a seguire due possibili strade e sono arrivato a due risultati simili fra loro e molto simili al risultato che mi dà il libro, tornano sia dimensionalmente che intuitivamente (provando a supporre i casi limite) eppure sono sbagliati e non riesco a capire per quale motivo..
https://www.dropbox.com/s/twn34pa3akpo7 ... 281%29.jpg
Ho provato a seguire due possibili strade e sono arrivato a due risultati simili fra loro e molto simili al risultato che mi dà il libro, tornano sia dimensionalmente che intuitivamente (provando a supporre i casi limite) eppure sono sbagliati e non riesco a capire per quale motivo..
Risposte
il ink non funziona
"Quinzio":
il ink non funziona
io lo riesco ad aprire senza problemi comunque la metto anche in allegato
Ti imposto lo svolgimento, che poi concludi da solo.
Prima prova a risolvere lo stesso problema con un blocco senza attrito al posto del rullo. Se sai fare quello allora anche con rullo non è molto più difficile.
Chiamiamo $V$ la velocità del cuneo, $v_x$ la velocità orizzontale del CM del rullo risp. al suolo, $v_y$ quella verticale (risp al cuneo è uguale).
Ne segue che la velocità del rullo risp. al cuneo è $v'_x = v_x-V$.
Siccome il rullo scivola su un piano inclinato di $\alpha$, scriviamo $tg \alpha = -(v_y)/(v'_x)$.
Poi scriviamo la conservazione della quantità di moto $mv'_x+MV = 0$
Ora impostiamo la conservazione dell'energia, ipotizzando che il CM percorra $l$ metri:
$mgl\sin\alpha = 1/2 m v^2 + 1/2 I \omega^2 + 1/2 MV^2$
Più esplicitamente abbiamo:
$mgl\sin\alpha = 1/2 m (v_x^2+v_y^2) + 1/2 (1/2mR^2) ((v'_x)^2+v_y^2)/(R^2) +1/2 MV^2$
Adesso usando le altre equazioni devi riscrivere la formula dell'energia facendo in modo che compaia solo $v'_x$ ad esempio.
Quindi trovi la velocità del CM del rullo relativamente al piano.
Quando hai la $v'$ del CM del rullo, sapendo che lo stesso ha percorso un distanza $l$, puoi usare $2a'l = (v')^2$, da cui ricavi $a'$, l'accelerazione dl rullo rispetto al piano.
Tutte le altre accelerazioni si ricavano usando sempre le formule già scritte, eventualmente bisogna derivare $v'_x = v_x-V$ ottenendo per le accelerazioni $a'_x = a_x-A$.
Prima prova a risolvere lo stesso problema con un blocco senza attrito al posto del rullo. Se sai fare quello allora anche con rullo non è molto più difficile.
Chiamiamo $V$ la velocità del cuneo, $v_x$ la velocità orizzontale del CM del rullo risp. al suolo, $v_y$ quella verticale (risp al cuneo è uguale).
Ne segue che la velocità del rullo risp. al cuneo è $v'_x = v_x-V$.
Siccome il rullo scivola su un piano inclinato di $\alpha$, scriviamo $tg \alpha = -(v_y)/(v'_x)$.
Poi scriviamo la conservazione della quantità di moto $mv'_x+MV = 0$
Ora impostiamo la conservazione dell'energia, ipotizzando che il CM percorra $l$ metri:
$mgl\sin\alpha = 1/2 m v^2 + 1/2 I \omega^2 + 1/2 MV^2$
Più esplicitamente abbiamo:
$mgl\sin\alpha = 1/2 m (v_x^2+v_y^2) + 1/2 (1/2mR^2) ((v'_x)^2+v_y^2)/(R^2) +1/2 MV^2$
Adesso usando le altre equazioni devi riscrivere la formula dell'energia facendo in modo che compaia solo $v'_x$ ad esempio.
Quindi trovi la velocità del CM del rullo relativamente al piano.
Quando hai la $v'$ del CM del rullo, sapendo che lo stesso ha percorso un distanza $l$, puoi usare $2a'l = (v')^2$, da cui ricavi $a'$, l'accelerazione dl rullo rispetto al piano.
Tutte le altre accelerazioni si ricavano usando sempre le formule già scritte, eventualmente bisogna derivare $v'_x = v_x-V$ ottenendo per le accelerazioni $a'_x = a_x-A$.
grazie per la risposta ma ho qualche dubbio..la conservazione della quantità di moto non dovrebbe essere $mv_x+MV=0$ ? cioè con la velocità del rullo rispetto al suolo e non al cuneo...
poi non capisco come ricavi $tg\alpha=-v_y/(v_x^ ')$... sopratutto non mi è chiaro il meno...perchè $v_y/(v_x^ ')=(v sen\alpha)/(v cos\alpha)=tg\alpha$ ma perchè il meno?
poi non capisco come ricavi $tg\alpha=-v_y/(v_x^ ')$... sopratutto non mi è chiaro il meno...perchè $v_y/(v_x^ ')=(v sen\alpha)/(v cos\alpha)=tg\alpha$ ma perchè il meno?
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