RR for dummies : la desincronizzazione degli orologi in moto
Domanda : dati due eventi $A$ e $B$ nello spaziotempo della RR , come passa il tempo tra loro?
Sembra una domanda banale, ma non lo è .
La risposta é : dipende da quale riferimento essi vengono considerati.
Non esiste un assoluto temporale; non esiste un assoluto spaziale. Esiste invece un assoluto spaziotemporale, che è il 4-intervallo tra gli eventi. Ogni osservatore inerziale OI fa le sue misure separate di spazio e di tempo, che sono diverse da quelle di ogni altro.
Poi però le mette insieme, nella maniera nota ( $L$ è la sola distanza spaziale) :
$(c\Deltat)^2 - (\DeltaL)^2 = \Deltas^2 $
e ottiene una quantità invariante.
Ma ora mi interessa spiegare la domanda e la risposta che ho messo sopra. E allora bisogna andare in ordine, cominciando quasi dall'inizio.
Prendiamo due sistemi di riferimento $S(t,x,y,z)$ (che chiamo fisso) e $ S'(t',x',y',z')$ , che si muove rispetto a S mantenendo il suo asse $x'$ sovrapposto a $x$, e quindi i piani $yz$ e $y'z'$ rimangono paralleli. LA velocità relativa di S' rispetto a S, supponiamo verso destra, è $v$ .
Le TL tra questi riferimenti sono :
$t' = \gamma(t - (vx)/c^2)$
$x' = \gamma(x - vt)$
$y' = y$
$z' = z$
queste trasformazioni, che si ricavano matematicamente in vari modi a partire dai noti postulati, ci dicono innanzitutto che le coordinate trasversali alla direzione del moto non cambiano. Perciò, non c'è contrazione delle lunghezze in senso trasversale al moto. Questo è un fatto assodato. Quindi possiamo ignorare tali coordinate, e riferirci solo alle trasformazioni della coordinata spaziale $x$ e di quella temporale $t$.
Prendiamo ora due eventi $A$ e $B$ nello spaziotempo. Ciascuno di essi ha le proprie coordinate nei due riferimenti detti; ma ora mi limito a considerare la sola trasformazione del tempo, sia per $A$ che per $B$ :
$t'_A = \gamma(t_A - (vx_A)/c^2)$ -------(1)
$t'_B = \gamma(t_B - (vx_B)/c^2)$ --------(2)
perciò , sottraendo la (1) dalla (2) si ha :
$t'_B - t'_A =\gamma[ (t_B - t_A) - v/c^2 (x_B - x_A)]$ --------(3)
Naturalmente è chiaro che la formula si può invertire, nel senso che si può scambiare $v$ con $-v$ e scambiare le coordinate senza apice con quelle con apice. Cioè si può scrivere :
$t_B - t_A = \gamma[(t'_B - t'_A) + v/c^2 (x'_B - x'_A)]$ --------(4)
Come si vede dalla (3), al primo membro c'è la differenza di tempo nel rif. in moto; al secondo membro, c'è in parentesi non solo la differenza di tempo $\Deltat$ del riferimento fisso, ma anche il termine di desincronizzazione $v/c^2 * \Deltax $ dovuto alla distanza spaziale dei due eventi misurata nel riferimento fisso. [Naturalmente tutti i ragionamenti si possono invertire prendendo in esame la (4), poiché il moto è relativo].
E questo termine di sfasamento dipende anche dal segno di $\Deltax $, che può essere positivo o negativo, oltre che da $v$.
Mi affretto a dire che :
- è verissimo che tutti gli orologi nel riferimento mobile sono sincronizzati tra loro e "battono il tempo più lentamente" rispetto al tempo del riferimento fisso (attenzione, questa frase si può prestare a equivoci, è dal confronto di un orologio mobile con almeno due orologi fissi che si vedono le differenze. E vale sempre il reciproco, per la relatività del moto.) È in sostanza il fattore $\gamma$ a rendere conto di questo rallentamento.
- è altrettanto vero che il termine $((v\Deltax)/c^2)$ introduce una desincronizzazione degli orologi dovuta alla loro distanza. Un osservatore in moto rispetto a degli orologi fissi distanti tra loro li vedrà sfasati della quantità detta, ma questo sfasamento va considerato con il giusto segno!
Detta in altro modo, questa non è altro che la relatività della contemporaneità.
