RR for dummies: l'iperbole invariante
Penso che se i libri che parlano di Relatività Ristretta avessero un paragrafo iniziale, dedicato al richiamo delle proprietà dell' iperbole, con una trattazione da semplice Geometria analitica, molte delle complicazioni matematiche, ma anche fisiche, che presenta la RR sarebbero superate in anticipo.
E allora, provo a dire qualcosa al riguardo. Prego gli esperti di Matematica di correggere eventuali errori.
In un piano cartesiano $(Oxy)$, l'iperbole ha equazione canonica :
$x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1$------(1)
dove $a$ è il semiasse reale, disposto su $x$, $b$ è quello immaginario disposto su $y$. La curva ha due rami, simmetrici rispetto all'asse $y$, e anche rispetto all'asse $x$. Se nella (1) poniamo $a = b$, iperbole diventa equilatera, e possiamo scriverla:
$x^2-y^2 = a^2$ ------(2)
Nel caso (2) gli asintoti sono dati dall'equazione : $ x^2 - y^2 = 0 $ , che rappresenta entrambe le bisettrici dei quadranti:
$y = x $ ; $ y = -x$ ------(3)
L'iperbole data dalla (1) ha una iperbole "coniugata" di equazione :
$x^2/a^2 -y^2/b^2 = - 1$
che interseca l'asse $y$ anziché l'asse $x$ , ed ha gli stessi asintoti.
Quindi la coniugata della (2) è :
$x^2-y^2 = -a^2$ ------(2)
Nel disegno allegato, ho cambiato nome alla $y$ , l'ho chiamata : $t$. Per ora, questo non vuol dire che si tratti del "tempo" , anche se chiaramente lo scopo è quello. Per ora, $t$ è semplicemente la variabile sull'asse cartesiano verticale.
Ho disegnato le due iperboli coniugate :
$x^2-t^2 = OQ^2$ ------(3)
$x^2-t^2 = -OS^2$ ------(4)
con $|OQ| = |OS|$
Ho disegnato poi una retta $x'$ passante per $O$, di coefficiente angolare $\beta$ , e quindi di equazione :
$t = \beta*x$ -------(5)
Tale retta interseca l'iperbole nel punto $P'$ , le cui coordinate devono soddisfare l'eq. (3). Per cui, tenuto conto della (5), si ricava :
$x_(P') = (OQ)/sqrt(1-\beta^2) $ ------(6)
Consideriamo ora la tangente all'iperbole nel punto $P'$ ; essa ha la direzione coniugata della retta $x'$ , e la sua equazione si può trovare con la regola generale seguente : data una curva piana di equazione $f(x,y) = 0$, la tangente in un suo punto $A$ è data da :
$((partialf)/(partialx))_A*(x-x_A) +((partialf)/(partialy))_A*(y-y_A) = 0 $
Nel caso in esame, calcolando le derivate parziali nel punto $P'$ si trova l'eq. della tangente :
$x_(P') *x - t_(P')*t = OQ^2 $-------(7)
Questa interseca l'asse $x$ nel punto $P$ , la cui ascissa è data da :
$x_(P') *x_P = OQ^2 ===> OP = x_P = OQ*sqrt(1-\beta^2) $ -------(8)
Quindi chiaramente : $OP < OQ$ , come si vede pure dalla figura.
La direzione coniugata della retta $x'$ è quella della tangente all'iperbole in $P$ : perciò possiamo condurre da $O$ la parallela $t'$ alla tangente detta, che avrà equazione cartesiana: $t = 1/\beta*x$.
Le due rette $(t' , x')$ hanno la stessa bisettrice di $(t,x)$. La retta $t'$ interseca l'iperbole in $R'$. Possiamo ripetere i calcoli già fatti, e troviamo che : $OR = t_R = OS*sqrt(1-\beta^2)$. Quindi anche ora : $OR
È facile verificare che, tracciando la tangente all'iperbole nel punto $Q$, questa incontra la retta $x'$ nel punto $Q'$, e anche tra $OQ'$ e $OP'$ sussiste la relazione :
$OQ' = OP'*sqrt(1-\beta^2)$-------(9)
In altri termini, si può dire che, assegnata una certa iperbole che interseca l'asse $x$ in un punto $Q$, tutte le rette come $x'$ (aventi coefficiente angolare $\beta$ con $0º < arctg\beta < 45º$ ) intersecano l'iperbole in punti P' , P" , P"' , P""…... , tali che il rapporto seguente è costante :
$(OP)/(OQ) = (OQ')/(OP') = (OQ'')/(OP'') = ….= sqrt(1-\beta^2)$ ------(10)
Viceversa, se fissiamo la retta $x'$ che forma l'angolo $arctg\beta$ inferiore a $45º$ con l'asse $x$, per tutte le iperboli (aventi per asintoti le bisettrici dei quadranti) con un diverso semiasse $OQ$ intersecate dalla retta detta nei punti come $P'$, risulta che, pur variando l'iperbole, quel rapporto vale sempre : $sqrt(1-\beta^2)$, dove $\beta$ ora è tenuto costante.
Questi due risultati finali sono importanti per quello che segue. Naturalmente, si possono ripetere i medesimi ragionamenti per l'iperbole coniugata, avente per semiasse $OS$, intersecata dalla retta $t'$ di equazione : $t =1/\betax$ nel punto $R'$.
Finora abbiamo fatto solo geometria cartesiana euclidea.
Ma ecco ora l'idea giusta, per utilizzare questa iperbole efficacemente in RR.
Cominciamo col dire che assumiamo l'unità di misura delle $x$ e delle $t$ uguali rispettivamente a $OQ$ e $OS$ . Cioe poniamo : $OQ = OS = 1 $. È chiaro che in tal modo risulta:
$OP = sqrt(1-\beta^2) < 1 $.
Analogamente $OR = sqrt(1-\beta^2) < 1$
Se assumiamo, su questo piano, un riferimento avente origine in $O$, e assi $(x' , t')$, e sull'asse $x'$ prendiamo come unita di misura $OP' = 1$ , la misura di $OQ'$ sarà ancora :
$ OQ' =sqrt(1-\beta^2) < 1$
Analogamente si ragiona sulla iperbole coniugata, dove si ha $OR' = 1$ e quindi : $OS' = sqrt(1-\beta^2) < 1$
Domanda : c'è qualcosa che non va , nelle unita di misura $ OP' = OR' = 1' $ assunte nel riferimento $(x', t')$?
( Ho messo un apice al numero $1$ , per tener presente che si tratta di unità di misura valide nel riferimento con apice )
Risposta : no, non c'è niente che non va. Quelle unità $1'$ delle coordinate con apice $(x', t')$ sono perfettamente valide in tale riferimento. Sempre unità sono!
Solo che, quando andiamo a confrontare $1'$ con il corrispondente $1$ del riferimento $(O, x,t)$ , troviamo che la misura di $1'$ vale, nella unita $1$ ,soltanto $ sqrt(1-\beta^2) < 1$ (questo vale sia su $x'$ che su $t'$ ) .
