RR fo dummies : composizione relativistica di velocità

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5 set 2014, 15:56

Se si compongono due trasformazioni di Lorentz in una stessa direzione si ottiene ancora una trasformazione di L. in quella direzione. È abbastanza facile vederlo, salvo un po' di complicazione nelle formule di trasformazione delle velocità.
Supponiamo di avere 3 sistemi inerziali $S , S' , S'' $, con assi spaziali ugualmente orientati, in moto relativo lungo l'asse $x = x' = x''$ .
Sia $v_2$ la velocità di $S''$ rispetto a $S'$ , il quale a sua volta si muove con velocità $v_1$ rispetto a $S$ .

Le TL da $S'$ a $S''$ sono :

$ x'' = \gamma(v_2)(x' - v_2t') $ --------(1)
$ t'' = \gamma(v_2)(t' - v_2/c^2x') $ ----(2)

analogamente, quelle da $S$ a $S'$ sono :

$ x' = \gamma(v_1)(x - v_1t) $ --------(3)
$ t' = \gamma(v_1)(t' - v_1/c^2x) $ ----(4)

la formula per la composizione relativistica delle velocità $v_1$ e $v_2$ dà luogo alla velocità collineare :

$v = (v_1 + v_2)/(1+(v_1v_2)/c^2)$ -----(5)

e sostituendo le (3) e (4) nelle (1) e (2) si trova, tenendo conto della (5) , che :

$ x'' = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2)(x - vt) $ --------(6)
$ t'' = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2)(t - v/c^2x) $ -----(7)

se si pone : $ \gamma (v) = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2) $ -----(8)

le (6) e (7) si possono scrivere come un'unica TL collineare per passare dalle coordinate $(x,t)$ alle coordinate $(x'',t'')$ :

$ x'' = \gamma(v)(x - vt) $ --------(9)
$ t'' = \gamma(v)(t - v/c^2x) $ ----(10)

Faccio un esempio numerico.

$S'$ è un'astronave che si allontana da $S$ con velocità $v_1 = 0.6c$ , e da $S'$ viene lanciata un'astronave $S''$ che si muove rispetto a $S'$ con velocità $v_2 = 0.6c$ nella stessa direzione; risulta :

$\gamma (v_1) = \gamma (v_2) = 1.25$

$ v = (0.6 + 0.6)/(1 + 0.6*0.6) *c = 0.882c$

$\gamma(v) = 1.25 * 1.25 (1 + 0.6*0.6) = 2.125$

Con queste espressioni di velocità e di fattore di Lorentz si possono risolvere i soliti problemi di passaggio dalle coordinate di $S$ a quelle di $S''$, quando i loro moti sono collineari. Non è il caso di insistere su questi aspetti.

Ma ora voglio esaminare invece un' altra situazione.

Supponiamo di avere un riferimento piano $S(x,y)$ di quiete (Orientato con x verso destra e y verso l'alto : è un normale piano cartesiano) , in cui sull'asse $x$ si muove una astronave A , con velocità, rispetto a S, data da :

$A_x = 0.6c$ ; evidentemente $A_y = 0 $ .

Poi abbiamo sull'asse $y$ un' altra astronave B , che si muove sull'asse $y$ con velocità rispetto a S data da :

$B_y = 0.6c$ ; evidentemente $B_x = 0 $ .

Se fossimo in meccanica classica, come sarebbe diretta la velocità relativa tra A e B ? Chiaramente secondo la loro congiungente, in ogni istante.
E come valuta invece l'osservatore in quiete in $S$ la velocità con cui si allontanano tra loro A e B, se queste velocità sono paragonabili a $c$ ?
Rispetto a $S$, che ha un suo orologio e un suo sistema di misura delle distanze, vale la stessa cosa della meccanica classica ; cioè, la mutua velocità con cui si allontanano le due navi, valutata da $S$, vale : $0.6*1.41*c = 0.8485c$ . Anche se le velocità iniziali fossero, ad esempio, uguali a $0.9c$ , rispetto a $S$ il modulo della mutua velocità sarebbe $0.9*1.41c = 1.269c$ , e non ci sarebbe niente di strano. Questo è solo il "rateo orario" con cui rispetto a $S$ si allunga il segmento $AB$ .