Se abbiamo una fila di 5 bambini allineati su una strada, che saltano insieme rispetto a un osservatore fermo in strada, vuol dire che i 5 eventi avvengono allo stesso istante di tempo dell'osservatore. Ma ora sopraggiunge ad alta velocità un altro osservatore che percorre la strada: ebbene egli vedrà i bambini saltare in tempi diversi del suo orologio, e per lui è il più lontano nello spazio che salta per primo : basta considerare adeguatamente la formula dello sfasamento prima detta, oppure disegnare un piccolo diagrammino di Minkowski, come avevo fatto qui per la caduta di due pietre in un vagone in moto:
viewtopic.php?f=19&t=104356&hilit=caduta+pietre&start=60#p767857
Ma attenzione però quando si applica la formula: $\Deltax$ può essere positivo o negativo. Insomma, questa desincronizzazione va presa con attenzione, perché dipende dai segni oltre che dai valori delle differenze delle coordinate.
Essa può portare a delle conseguenze che a prima vista lasciano interdetti. Ripeto per chiarezza : l'ordine temporale tra due eventi, separati anche da un certo spazio oltre che dal tempo in un riferimento, non è indipendente dal moto dell'osservatore; se per un osservatore un evento A precede un evento B, per un altro osservatore può succedere che A e B siamo contemporanei, o addirittura che l'evento B preceda l'evento A ! Questo però può succedere solo se tra gli eventi A e B non c'è alcuna relazione causa-effetto, cioè se il 4- intervallo è di tipo spazio. Se invece A causa B in un riferimento, l'ordine temporale non può essere invertito in nessun altro riferimento. A precede sempre B, qualunque sia il riferimento inerziale dal quale li si osserva.
MA allora, direte voi, non è più vero che "il tempo in un riferimento in moto scorre più lentamente di quello del riferimento di quiete" ? Mi affretto a rispondere : questo è sempre vero ( con tutte le precisazioni e le prudenze del caso : è dal confronto che si vedono le differenze!). È il fattore $\gamma$ che tiene conto di questo. Quando scriviamo : $\Deltat = \gamma\Delta\tau$ , la differenza di tempo proprio $\Delta\tau$ si riferisce a eventi che succedono nello stesso punto dello spazio a cui tale tempo proprio si riferisce.
Naturalmente le considerazioni esposte si possono invertire, visto che il moto è relativo.
Faccio un esempio numerico, così forse è più chiaro.
Su una strada rettilinea orientata da sinistra a destra ci sono due punti A (con attaccato un orologio) e B (con un altro orologio) , distanti $5 m$ . Quindi, per capirci :
$x_B = x_A + 5m $
Nei due punti ci sono due bombe ad orologeria, programmate ad esplodere non insieme, ma a tempi diversi, precisamente la B esplode $10 ns$ dopo la A . Quindi, per capirci, nel riferimento terrestre:
$t_B = t_A + 10 ns $
Un motociclista M percorre la strada da sinistra a destra con velocità $v = 3/5c$ , passando quindi prima davanti ad A e poi davanti a B .
Secondo M , quale è l'intervallo di tempo tra le due esplosioni ?
Applichiamo direttamente la TL del tempo [ riportata in (3) ] per passare dalle coordinate terrestri a quelle di M :
$t'_B - t'_A =\gamma[ (t_B - t_A) - v/c^2 (x_B - x_A)]$ --------(3)
si ha : $t'_B - t'_A = 1.25 [ 10ns - (0.6/0.3(ns)/m) * (5m) ] = 1.25 [ 10 ns - 10ns] = 0 $
questo vuol dire che le due esplosioni sono contemporanee per M !
E se fosse $v = 4/5c$ , quale sarebbe secondo M l'intervallo di tempo tra le esplosioni ? Applichiamo la stessa formula di prima :
$t'_B - t'_A = 1.667 [ 10ns - (0.8/0.3(ns)/m) * (5m) ] = 1.667 [ 10 ns - 13.33ns] = - 5.55ns $
cioè , per M l'esplosione della bomba in B avviene prima di quella in A ! Il termine dovuto alla desincronizzazione come si vede è in valore assoluto maggiore del $\Deltat $ programmato a terra.
Perciò , non deve meravigliare che orologi posti in punti diversi di un riferimento in moto (la terra è in moto rispetto al motociclista, in senso opposto al suo, il motociclista considera se stesso in quiete) segnino differenze di tempo, rispetto all'osservatore in quiete, che possono variare, addirittura essere negative rispetto a quelle del proprio riferimento.