E analogamente, quando andiamo a confrontare $1$ con il corrispondente $1'$ del riferimento $(O, x',t')$ , troviamo che la misura di $1$ vale, nella unita $1'$ ,soltanto $ sqrt(1-\beta^2) < 1'$ (questo vale sia su $x$ che su $t$) .
Insomma, questa iperbole serve a " calibrare " le unità di un riferimento rispetto a quelle dell'altro. Non importa quale riferimento si assuma come riferimento di partenza, se quello con apice o quello senza apice ; fissata l'iperbole, ne potremmo assumere infiniti altri, di riferimenti , con uno, due, tre apici…..costruiti nel modo detto, con diversi valori $\beta' , \beta'' , beta ''' …..$ dell'angolo formato coi rispettivi assi $(x,t)$ , tutti con la propria unita di misura $1$, che all'interno del riferimento sempre $1$ vale! E tutti aventi la stessa bisettrice degli angoli tra gli assi (linea rossa) .
Ma se l'unità di uno di questi viene confrontata con l'unità di un altro, c'è di mezzo quel rapporto $sqrt(1-\beta^2)$ .
Vediamo il vantaggio di una simile scelta, e pure gli svantaggi.
1) vantaggio : dato un punto A qualsiasi del piano, possono aversi tre casi :
a) il punto A appartiene a una bisettrice . Allora, la sua distanza dall'origine, che ora chiamiamo meglio "intervallo" , è uguale a zero in tutti i riferimenti : $d^2 = x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t''^2 =…..= 0 $
b) il punto A giace nel quadrante a destra (o a sinistra) delimitato dalle due bisettrici. Allora esiste un ramo di iperbole passante per A, che supponiamo intersechi l'asse $x$ nel punto $x_(A_0)$ .
Allora : $d^2 = x_(A_0)^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t ''^2 =…..>0$ , e questa quantità è la stessa in tutti i riferimenti con tutti gli apici che volete.
c) il punto A giace nel quadrante superiore (o inferiore) delimitato dalle due bisettrici. Allora esiste un ramo di iperbole passante per A , che interseca l'asse $t$ nel punto $t_(A_0)$ .
Allora : $ d^2 = -t_(A_0)^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t ''^2 =…..<0$ , e anche questa quantità è uguale in tutti i riferimenti con apici che volete.
2) svantaggio :
la geometria di questo piano non è più geometria euclidea. L'intervallo non è espresso dal teorema di Pitagora, ma come detto occorre fare la differenza dei quadrati delle coordinate, per ottenere $d^2$
Di conseguenza, la trasformazione delle coordinate di A, che consente cioè di passare dalle coordinate senz'apice a quelle con apice, e viceversa, non è più tanto semplice. C'è di mezzo quel fattore : $sqrt(1-\beta^2)$ detto, minore di $1$ , ovvero il suo inverso $\gamma = 1/sqrt(1-\beta^2)$ , che è maggiore di 1.
La trasformazione delle coordinate, si può ricavare dalla invarianza dell'intervallo $d^2$ anzidetta. LA ometto, ma si tratta delle trasformazioni di Lorentz, come ognuno può verificare.
E la Relativita ristretta, dov'è? Eccola.
Identifichiamo l'asse $x$ con lo "spazio' , l'asse $t$ con $ct$ ( quindi "tempo" , reso omogeneo allo spazio con il fattore $c$ ).
Identifichiamo l'angolo $arctg\beta$ tra gli assi $t$ e $t'$ ( uguale a quello tra gli assi $x$ e $x'$) con : $"arctg" v/c$ , cioè :$\beta = v/c$.
Le bisettrici sono le geodetiche tipo luce : $x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t''^2 =….= 0$ .Quindi $c$ è uguale per tutti i riferimenti.
L'unità di misura $1$ delle lunghezze su $x$, quando confrontata (misurata) con l'unità di misura $1'$ su $x'$ , risulta minore, precisamente uguale a : $ sqrt(1 - (v/c)^2$ .
Analogamente, l'unità di misura $1'$ delle lunghezze su $x'$, quando confrontata (misurata) con l'unità di misura $1$ su $x$ , risulta minore, anch'essa uguale a : $ sqrt(1 - (v/c)^2$.
Questo è il senso della "contrazione delle lunghezze" della RR.
In maniera del tutto simmetrica, l'unita di misura del tempo su $ct$, quando confrontata (misurata) con l'unita di misura del tempo su $ct'$, risulta minore, e precisamente uguale a $ sqrt(1 - (v/c)^2$ . E viceversa.
E questo è il significato del "rallentamento del tempo" di un orologio "in moto" rispetto al tempo di un orologio "in quiete" .
Insomma, l'operazione essenziale da fare è confrontare (misurare) il tempo segnato da un orologio con quello dell'altro orologio, essendo i due orologi in moto relativo. Ma ciascun orologio nel proprio riferimento è "buono" . Lo stesso dicasi per le misure di lunghezza : una stecca di $1 m$ in un riferimento, confrontata (misurata) con la stecca di $1m$ dell'altro riferimento, risulta minore. Ma ciascun metro è "buono" nel proprio riferimento.
Infine, è evidente, l'intervallo spazio temporale tra un punto (evento) A e l'origine è invariante. Fissata l'iperbole e fissati i suoi asintoti, si passa dagli assi $(x,ct)$ agli assi $(x',ct')$ con una semplice "rotazione iperbolica" , cioè ruotando i due assi in modo da chiudere o allargare l'angolo tra essi compreso, lasciando ferme le bisettrici.
Ecco, questa è solo geometria. Euclidea la prima parte, non più euclidea quando si assumono le unita di misura sugli assi coordinati . E non ha importanza alcuna quale coppia di assi coordinati si assuma: l'intervallo è comunque invariante.
Si può dimostrare che anche l'intervallo tra due eventi qualsiasi A e B è invariate.
Ma ho deciso di non annoiarvi più.
E allora, provo a dire qualcosa al riguardo. Prego gli esperti di Matematica di correggere eventuali errori.
In un piano cartesiano $(Oxy)$, l'iperbole ha equazione canonica :
$x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1$------(1)
dove $a$ è il semiasse reale, disposto su $x$, $b$ è quello immaginario disposto su $y$. La curva ha due rami, simmetrici rispetto all'asse $y$, e anche rispetto all'asse $x$. Se nella (1) poniamo $a = b$, iperbole diventa equilatera, e possiamo scriverla:
$x^2-y^2 = a^2$ ------(2)
Nel caso (2) gli asintoti sono dati dall'equazione : $ x^2 - y^2 = 0 $ , che rappresenta entrambe le bisettrici dei quadranti:
$y = x $ ; $ y = -x$ ------(3)
L'iperbole data dalla (1) ha una iperbole "coniugata" di equazione :
$x^2/a^2 -y^2/b^2 = - 1$
che interseca l'asse $y$ anziché l'asse $x$ , ed ha gli stessi asintoti.