Però ora vogliamo vedere invece come B vede A , e come A vede B. E soprattutto capire come è diretta la velocità relativa tra essi, dal rispettivo punto di vista. Questo è il calcolo della velocità relativa !

Consideriamo prima il moto di A visto da B. Si deve quindi considerare B in "quiete", e comporre relativisticamente la velocità di S, che rispetto a B si muove lungo y in direzione negativa, con la velocità di A sull'asse x. Le componenti trasformate , siccome i due assi sono perpendicolari, valgono :

$A'_x = (A_x*sqrt(1-(v/c)^2))/(1-(B_yA_y)/c^2) = 0.8A_x = 0.48c$ (in quanto : $A_y = 0 $)

$ A'_y = (A_y - B_y)/(1-(B_yA_y)/c^2) = (0 - B_y)/(1-0) = - B_y = - 0.6c $ (sempre per lo stesso motivo di prima) .

Percio si ha : $ |V_(BA) | = sqrt((0.48c)^2 + (0.6c)^2) = 0.7683c $

Questo è il modulo della velocità relativa di A rispetto a B . Calcoliamo l'angolo che tale velocità relativa forma con l'asse $x$ :

$\alpha =" arctg" (A'_y)/(A'_x) = arctg" (-0.6c)/(0.48c) = arctg(- 1.25) = - 51,34° $.

Ripetiamo ora gli stessi calcoli , per determinare le componenti trasformate della velocità di B visto da A .

I calcoli sono analoghi al caso precedente. Si deve considerare A "in quiete", e comporre relativisticamente la velocità di S , che rispetto ad A si muove nella direzione negativa di x, con la velocità di B sull'asse y.

Quindi si ha :

$ B'_x = (B_x - A_x)/(1-(B_xA_x)/c^2) = (0 - A_x)/(1-0) = - A_x = - 0.6c $

$B'_y = (B_y*sqrt(1-(v/c)^2))/(1-(B_xA_x)/c^2) = 0.8B_y = 0.48c$

Percio si ha : $ |V_(AB) | = sqrt((0.6c)^2 + (0.48c)^2) = 0.7683c $

Questo è il modulo della velocità relativa di B rispetto a A . Esso è identico al modulo della velocità relativa di A rispetto a B.

Ma Calcoliamo l'angolo che tale velocità relativa forma con l'asse $x$ :

$\beta =" arctg" (B'_y)/(B'_x) = arctg" (0.48c)/(-0.6c) = arctg(- 0.8) = - 38,66° $.

Come si vede, quest'angolo non è uguale al precedente, calcolato con le componenti della velocità di A relativa a B.

È un risultato esclusivamente relativistico, che ha a che fare con la cosiddetta "precessione di Thomas" .

Consideriamo tre riferimenti $S$ , $S'$ , $S''$ , tali che gli assi di $S'$ siano paralleli a quelli di $S$, e gli assi di $S''$ siano paralleli a quelli di $S'$ ; la velocità di $S'$ rispetto a $S$ è diretta lungo l'asse $x$. La velocità di $S''$ rispetto a $S'$ è diretta lungo $y'$ . Le trasformazioni di Lorentz che fanno passare da $S$ a $S''$ non sono una semplice TL , ma sono accompagnate da una rotazione. Alla fine gli assi di $S''$ non risultano paralleli agli agli di $S$. Quindi la velocità $vecv''$ di $S$ rispetto a $S''$ non risulta uguale a $-vecv$, cioè la velocità di $S''$ rispetto a $S$ . LA rotazione degli assi è determinata proprio dagli angoli tra $vecv''$ e $vecv$ .
Una particella che rispetto a un riferimento inerziale dato segue un percorso chiuso, partendo da un punto P con una certa velocità , vi ritorna con una velocità che non è la stessa, ma forma un certo angolo con la direzione iniziale.

Stranezze della Relatività!