È chiaro, nell' esempio riportato, che per velocità minori di $3/5c$ l'ordine temporale degli eventi per M è lo stesso che per l'osservatore fisso a terra, ma con differenze di tempo diverse.
Noto esplicitamente che tra i due eventi A e B non c'è alcuna relazione causa-effetto, cioè l'evento A non può causare l'evento B. Infatti, sarebbe : $(\Deltax)/(Deltat) = (5 m)/(10ns) = 0.5 m//ns) $ , ma questa velocità sarebbe maggiore di $c = 0.30 m /(ns)$ , il che è impossibile. Ecco perché può verificarsi addirittura l'inversione dell'ordine temporale dei due eventi rispetto a un osservatore in moto : non è possibile alcune relazione causale tra i due eventi.
E ora veniamo al famoso treno di Landau ( si chiama così) , lungo $AB = 2L $ (con A in coda, B in testa) che transita con una certa velocità , supponiamo ad es. $v = 0.6c$ lungo una banchina ferroviaria , da sinistra a destra. Le coordinate del treno sono $(t', x')$ , le coordinate della banchina sono $(t,x)$ . Supponiamo che al centro treno $M$ ci sia una lampadina, che il passeggero $O'$ accende allorché passa davanti al ferroviere $O$ . Assumiamo che le coordinate di questo evento "accensione" siano : $t = t' = 0 $ e analogamente $x = x' = 0 $ .
Nel treno, si verificano due altri eventi, e cioè i due raggi raggiungono A (in coda) e B (in testa) negli stessi istanti di tempo-treno : $t'_A = t'_B = L/c $.
Ma quali sono gli istanti di tempo-banchina, cioè secondo $O$ , dei due eventi?
Consideriamo che per $O$ : 1) il treno è in moto quindi il tempo del treno deve scorrere più lentamente del suo ; 2) il punto $A$ è separato da $M$ nel treno di $x'_A = - L $, semilunghezza "propria" del treno con segno negativo, perché A è sul semiasse negativo delle $x'$. Applichiamo la trasformazione inversa di Lorentz , da treno a banchina :
$t_A = \gamma(t'_A + (vx'_A)/c^2) $ , da cui :
$t_A = \gamma(L/c -(0.6c*L)/c^2) = \gammaL/c(1 - 0.6) = 0.4\gammaL/c$
Supponiamo che il treno sia lungo $60 m $ quindi $L = 30 m $ . Perciò : $t'_A = L/c = (30)/0.3ns = 100 ns$ . Invece :
$t_A = 0.4*1.25 *100 ns = 50 ns $ .
Perciò, pur avendo che il tempo treno scorre più lentamente del tempo banchina (presenza del fattore $\gamma$) , risulta che tra emissione del segnale da M e arrivo in A sono trascorsi , per l'osservatore in banchina , $50 ns$ , mentre per quello sul treno ne sono trascorsi il doppio. Notiamo che il solo termine di sfasamento dovuto alla distanza $L$ vale : $ - (0.6c*L)/c^2$ , che va ancora moltiplicato per $\gamma = 1.25$ per avere lo sfasamento secondo l'osservatore in banchina.
Un analogo calcolo per l'arrivo del segnale in B (testa treno) si esegue ponendo :
$t'_B = L/c$
$x'_B = +L$
si ottiene : $t_B = \gamma(L/c + (0.6c*L)/c^2) = \gammaL/c(1 + 0.6) = 1.6 \gammaL/c = 200 ns $
Naturalmente : $t_B - t_A = 150 ns = \gamma *2L*v/c^2$
I risultati di cui sopra (spero di non aver sbagliato i conti ) sono conformi a quanto detto a proposito dei bambini che saltano; siccome il treno viaggia da sinistra a destra rispetto alla banchina, la banchina si sposta da destra a sinistra rispetto al treno, quindi l'osservatore vede per primo l'evento più lontano, che è l'evento A , e poi vede l'evento B.
Ecco, il problema del treno si risolve facilmente con le TL , senza dover "sommare" a puri fini di calcolo $c+v$ ovvero $c-v$ . Ma in ogni caso, queste somme sono solo passaggi matematici.
Nel disegno allegato, ho riportato il diagramma di Minkowski supponendo il treno in quiete e la banchina che si sposta da destra a sinistra . Noto esplicitamente che avrei dovuto mettere $M$ coincidente con $O = O' $ , ma l'ho messo più su solo per pulizia di disegno. E ho anche disegnato una coppia di assi ausiliari $P(t,x)$ per evidenziare meglio i tempi .