Quindi la coniugata della (2) è :
$x^2-y^2 = -a^2$ ------(2)
Nel disegno allegato, ho cambiato nome alla $y$ , l'ho chiamata : $t$. Per ora, questo non vuol dire che si tratti del "tempo" , anche se chiaramente lo scopo è quello. Per ora, $t$ è semplicemente la variabile sull'asse cartesiano verticale.
Ho disegnato le due iperboli coniugate :
$x^2-t^2 = OQ^2$ ------(3)
$x^2-t^2 = -OS^2$ ------(4)
con $|OQ| = |OS|$
Ho disegnato poi una retta $x'$ passante per $O$, di coefficiente angolare $\beta$ , e quindi di equazione :
$t = \beta*x$ -------(5)
Tale retta interseca l'iperbole nel punto $P'$ , le cui coordinate devono soddisfare l'eq. (3). Per cui, tenuto conto della (5), si ricava :
$x_(P') = (OQ)/sqrt(1-\beta^2) $ ------(6)
Consideriamo ora la tangente all'iperbole nel punto $P'$ ; essa ha la direzione coniugata della retta $x'$ , e la sua equazione si può trovare con la regola generale seguente : data una curva piana di equazione $f(x,y) = 0$, la tangente in un suo punto $A$ è data da :
$((partialf)/(partialx))_A*(x-x_A) +((partialf)/(partialy))_A*(y-y_A) = 0 $
Nel caso in esame, calcolando le derivate parziali nel punto $P'$ si trova l'eq. della tangente :
$x_(P') *x - t_(P')*t = OQ^2 $-------(7)
Questa interseca l'asse $x$ nel punto $P$ , la cui ascissa è data da :
$x_(P') *x_P = OQ^2 ===> OP = x_P = OQ*sqrt(1-\beta^2) $ -------(8)
Quindi chiaramente : $OP < OQ$ , come si vede pure dalla figura.
La direzione coniugata della retta $x'$ è quella della tangente all'iperbole in $P$ : perciò possiamo condurre da $O$ la parallela $t'$ alla tangente detta, che avrà equazione cartesiana: $t = 1/\beta*x$.
Le due rette $(t' , x')$ hanno la stessa bisettrice di $(t,x)$. La retta $t'$ interseca l'iperbole in $R'$. Possiamo ripetere i calcoli già fatti, e troviamo che : $OR = t_R = OS*sqrt(1-\beta^2)$. Quindi anche ora : $OR
È facile verificare che, tracciando la tangente all'iperbole nel punto $Q$, questa incontra la retta $x'$ nel punto $Q'$, e anche tra $OQ'$ e $OP'$ sussiste la relazione :
$OQ' = OP'*sqrt(1-\beta^2)$-------(9)
In altri termini, si può dire che, assegnata una certa iperbole che interseca l'asse $x$ in un punto $Q$, tutte le rette come $x'$ (aventi coefficiente angolare $\beta$ con $0º < arctg\beta < 45º$ ) intersecano l'iperbole in punti P' , P" , P"' , P""…... , tali che il rapporto seguente è costante :
$(OP)/(OQ) = (OQ')/(OP') = (OQ'')/(OP'') = ….= sqrt(1-\beta^2)$ ------(10)
Viceversa, se fissiamo la retta $x'$ che forma l'angolo $arctg\beta$ inferiore a $45º$ con l'asse $x$, per tutte le iperboli (aventi per asintoti le bisettrici dei quadranti) con un diverso semiasse $OQ$ intersecate dalla retta detta nei punti come $P'$, risulta che, pur variando l'iperbole, quel rapporto vale sempre : $sqrt(1-\beta^2)$, dove $\beta$ ora è tenuto costante.
Questi due risultati finali sono importanti per quello che segue. Naturalmente, si possono ripetere i medesimi ragionamenti per l'iperbole coniugata, avente per semiasse $OS$, intersecata dalla retta $t'$ di equazione : $t =1/\betax$ nel punto $R'$.
Finora abbiamo fatto solo geometria cartesiana euclidea.
Ma ecco ora l'idea giusta, per utilizzare questa iperbole efficacemente in RR.
Cominciamo col dire che assumiamo l'unità di misura delle $x$ e delle $t$ uguali rispettivamente a $OQ$ e $OS$ . Cioe poniamo : $OQ = OS = 1 $. È chiaro che in tal modo risulta:
$OP = sqrt(1-\beta^2) < 1 $.
Analogamente $OR = sqrt(1-\beta^2) < 1$
Se assumiamo, su questo piano, un riferimento avente origine in $O$, e assi $(x' , t')$, e sull'asse $x'$ prendiamo come unita di misura $OP' = 1$ , la misura di $OQ'$ sarà ancora :
$ OQ' =sqrt(1-\beta^2) < 1$
Analogamente si ragiona sulla iperbole coniugata, dove si ha $OR' = 1$ e quindi : $OS' = sqrt(1-\beta^2) < 1$
Domanda : c'è qualcosa che non va , nelle unita di misura $ OP' = OR' = 1' $ assunte nel riferimento $(x', t')$?
( Ho messo un apice al numero $1$ , per tener presente che si tratta di unità di misura valide nel riferimento con apice )
Risposta : no, non c'è niente che non va. Quelle unità $1'$ delle coordinate con apice $(x', t')$ sono perfettamente valide in tale riferimento. Sempre unità sono!
Solo che, quando andiamo a confrontare $1'$ con il corrispondente $1$ del riferimento $(O, x,t)$ , troviamo che la misura di $1'$ vale, nella unita $1$ ,soltanto $ sqrt(1-\beta^2) < 1$ (questo vale sia su $x'$ che su $t'$ ) .
E analogamente, quando andiamo a confrontare $1$ con il corrispondente $1'$ del riferimento $(O, x',t')$ , troviamo che la misura di $1$ vale, nella unita $1'$ ,soltanto $ sqrt(1-\beta^2) < 1'$ (questo vale sia su $x$ che su $t$) .
Insomma, questa iperbole serve a " calibrare " le unità di un riferimento rispetto a quelle dell'altro. Non importa quale riferimento si assuma come riferimento di partenza, se quello con apice o quello senza apice ; fissata l'iperbole, ne potremmo assumere infiniti altri, di riferimenti , con uno, due, tre apici…..costruiti nel modo detto, con diversi valori $\beta' , \beta'' , beta ''' …..$ dell'angolo formato coi rispettivi assi $(x,t)$ , tutti con la propria unita di misura $1$, che all'interno del riferimento sempre $1$ vale! E tutti aventi la stessa bisettrice degli angoli tra gli assi (linea rossa) .
Ma se l'unità di uno di questi viene confrontata con l'unità di un altro, c'è di mezzo quel rapporto $sqrt(1-\beta^2)$ .
Vediamo il vantaggio di una simile scelta, e pure gli svantaggi.
1) vantaggio : dato un punto A qualsiasi del piano, possono aversi tre casi :
a) il punto A appartiene a una bisettrice . Allora, la sua distanza dall'origine, che ora chiamiamo meglio "intervallo" , è uguale a zero in tutti i riferimenti : $d^2 = x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t''^2 =…..= 0 $
b) il punto A giace nel quadrante a destra (o a sinistra) delimitato dalle due bisettrici. Allora esiste un ramo di iperbole passante per A, che supponiamo intersechi l'asse $x$ nel punto $x_(A_0)$ .
Allora : $d^2 = x_(A_0)^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t ''^2 =…..>0$ , e questa quantità è la stessa in tutti i riferimenti con tutti gli apici che volete.
c) il punto A giace nel quadrante superiore (o inferiore) delimitato dalle due bisettrici. Allora esiste un ramo di iperbole passante per A , che interseca l'asse $t$ nel punto $t_(A_0)$ .
Allora : $ d^2 = -t_(A_0)^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t ''^2 =…..<0$ , e anche questa quantità è uguale in tutti i riferimenti con apici che volete.
2) svantaggio :
la geometria di questo piano non è più geometria euclidea. L'intervallo non è espresso dal teorema di Pitagora, ma come detto occorre fare la differenza dei quadrati delle coordinate, per ottenere $d^2$
Di conseguenza, la trasformazione delle coordinate di A, che consente cioè di passare dalle coordinate senz'apice a quelle con apice, e viceversa, non è più tanto semplice. C'è di mezzo quel fattore : $sqrt(1-\beta^2)$ detto, minore di $1$ , ovvero il suo inverso $\gamma = 1/sqrt(1-\beta^2)$ , che è maggiore di 1.
La trasformazione delle coordinate, si può ricavare dalla invarianza dell'intervallo $d^2$ anzidetta. LA ometto, ma si tratta delle trasformazioni di Lorentz, come ognuno può verificare.
E la Relativita ristretta, dov'è? Eccola.
Identifichiamo l'asse $x$ con lo "spazio' , l'asse $t$ con $ct$ ( quindi "tempo" , reso omogeneo allo spazio con il fattore $c$ ).
Identifichiamo l'angolo $arctg\beta$ tra gli assi $t$ e $t'$ ( uguale a quello tra gli assi $x$ e $x'$) con : $"arctg" v/c$ , cioè :$\beta = v/c$.
Le bisettrici sono le geodetiche tipo luce : $x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2 = x''^2 - t''^2 =….= 0$ .Quindi $c$ è uguale per tutti i riferimenti.
L'unità di misura $1$ delle lunghezze su $x$, quando confrontata (misurata) con l'unità di misura $1'$ su $x'$ , risulta minore, precisamente uguale a : $ sqrt(1 - (v/c)^2$ .
Analogamente, l'unità di misura $1'$ delle lunghezze su $x'$, quando confrontata (misurata) con l'unità di misura $1$ su $x$ , risulta minore, anch'essa uguale a : $ sqrt(1 - (v/c)^2$.
Questo è il senso della "contrazione delle lunghezze" della RR.
In maniera del tutto simmetrica, l'unita di misura del tempo su $ct$, quando confrontata (misurata) con l'unita di misura del tempo su $ct'$, risulta minore, e precisamente uguale a $ sqrt(1 - (v/c)^2$ . E viceversa.
E questo è il significato del "rallentamento del tempo" di un orologio "in moto" rispetto al tempo di un orologio "in quiete" .
Insomma, l'operazione essenziale da fare è confrontare (misurare) il tempo segnato da un orologio con quello dell'altro orologio, essendo i due orologi in moto relativo. Ma ciascun orologio nel proprio riferimento è "buono" . Lo stesso dicasi per le misure di lunghezza : una stecca di $1 m$ in un riferimento, confrontata (misurata) con la stecca di $1m$ dell'altro riferimento, risulta minore. Ma ciascun metro è "buono" nel proprio riferimento.
Infine, è evidente, l'intervallo spazio temporale tra un punto (evento) A e l'origine è invariante. Fissata l'iperbole e fissati i suoi asintoti, si passa dagli assi $(x,ct)$ agli assi $(x',ct')$ con una semplice "rotazione iperbolica" , cioè ruotando i due assi in modo da chiudere o allargare l'angolo tra essi compreso, lasciando ferme le bisettrici.
Ecco, questa è solo geometria. Euclidea la prima parte, non più euclidea quando si assumono le unita di misura sugli assi coordinati . E non ha importanza alcuna quale coppia di assi coordinati si assuma: l'intervallo è comunque invariante.
Si può dimostrare che anche l'intervallo tra due eventi qualsiasi A e B è invariate.
Ma ho deciso di non annoiarvi più.
Risposte
Riguardo alle trasformazioni di Lorentz si possono fare ulteriori osservazioni:
-l'invariaza della velocità della luce è valida solo per le geodetiche luce passanti per l'origine del sistema di riferimento
-benchè, riguardo alle coordinate di un punto fissato nello spazio-tempo, si possa trovare la simmetria delle coordinate spaziali e temporali sotto trasformazione di Lorentz (si verifica che per la trasformazione inversa, che riporta alle coordinate di partenza del punto, basta sostituire -v a v nelle formule di trasformazione), quando si va a definire il tempo proprio di un sistema di riferimento, si nota che esistono dei sistemi di riferimento privilegiati che hanno il tempo proprio più accorciato rispetto a tutti gli altri. Importante non confondere il tempo proprio, lungo una curva tra due punti fissati, con le coordinate di un punto fissato, perchè il tempo proprio, essendo una misura pseudoeuclidea, non varia applicando le trasformazioni di Lorentz, dirette o inverse che siano. Questi sistemi di riferimento privilegiati sono quelli che hanno gli assi coordinati ortogonali dal punto di vista euclideo, come gli assi x-t nella figura postata, o qualsiasi altra coppia di assi traslata sul piano.
Quindi direi che le possibilità sono queste: o si ammette l'esistenza reale di sistemi di riferimento privilegiati, nel senso esposto, e se ne trova verifica sperimentale, e si trova l'espressione matematica dello stesso concetto in relatività generale, cioè si cercano quei sistemi di coordinate rispetto ai quali (soli) le misure dei tempi propri dei diversi sistemi di riferimento hanno significato fisico, oppure si ammettono delle trasformazioni di deformazione dello spazio-tempo, che modificano anche le distanze pseudoeclidee e le traiettorie degli osservatori nello spazio tempo, quindi anche i tempi propri misurati. Cosa ben più complessa, soprattutto in relatività generale, in cui le deformazioni direi che possono avvenire anche tra spazio-tempo con curvature differenti, cosa che non avviene in relatività ristretta, se si ammette che, se non c'è distribuzione di massa-energia in uno spazio-tempo, non c'è distribuzione di massa-energia nemmeno nello spazio tempo deformato, ovvero che, in due dimensioni, la deformazione avviene sul piano.