Se avete domande (spero ne abbiate!) postatele pure. Per quello che so e posso, vi risponderò con pazienza.
Sembra una domanda banale, ma non lo è .
La risposta é : dipende da quale riferimento essi vengono considerati.
Non esiste un assoluto temporale; non esiste un assoluto spaziale. Esiste invece un assoluto spaziotemporale, che è il 4-intervallo tra gli eventi. Ogni osservatore inerziale OI fa le sue misure separate di spazio e di tempo, che sono diverse da quelle di ogni altro.
Poi però le mette insieme, nella maniera nota ( $L$ è la sola distanza spaziale) :
$(c\Deltat)^2 - (\DeltaL)^2 = \Deltas^2 $
e ottiene una quantità invariante.
Ma ora mi interessa spiegare la domanda e la risposta che ho messo sopra. E allora bisogna andare in ordine, cominciando quasi dall'inizio.
Prendiamo due sistemi di riferimento $S(t,x,y,z)$ (che chiamo fisso) e $ S'(t',x',y',z')$ , che si muove rispetto a S mantenendo il suo asse $x'$ sovrapposto a $x$, e quindi i piani $yz$ e $y'z'$ rimangono paralleli. LA velocità relativa di S' rispetto a S, supponiamo verso destra, è $v$ .
Le TL tra questi riferimenti sono :
$t' = \gamma(t - (vx)/c^2)$
$x' = \gamma(x - vt)$
$y' = y$
$z' = z$
queste trasformazioni, che si ricavano matematicamente in vari modi a partire dai noti postulati, ci dicono innanzitutto che le coordinate trasversali alla direzione del moto non cambiano. Perciò, non c'è contrazione delle lunghezze in senso trasversale al moto. Questo è un fatto assodato. Quindi possiamo ignorare tali coordinate, e riferirci solo alle trasformazioni della coordinata spaziale $x$ e di quella temporale $t$.
Prendiamo ora due eventi $A$ e $B$ nello spaziotempo. Ciascuno di essi ha le proprie coordinate nei due riferimenti detti; ma ora mi limito a considerare la sola trasformazione del tempo, sia per $A$ che per $B$ :
$t'_A = \gamma(t_A - (vx_A)/c^2)$ -------(1)
$t'_B = \gamma(t_B - (vx_B)/c^2)$ --------(2)
perciò , sottraendo la (1) dalla (2) si ha :
$t'_B - t'_A =\gamma[ (t_B - t_A) - v/c^2 (x_B - x_A)]$ --------(3)
Naturalmente è chiaro che la formula si può invertire, nel senso che si può scambiare $v$ con $-v$ e scambiare le coordinate senza apice con quelle con apice. Cioè si può scrivere :
$t_B - t_A = \gamma[(t'_B - t'_A) + v/c^2 (x'_B - x'_A)]$ --------(4)
Come si vede dalla (3), al primo membro c'è la differenza di tempo nel rif. in moto; al secondo membro, c'è in parentesi non solo la differenza di tempo $\Deltat$ del riferimento fisso, ma anche il termine di desincronizzazione $v/c^2 * \Deltax $ dovuto alla distanza spaziale dei due eventi misurata nel riferimento fisso. [Naturalmente tutti i ragionamenti si possono invertire prendendo in esame la (4), poiché il moto è relativo].
E questo termine di sfasamento dipende anche dal segno di $\Deltax $, che può essere positivo o negativo, oltre che da $v$.
Mi affretto a dire che :
- è verissimo che tutti gli orologi nel riferimento mobile sono sincronizzati tra loro e "battono il tempo più lentamente" rispetto al tempo del riferimento fisso (attenzione, questa frase si può prestare a equivoci, è dal confronto di un orologio mobile con almeno due orologi fissi che si vedono le differenze. E vale sempre il reciproco, per la relatività del moto.) È in sostanza il fattore $\gamma$ a rendere conto di questo rallentamento.
- è altrettanto vero che il termine $((v\Deltax)/c^2)$ introduce una desincronizzazione degli orologi dovuta alla loro distanza. Un osservatore in moto rispetto a degli orologi fissi distanti tra loro li vedrà sfasati della quantità detta, ma questo sfasamento va considerato con il giusto segno!
Detta in altro modo, questa non è altro che la relatività della contemporaneità.