-l'invariaza della velocità della luce è valida solo per le geodetiche luce passanti per l'origine del sistema di riferimento
-benchè, riguardo alle coordinate di un punto fissato nello spazio-tempo, si possa trovare la simmetria delle coordinate spaziali e temporali sotto trasformazione di Lorentz (si verifica che per la trasformazione inversa, che riporta alle coordinate di partenza del punto, basta sostituire -v a v nelle formule di trasformazione), quando si va a definire il tempo proprio di un sistema di riferimento, si nota che esistono dei sistemi di riferimento privilegiati che hanno il tempo proprio più accorciato rispetto a tutti gli altri. Importante non confondere il tempo proprio, lungo una curva tra due punti fissati, con le coordinate di un punto fissato, perchè il tempo proprio, essendo una misura pseudoeuclidea, non varia applicando le trasformazioni di Lorentz, dirette o inverse che siano. Questi sistemi di riferimento privilegiati sono quelli che hanno gli assi coordinati ortogonali dal punto di vista euclideo, come gli assi x-t nella figura postata, o qualsiasi altra coppia di assi traslata sul piano.
Quindi direi che le possibilità sono queste: o si ammette l'esistenza reale di sistemi di riferimento privilegiati, nel senso esposto, e se ne trova verifica sperimentale, e si trova l'espressione matematica dello stesso concetto in relatività generale, cioè si cercano quei sistemi di coordinate rispetto ai quali (soli) le misure dei tempi propri dei diversi sistemi di riferimento hanno significato fisico, oppure si ammettono delle trasformazioni di deformazione dello spazio-tempo, che modificano anche le distanze pseudoeclidee e le traiettorie degli osservatori nello spazio tempo, quindi anche i tempi propri misurati. Cosa ben più complessa, soprattutto in relatività generale, in cui le deformazioni direi che possono avvenire anche tra spazio-tempo con curvature differenti, cosa che non avviene in relatività ristretta, se si ammette che, se non c'è distribuzione di massa-energia in uno spazio-tempo, non c'è distribuzione di massa-energia nemmeno nello spazio tempo deformato, ovvero che, in due dimensioni, la deformazione avviene sul piano.
@ Sonoqui
le tue considerazioni sono di carattere fisico più che matematico: io mi sono limitato a fare solo un po' di geometria, su questo piano che inizialmente è dotato di coordinate cartesiane euclidee, e poi, per nostra comodità e nostra scelta, perché "funziona" in Relativita Ristretta, diventa pseudo-euclideo , con le coordinate dette che preservano l'invarianza dell'intervallo.
Si, i riferimenti inerziali sono in un certo senso dei riferimenti privilegiati, difficili da trovare: la materia-energia c'è dovunque, quindi dovunque c'è curvatura dello spaziotempo. Ma non sono privilegiati nel senso che dici tu :
Per trovare dei riferimenti inerziali, ci viene in aiuto il Principio di Equivalenza:
_In ogni punto dello spaziotempo, è possibile immaginare un sistema di riferimento inerziale locale, (LIF) (con l'accento su "locale" , poiché non possiamo annullare "globalmente" tutto il campo gravitazionale con un' unica trasformazione di coordinate) , che viene abbandonato in "caduta libera" in quel punto : in questo sistema di riferimento inerziale locale, le leggi della fisica sono quelle della Relativita Ristretta.In "Caduta libera" è anche un satellite che ruota attorno alla Terra, per intenderci.
Anche una geodetica tipo luce sotto l'effetto di campi gravitazionali "curva" : ma in realtà questa curvatura "appartiene" ,cioè è dovuta, allo spaziotempo che il raggio di luce attraversa. Spesso ce ne dimentichiamo, e pensiamo ingenuamente, sotto sotto, che lo spaziotempo sia "piatto" e che la luce faccia una curva in esso, per effetto di gravitazione : non è così.
La geodetica tipo luce, che globalmente è curva, quando la si considera "localmente", cioè in un LIF, è diritta come sempre, perchè nel LIF vale la Relativita ristretta.
Il tempo proprio è il tempo di un qualsiasi osservatore $O$ che porta con sé il suo orologio, anche se lui viaggia rispetto ad un altro osservatore $O'$.
infatti nel riferimento di $O$ l'orologio non cambia posizione, cioè coordinate spaziali. E allora, il tempo proprio di $O$ non ha niente di speciale rispetto al tempo proprio di $O'$.
I problemi nascono, per così dire, quando si vanno a confrontare i tempi di $O$ con quelli di $O'$. Allora, dal punto di vista di uno dei due, per esempio $O$, che è dotato di orologi che segnano il suo tempo $t$ , diciamo che questo è il "tempo coordinato" , per distinguerlo dal tempo proprio $t'$ di $O'$ che è in moto relativo rispetto ad $O$.
E i problemi che nascono, si risolvono mediante le trasformazioni di Lorentz.
E innanzitutto, tra "tempo coordinato" $dt$ di $O$ e "tempo proprio" $dt'$ di $O'$ c'è la relazione $dt =\gammadt'$, che si ricava proprio dalle trasformazioni di Lorentz o dalla invarianza dell'intervallo.
Ma nulla vieta di considerare le cose dal punto di vista di $O'$, il quale può dire a ragione: io sono il riferimento coordinato, il mio tempo $t'$ è il tempo coordinato, $O$ è in moto rispetto a me, e il suo tempo lo chiamo "tempo proprio" di $O$. E allora, la relazione è la stessa : $dt' = \gammadt$.
per $O$ è il tempo di $O'$ a rallentare rispetto al suo. Per $O'$ è il tempo di $O$ a rallentare rispetto al suo.
Percio, tra $O$ e $O'$ non c'è uno che sia privilegiato rispetto all'altro. Se voglio disegnare il diagramma di Minkowski con l'asse $t'$ verticale e l'asse $x'$ orizzontale, non faccio altro che "allargare" l'angolo tra $t'$ e $x'$ fino a farlo diventare retto, e lascio immutate le bisettrici e l'iperbole invariante.
È chiaro che l'asse $t$ a questo punto ruoterà in verso antiorario di $arctg\beta$ , e l'asse $x$ ruoterà in verso orario dello stesso angolo.
Ma è tutta fatica sprecata. È solo per nostra comodità, perché siamo abituati a vedere una sorta di "riferimento preferenziale" con i due assi a $90º$ . Ma questo riferimento non ha niente di speciale.
Grazie comunque per il commento.
le tue considerazioni sono di carattere fisico più che matematico: io mi sono limitato a fare solo un po' di geometria, su questo piano che inizialmente è dotato di coordinate cartesiane euclidee, e poi, per nostra comodità e nostra scelta, perché "funziona" in Relativita Ristretta, diventa pseudo-euclideo , con le coordinate dette che preservano l'invarianza dell'intervallo.
Si, i riferimenti inerziali sono in un certo senso dei riferimenti privilegiati, difficili da trovare: la materia-energia c'è dovunque, quindi dovunque c'è curvatura dello spaziotempo. Ma non sono privilegiati nel senso che dici tu :
Questi sistemi di riferimento privilegiati sono quelli che hanno gli assi coordinati ortogonali dal punto di vista euclideo, come gli assi x-t nella figura postata, o qualsiasi altra coppia di assi traslata sul piano.
Per trovare dei riferimenti inerziali, ci viene in aiuto il Principio di Equivalenza:
_In ogni punto dello spaziotempo, è possibile immaginare un sistema di riferimento inerziale locale, (LIF) (con l'accento su "locale" , poiché non possiamo annullare "globalmente" tutto il campo gravitazionale con un' unica trasformazione di coordinate) , che viene abbandonato in "caduta libera" in quel punto : in questo sistema di riferimento inerziale locale, le leggi della fisica sono quelle della Relativita Ristretta.In "Caduta libera" è anche un satellite che ruota attorno alla Terra, per intenderci.
Anche una geodetica tipo luce sotto l'effetto di campi gravitazionali "curva" : ma in realtà questa curvatura "appartiene" ,cioè è dovuta, allo spaziotempo che il raggio di luce attraversa. Spesso ce ne dimentichiamo, e pensiamo ingenuamente, sotto sotto, che lo spaziotempo sia "piatto" e che la luce faccia una curva in esso, per effetto di gravitazione : non è così.
La geodetica tipo luce, che globalmente è curva, quando la si considera "localmente", cioè in un LIF, è diritta come sempre, perchè nel LIF vale la Relativita ristretta.
Il tempo proprio è il tempo di un qualsiasi osservatore $O$ che porta con sé il suo orologio, anche se lui viaggia rispetto ad un altro osservatore $O'$.
infatti nel riferimento di $O$ l'orologio non cambia posizione, cioè coordinate spaziali. E allora, il tempo proprio di $O$ non ha niente di speciale rispetto al tempo proprio di $O'$.
I problemi nascono, per così dire, quando si vanno a confrontare i tempi di $O$ con quelli di $O'$. Allora, dal punto di vista di uno dei due, per esempio $O$, che è dotato di orologi che segnano il suo tempo $t$ , diciamo che questo è il "tempo coordinato" , per distinguerlo dal tempo proprio $t'$ di $O'$ che è in moto relativo rispetto ad $O$.
E i problemi che nascono, si risolvono mediante le trasformazioni di Lorentz.
E innanzitutto, tra "tempo coordinato" $dt$ di $O$ e "tempo proprio" $dt'$ di $O'$ c'è la relazione $dt =\gammadt'$, che si ricava proprio dalle trasformazioni di Lorentz o dalla invarianza dell'intervallo.
Ma nulla vieta di considerare le cose dal punto di vista di $O'$, il quale può dire a ragione: io sono il riferimento coordinato, il mio tempo $t'$ è il tempo coordinato, $O$ è in moto rispetto a me, e il suo tempo lo chiamo "tempo proprio" di $O$. E allora, la relazione è la stessa : $dt' = \gammadt$.
per $O$ è il tempo di $O'$ a rallentare rispetto al suo. Per $O'$ è il tempo di $O$ a rallentare rispetto al suo.
Percio, tra $O$ e $O'$ non c'è uno che sia privilegiato rispetto all'altro. Se voglio disegnare il diagramma di Minkowski con l'asse $t'$ verticale e l'asse $x'$ orizzontale, non faccio altro che "allargare" l'angolo tra $t'$ e $x'$ fino a farlo diventare retto, e lascio immutate le bisettrici e l'iperbole invariante.
È chiaro che l'asse $t$ a questo punto ruoterà in verso antiorario di $arctg\beta$ , e l'asse $x$ ruoterà in verso orario dello stesso angolo.
Ma è tutta fatica sprecata. È solo per nostra comodità, perché siamo abituati a vedere una sorta di "riferimento preferenziale" con i due assi a $90º$ . Ma questo riferimento non ha niente di speciale.
Grazie comunque per il commento.
"navigatore":
Il tempo proprio è il tempo di un qualsiasi osservatore $O$ che porta con sé il suo orologio, anche se lui viaggia rispetto ad un altro osservatore $O'$.
infatti nel riferimento di $O$ l'orologio non cambia posizione, cioè coordinate spaziali. E allora, il tempo proprio di $O$ non ha niente di speciale rispetto al tempo proprio di $O'$.
I problemi nascono, per così dire, quando si vanno a confrontare i tempi di $O$ con quelli di $O'$. Allora, dal punto di vista di uno dei due, per esempio $O$, che è dotato di orologi che segnano il suo tempo $t$ , diciamo che questo è il "tempo coordinato" , per distinguerlo dal tempo proprio $t'$ di $O'$ che è in moto relativo rispetto ad $O$.
E i problemi che nascono, si risolvono mediante le trasformazioni di Lorentz.
E innanzitutto, tra "tempo coordinato" $dt$ di $O$ e "tempo proprio" $dt'$ di $O'$ c'è la relazione $dt =\gammadt'$, che si ricava proprio dalle trasformazioni di Lorentz o dalla invarianza dell'intervallo.
Ma nulla vieta di considerare le cose dal punto di vista di $O'$, il quale può dire a ragione: io sono il riferimento coordinato, il mio tempo $t'$ è il tempo coordinato, $O$ è in moto rispetto a me, e il suo tempo lo chiamo "tempo proprio" di $O$. E allora, la relazione è la stessa : $dt' = \gammadt$.
per $O$ è il tempo di $O'$ a rallentare rispetto al suo. Per $O'$ è il tempo di $O$ a rallentare rispetto al suo.
Percio, tra $O$ e $O'$ non c'è uno che sia privilegiato rispetto all'altro. Se voglio disegnare il diagramma di Minkowski con l'asse $t'$ verticale e l'asse $x'$ orizzontale, non faccio altro che "allargare" l'angolo tra $t'$ e $x'$ fino a farlo diventare retto, e lascio immutate le bisettrici e l'iperbole invariante.
È chiaro che l'asse $t$ a questo punto ruoterà in verso antiorario di $arctg\beta$ , e l'asse $x$ ruoterà in verso orario dello stesso angolo.
Ma è tutta fatica sprecata. È solo per nostra comodità, perché siamo abituati a vedere una sorta di "riferimento preferenziale" con i due assi a $90º$ . Ma questo riferimento non ha niente di speciale.
Grazie comunque per il commento.
Rimanendo per il momento nell'ambito della relatività ristretta, ci sono dei sistemi di riferimento inerziali che sono privilegiati rispetto ad altri, e provo a spiegare il motivo. Si verifica che le trasformazioni di Lorentz non sono indispensabili per spiegare i rapporti tra i tempi propri misurati da due diversi osservatori, perchè è sufficiente definire il tempo proprio, stabilire le traiettorie degli osservatori, fissare due punti lungo ogni traiettoria e risolvere l'integrale che definisce il tempo proprio, sapendo che le traiettorie sono descritte in un sistema di riferimento inerziale e che il tensore metrico è in ogni punto dello spazio diag(-1,1,1,1). Se le traiettorie sono rettilinee si ha che il rapporto tra i tempi propri misurati è costante.
Le trasformazioni di Lorentz assicurano che, fissati due punti nello spazio-tempo, il tempo proprio misurato lungo la retta che congiunge i due punti è indipendente dal sistema di coordinate trasformato (con trasformazioni di Lorentz), perchè queste lasciano invariata la distanza pseudoeuclidea, e la definizione di tempo proprio si basa proprio sulla misura di distanza pseudoeuclidea. Quindi in teoria anche il paradosso dei gemelli è un paradosso che non sussiste, se per trasformazioni tra sistemi di riferimento inerziali diversi si intendono le trasformazioni di Lorentz, visto che è valida solo una relazione, cioè solo un gemello ha il tempo proprio accorciato rispetto a quello di un altro con diversa velocità, ed inoltre c'è un insieme di osservatori, che si muovono tutti alla stessa velocità, privilegiati, che hanno un tempo proprio più accorciato rispetto a tutti gli altri, e sono quelli che, sul piano, hanno gli assi ortogonali dal punto di vista euclideo. Notare che dal punto di vista pseudoeuclideo, con riferimento al disegno postato, sono ortogonali sono ortogonali sia x-t che x'-t', ma dal punto di vista euclideo solo x-t.
Quindi in teoria, non conoscendo quali sono gli osservatori privilegiati, non saremmo in grado di ricavare quale sia il rapporto tra i tempi propri di due osservatori, conoscendo solo la velocità relativa tra i due.
Riguardo all'ortogonalizzazione degli assi x'-t', non la vedo così banale la questione. Quello a cui fai riferimento è una deformazione dello spazio-tempo bidimensionale x-t sul piano, per cui le distanze pseudoeuclide non rimangono invariate e, se si ammette che la matrice metrica di O' è g'=(-1,1,1,1), allora non è un tensore, perchè non trasforma come un tensore a partire da g=(-1,1,1,1), mentre con le trasformazioni di Lorentz lo è.
Inoltre, se si cerca una deformazione globale dello spazio-tempo piatto che trasformi rette in rette (geodetiche, ovvero curve seguite da punti materiali in moto libero), o meglio rette parametrizzate con parametro s tale che, se ds/dl è costante lungo la retta non trasformata, allora vale anche ds/dl' costante lungo tutta la retta trasformata (dove dl è la lunghezza euclidea misurata lungo la retta), si verifica che la velocità della luce non è costante nello spazio trasformato, nemmeno per le due geodetiche luce passanti per l'origine, ma dipende dal verso.
"sonoqui_":
………...
Rimanendo per il momento nell'ambito della relatività ristretta ci sono dei sistemi di riferimento inerziali che sono privilegiati rispetto ad altri, e provo a spiegare il motivo. Si verifica che le trasformazioni di Lorentz non sono indispensabili per spiegare i rapporti tra i tempi propri misurati da due diversi osservatori….
Tempi propri, misurati da quale evento a quale evento? Se non precisi questo, il tuo pensiero non è chiaro. Comunque, l'invarianza dell'intervallo tra eventi si ricava a partire dalle trasformazioni di Lorentz, ovvero si assume che l'intervallo sia invariante e da questo assunto si ricavano le TL : sono strettamente legate, le due cose.
perchè è sufficiente definire il tempo proprio, stabilire le traiettorie degli osservatori, fissare due punti lungo ogni traiettoria ….
che vuol dire : " fissare due punti lungo ogni traiettoria? Quanti punti, o meglio eventi, vuoi considerare ? Quanti osservatori? Ne bastano due, sia di eventi che di osservatori. E se i due osservatori, in moto relativo tra loro, fanno misurazioni sui due eventi, ottengono risultati diversi.
…..e risolvere l'integrale che definisce il tempo proprio, sapendo che le traiettorie sono descritte in un sistema di riferimento inerziale….
Quale? Quello di un altro osservatore, immagino!
…..
Le trasformazioni di Lorentz assicurano che, fissati due punti nello spazio-tempo, il tempo proprio misurato lungo la retta che congiunge i due punti è indipendente dal sistema di coordinate trasformato (con trasformazioni di Lorentz), perchè queste lasciano invariata la distanza pseudoeuclidea, e la definizione di tempo proprio si basa proprio sulla misura di distanza pseudoeuclidea.
Si certo, intendendo per "distanza" l'intervallo spaziotemporale, il famoso $\Deltas^2$ . Se un osservatore ha la sua linea di universo che "passa" per i due eventi, vuol dire che essi sono separati, per lui, soltanto nel tempo, ovviamente il "suo" tempo, quindi in sostanza avvengono nello stesso punto dello spazio ma a distanza di tempo. Un altro osservatore in moto relativo vedrà (misurerà) invece i due eventi separati sia nel "suo" tempo che nel suo spazio : è giocoforza che maggiore è lo spazio che separa gli eventi, maggiore è pure il tempo ora detto . Quindi?
….Quindi in teoria anche il paradosso dei gemelli è un paradosso che non sussiste, se per trasformazioni tra sistemi di riferimento inerziali diversi si intendono le trasformazioni di Lorentz, visto che è valida solo una relazione, cioè solo un gemello ha il tempo proprio accorciato rispetto a quello di un altro con diversa velocità….
Sapevo che sarebbe venuto fuori il famigerato paradosso!
Il gemello che rimane a casa, diciamo sulla Terra, rimane costantemente in uno stesso riferimento inerziale, e il suo tempo è più lungo di quello del gemello che fa il viaggio, accelerando e decelerando, e poi torna a terra : il viaggiatore cambia un sacco di riferimenti inerziali "di quiete momentanea" , o comunque ne deve cambiare almeno due, se trascuriamo le fasi di accelerazione iniziale, intermedia (con inversione del moto) e finale. Confrontando il suo orologio con quello del gemello che è rimasto a casa, si vede che per il viaggiatore è trascorso meno tempo…ne abbiamo parlato spesso. Rimetto qui per l'ennesima volta un disegno, che forse hai già visto, dove c'è anche la spiegazione matematica del "perché" :
ma questo, scusa, che c'entra con le mie osservazioni, e con l'iperbole invariante ?
…. ed inoltre c'è un insieme di osservatori, che si muovono tutti alla stessa velocità, privilegiati, che hanno un tempo proprio più accorciato rispetto a tutti gli altri, e sono quelli che, sul piano, hanno gli assi ortogonali dal punto di vista euclideo. Notare che dal punto di vista pseudoeuclideo, con riferimento al disegno postato, sono ortogonali sono ortogonali sia x-t che x'-t', ma dal punto di vista euclideo solo x-t.
A parte capire chi è "l'insieme degli osservatori" , che non sono affatto privilegiati, mi sembrava di aver chiaramente detto che su questo diagramma di Minkowski la geometria euclidea bisogna dimenticarsela, e non c'è quindi alcun "osservatore privilegiato" i cui assi sono quelli incidentalmente disegnati "visivamente ortogonali" . Ci mancherebbe che il privilegio nascesse da un disegno!
Non esistono osservatori inerziali privilegiati, non facciamoci ingannare dai disegni.
Avrei potuto fare anche a meno di disegnarli, i due assi ortogonali. Non cambiava nulla. Li ho disegnati per introdurre l'equazione dell'iperbole come si fa in geometria analitica, cioè nel modo più semplice : è brigoso scrivere l'equazione cartesiana dell'iperbole in coordinate oblique! E dopo ti farò vedere che "sono tutti ortogonali" , ma nel senso della geometria pseudo-euclidea!
Ma poi, per quale motivo il tempo di questi dovrebbe essere "accorciato"? Accorciato, cioè più breve, rispetto a quale altro tempo? Ho mostrato matematicamente che certi rapporti di segmenti sono uguali a $sqrt(1-\beta^2$ sia sugli assi visivamente "ortogonali" che su quello obliqui : questo non basta?
...Quindi in teoria, non conoscendo quali sono gli osservatori privilegiati, non saremmo in grado di ricavare quale sia il rapporto tra i tempi propri di due osservatori, conoscendo solo la velocità relativa tra i due.
Ti dirò che, dati due osservatori qualunque in moto relativo con velocità $v$, esiste un metodo semplicissimo per ricavare il rapporto tra i tempi propri. Semplice e geniale.
E se un giorno, dopo aver digerito l'ennesima fatica di rispondere a post sulla Relatività come questo, mi pungerà ancora l'insana voglia, anzi la follia, di mettere qualcosa sull'argomento RR, sta tranquillo che sarà questo appena detto.
Riguardo all'ortogonalizzazione degli assi x'-t', non la vedo così banale la questione. Quello a cui fai riferimento è una deformazione dello spazio-tempo bidimensionale x-t sul piano, per cui le distanze pseudoeuclide non rimangono invariate e, se si ammette che la matrice metrica di O' è g'=(-1,1,1,1), allora non è un tensore, perchè non trasforma come un tensore a partire da g=(-1,1,1,1), mentre con le trasformazioni di Lorentz lo è.
È una banalità unica, "l'ortogonalizzazione" degli assi $x',t'$ , come tu la chiami! Basta far una trasformazione di Lorentz delle coordinate; qui le dimensioni sono solo due :non è una rotazione euclidea, è una rotazione iperbolica. Ma non implica alcuna deformazione dello spaziotempo bidimensionale, gli intervalli rimangono invariati per definizione di intervallo invariante , lo spaziotempo rimane quello piatto di Minkowski.
Attenzione a non confondere il tensore metrico con la matrice della trasformazione! Nel calcolo tensoriale si vede (detto molto alla buona!) che il tensore metrico $g(…,…)$ è un operatore che agisce su due vettori base $e_\alpha$ ed $e_\beta$, per dare come risultato :$ g_(\alpha_\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)$. Nel caso particolare dello ST piatto, in coordinate cartesiane per lo spazio , i tre vettori "spaziali" sono i soliti : $e_1 = (0,1,0,0)$ ; $e_2 = (0,0,1,0)$ ; $e_3 = (0,0,0,1)$ ; il vettore base temporale è : $e_0 = (1,0,0,0)$, e tutti e quattro sono ortogonali tra loro. Però il vettore base temporale, essendo di tipo tempo, ha il modulo quadro uguale a $-1$ : $ g(e_0 , e_0) = g_(00) = e_0*e_0 = -1 $ .
Tutto questo, e molto altro, si trova ben spiegato in testi di calcolo tensoriale. Si vede anche, trasformando da un sistema di coordinate lorentziano a un altro, che il tensore metrico rimane invariato : $diag(-1,1,1,1)$
Inoltre, se si cerca una deformazione globale dello spazio-tempo piatto che trasformi rette in rette (geodetiche, ovvero curve seguite da punti materiali in moto libero), o meglio rette parametrizzate con parametro s tale che, se ds/dl è costante lungo la retta non trasformata, allora vale anche ds/dl' costante lungo tutta la retta trasformata (dove dl è la lunghezza euclidea misurata lungo la retta), si verifica che la velocità della luce non è costante nello spazio trasformato, nemmeno per le due geodetiche luce passanti per l'origine, ma dipende dal verso.
Ripeto che lo spaziotempo piatto non subisce alcuna deformazione, piatto era e piatto rimane. Il disegno è solo…un disegno, che si fa per far capire i concetti fisici che stanno dietro.
Ma evidentemente la materia in sè è tanto difficile da capire, che si arriva a confondere un disegno con quello che vuole esemplificare .
Le geodetiche tipo luce sono quelle, rimangono ferme come rimangono ferme le iperboli, ruotano iperbolicamente solo gli assi, e la velocità della luce rimane sempre uguale a $c$ rispetto a tutti gli OI.
E ripeto che qui sono "ortogonali" sia $(t,x) $ che $(t',x')$, che tutti gli assi con tutti gli apici, lo hai detto tu stesso.
Lo vuoi vedere matematicamente ? Questo è un boost di Lorentz nella direzione $x$ spaziale, no? Le 4 coordinate spaziotemporali sono : $ (t,x,y,z)$ in tutti i riferimenti con tutti gli apici che vuoi. In particolare y=0 , z=0 sempre.
Considera un 4-vettore unitario lungo l'asse $t'$ : $ A^\alpha' = (1,0,0,0,)$
e un 4-vettore unitario lungo l'asse $x'$ : $B^\beta' = (0,1,0,0)$
Trasforma i 4-vettori dal riferimento con apice a quello senza apice $(t,x,0,0) $:
$A^\alpha = (\gamma,v\gamma, 0,0)$
$B^\beta = (v\gamma, \gamma, 0,0)$
il prodotto scalare pseudoeucldeo è chiaramente nullo nelle iniziali coordinate con apice (sto chiaramente supponendo che le coordinate con apice siano quelle in cui gli assi spaziali siano "cartesiani ortogonali" nel senso euclideo, quindi la metrica è : $diag(-1,1,1,1)$ , e questo lo faccio proprio per generalizzare. Quindi sto considerando, per intenderci, la trasformazione standard "inversa" di Lorentz, quella con $-v$. Spero sia chiaro).
Nelle coordinate senza apice, esso vale :
$\vecA *\vecB = -\gamma*(v\gamma) + (v\gamma)*\gamma + 0*0 + 0*0 = 0 $
Dunque quei 4-vettori, ortogonali nelle coordinate con apice, rimangono ortogonali per tutti i sistemi di coordinate, qualunque sia $\gamma$.
Per finire, guardati questo link, e soprattutto l'animazione riportata a destra : è molto istruttiva. C'è proprio la rotazione iperbolica degli assi.
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz
Quando nel 3-spazio piatto euclideo passiamo da coordinate cartesiane ortogonali a coordinate polari, che non scrivo perche sono stanco di scrivere formule contro parole, nello spaziotempo dotato di 3+1 coordinate spazio-temporali cambiano i coefficienti della metrica, che ora non sono più date dal tensore $diag(-1,1,1,1) $ ma solo perché sono cambiate le coordinate spaziali : lo spaziotempo rimane piatto, gli intervalli invariati, non c'è alcuna deformazione, cioè alcuna "curvatura" : questa è indotta solo da massa-energia, e si passa alla R. Generale.
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Pensiero finale :
tu sei a posto, ma penso che dovresti approfondire certe idee, prima di scrivere. Te lo dico con sincerità, scusami.
Penso proprio che con questo ho chiuso, non ci saranno altre repliche da parte mia.
Sono stanchissimo…e certe volte mi chiedo : chi me lo fa fare?
Credo che difficilmente affronterò ancora argomenti di Relativita.
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