Se abbiamo una fila di 5 bambini allineati su una strada, che saltano insieme rispetto a un osservatore fermo in strada, vuol dire che i 5 eventi avvengono allo stesso istante di tempo dell'osservatore. Ma ora sopraggiunge ad alta velocità un altro osservatore che percorre la strada: ebbene egli vedrà i bambini saltare in tempi diversi del suo orologio, e per lui è il più lontano nello spazio che salta per primo : basta considerare adeguatamente la formula dello sfasamento prima detta, oppure disegnare un piccolo diagrammino di Minkowski, come avevo fatto qui per la caduta di due pietre in un vagone in moto:
viewtopic.php?f=19&t=104356&hilit=caduta+pietre&start=60#p767857
Ma attenzione però quando si applica la formula: $\Deltax$ può essere positivo o negativo. Insomma, questa desincronizzazione va presa con attenzione, perché dipende dai segni oltre che dai valori delle differenze delle coordinate.
Essa può portare a delle conseguenze che a prima vista lasciano interdetti. Ripeto per chiarezza : l'ordine temporale tra due eventi, separati anche da un certo spazio oltre che dal tempo in un riferimento, non è indipendente dal moto dell'osservatore; se per un osservatore un evento A precede un evento B, per un altro osservatore può succedere che A e B siamo contemporanei, o addirittura che l'evento B preceda l'evento A ! Questo però può succedere solo se tra gli eventi A e B non c'è alcuna relazione causa-effetto, cioè se il 4- intervallo è di tipo spazio. Se invece A causa B in un riferimento, l'ordine temporale non può essere invertito in nessun altro riferimento. A precede sempre B, qualunque sia il riferimento inerziale dal quale li si osserva.
MA allora, direte voi, non è più vero che "il tempo in un riferimento in moto scorre più lentamente di quello del riferimento di quiete" ? Mi affretto a rispondere : questo è sempre vero ( con tutte le precisazioni e le prudenze del caso : è dal confronto che si vedono le differenze!). È il fattore $\gamma$ che tiene conto di questo. Quando scriviamo : $\Deltat = \gamma\Delta\tau$ , la differenza di tempo proprio $\Delta\tau$ si riferisce a eventi che succedono nello stesso punto dello spazio a cui tale tempo proprio si riferisce.
Naturalmente le considerazioni esposte si possono invertire, visto che il moto è relativo.
Faccio un esempio numerico, così forse è più chiaro.
Su una strada rettilinea orientata da sinistra a destra ci sono due punti A (con attaccato un orologio) e B (con un altro orologio) , distanti $5 m$ . Quindi, per capirci :
$x_B = x_A + 5m $
Nei due punti ci sono due bombe ad orologeria, programmate ad esplodere non insieme, ma a tempi diversi, precisamente la B esplode $10 ns$ dopo la A . Quindi, per capirci, nel riferimento terrestre:
$t_B = t_A + 10 ns $
Un motociclista M percorre la strada da sinistra a destra con velocità $v = 3/5c$ , passando quindi prima davanti ad A e poi davanti a B .
Secondo M , quale è l'intervallo di tempo tra le due esplosioni ?
Applichiamo direttamente la TL del tempo [ riportata in (3) ] per passare dalle coordinate terrestri a quelle di M :
$t'_B - t'_A =\gamma[ (t_B - t_A) - v/c^2 (x_B - x_A)]$ --------(3)
si ha : $t'_B - t'_A = 1.25 [ 10ns - (0.6/0.3(ns)/m) * (5m) ] = 1.25 [ 10 ns - 10ns] = 0 $
questo vuol dire che le due esplosioni sono contemporanee per M !
E se fosse $v = 4/5c$ , quale sarebbe secondo M l'intervallo di tempo tra le esplosioni ? Applichiamo la stessa formula di prima :
$t'_B - t'_A = 1.667 [ 10ns - (0.8/0.3(ns)/m) * (5m) ] = 1.667 [ 10 ns - 13.33ns] = - 5.55ns $
cioè , per M l'esplosione della bomba in B avviene prima di quella in A ! Il termine dovuto alla desincronizzazione come si vede è in valore assoluto maggiore del $\Deltat $ programmato a terra.
Perciò , non deve meravigliare che orologi posti in punti diversi di un riferimento in moto (la terra è in moto rispetto al motociclista, in senso opposto al suo, il motociclista considera se stesso in quiete) segnino differenze di tempo, rispetto all'osservatore in quiete, che possono variare, addirittura essere negative rispetto a quelle del proprio riferimento.
È chiaro, nell' esempio riportato, che per velocità minori di $3/5c$ l'ordine temporale degli eventi per M è lo stesso che per l'osservatore fisso a terra, ma con differenze di tempo diverse.
Noto esplicitamente che tra i due eventi A e B non c'è alcuna relazione causa-effetto, cioè l'evento A non può causare l'evento B. Infatti, sarebbe : $(\Deltax)/(Deltat) = (5 m)/(10ns) = 0.5 m//ns) $ , ma questa velocità sarebbe maggiore di $c = 0.30 m /(ns)$ , il che è impossibile. Ecco perché può verificarsi addirittura l'inversione dell'ordine temporale dei due eventi rispetto a un osservatore in moto : non è possibile alcune relazione causale tra i due eventi.
E ora veniamo al famoso treno di Landau ( si chiama così) , lungo $AB = 2L $ (con A in coda, B in testa) che transita con una certa velocità , supponiamo ad es. $v = 0.6c$ lungo una banchina ferroviaria , da sinistra a destra. Le coordinate del treno sono $(t', x')$ , le coordinate della banchina sono $(t,x)$ . Supponiamo che al centro treno $M$ ci sia una lampadina, che il passeggero $O'$ accende allorché passa davanti al ferroviere $O$ . Assumiamo che le coordinate di questo evento "accensione" siano : $t = t' = 0 $ e analogamente $x = x' = 0 $ .
Nel treno, si verificano due altri eventi, e cioè i due raggi raggiungono A (in coda) e B (in testa) negli stessi istanti di tempo-treno : $t'_A = t'_B = L/c $.
Ma quali sono gli istanti di tempo-banchina, cioè secondo $O$ , dei due eventi?
Consideriamo che per $O$ : 1) il treno è in moto quindi il tempo del treno deve scorrere più lentamente del suo ; 2) il punto $A$ è separato da $M$ nel treno di $x'_A = - L $, semilunghezza "propria" del treno con segno negativo, perché A è sul semiasse negativo delle $x'$. Applichiamo la trasformazione inversa di Lorentz , da treno a banchina :
$t_A = \gamma(t'_A + (vx'_A)/c^2) $ , da cui :
$t_A = \gamma(L/c -(0.6c*L)/c^2) = \gammaL/c(1 - 0.6) = 0.4\gammaL/c$
Supponiamo che il treno sia lungo $60 m $ quindi $L = 30 m $ . Perciò : $t'_A = L/c = (30)/0.3ns = 100 ns$ . Invece :
$t_A = 0.4*1.25 *100 ns = 50 ns $ .
Perciò, pur avendo che il tempo treno scorre più lentamente del tempo banchina (presenza del fattore $\gamma$) , risulta che tra emissione del segnale da M e arrivo in A sono trascorsi , per l'osservatore in banchina , $50 ns$ , mentre per quello sul treno ne sono trascorsi il doppio. Notiamo che il solo termine di sfasamento dovuto alla distanza $L$ vale : $ - (0.6c*L)/c^2$ , che va ancora moltiplicato per $\gamma = 1.25$ per avere lo sfasamento secondo l'osservatore in banchina.
Un analogo calcolo per l'arrivo del segnale in B (testa treno) si esegue ponendo :
$t'_B = L/c$
$x'_B = +L$
si ottiene : $t_B = \gamma(L/c + (0.6c*L)/c^2) = \gammaL/c(1 + 0.6) = 1.6 \gammaL/c = 200 ns $
Naturalmente : $t_B - t_A = 150 ns = \gamma *2L*v/c^2$
I risultati di cui sopra (spero di non aver sbagliato i conti ) sono conformi a quanto detto a proposito dei bambini che saltano; siccome il treno viaggia da sinistra a destra rispetto alla banchina, la banchina si sposta da destra a sinistra rispetto al treno, quindi l'osservatore vede per primo l'evento più lontano, che è l'evento A , e poi vede l'evento B.
Ecco, il problema del treno si risolve facilmente con le TL , senza dover "sommare" a puri fini di calcolo $c+v$ ovvero $c-v$ . Ma in ogni caso, queste somme sono solo passaggi matematici.
Nel disegno allegato, ho riportato il diagramma di Minkowski supponendo il treno in quiete e la banchina che si sposta da destra a sinistra . Noto esplicitamente che avrei dovuto mettere $M$ coincidente con $O = O' $ , ma l'ho messo più su solo per pulizia di disegno. E ho anche disegnato una coppia di assi ausiliari $P(t,x)$ per evidenziare meglio i tempi .
Se avete domande (spero ne abbiate!) postatele pure. Per quello che so e posso, vi risponderò con pazienza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo