Rotore in vari sistemi di riferimento (passaggio matematico)

[*pizzaf40]

Ciao gente...studiando fluidodinamica mi sono trovato a semplificare Navier-Stokes per un caso di fluido incomprimibile e non viscoso (il più facile inzomma ) ma nelle rielaborazioni successive viene immessa la vorticità (e quindi il rotore). Il passaggio che mi manca è matematico...ora espongo meglio.

La velocità può essere scritta in base al sistema di riferimento:

1) cartesiano

$c$$=u$$i$$+v$$j$$+w$$k$ -> (rispettivamente x+y+z)

-2) cilindrico

$c$$=c_r$$u$$+c_(theta) tau+c_z$$k$ -> (radiale(y)+circolare+z)

3) conoidiforme

$c$$=c_n$$n$$+c_(theta)tau+c_m$$m$ -> (normale alle linee di flusso+circolare+tangente alle linee di flusso)

...il tutto in ambito di pompa radiale.

Poi da la vorticità per ognuno dei 3 casi ($Omega$$= nabla x$$c$):

$Omega$$=Omega_x$$i$$+Omega_y$$j$$+Omega_z$$k$
$Omega$$=Omega_r$$u$$+Omega_(theta)tau+Omega_z$$k$
$Omega$$=Omega_n$$n$$+Omega_(theta)tau+Omega_m$$m$

Con i singoli termini (non so fare il simbolo di derivata parziale classico, ma il significato è quello):

1)
$Omega_x=(delta w)/(delta y)-(delta v)/(delta z)$
$Omega_y=(delta u)/(delta z)-(delta w)/(delta x)$
$Omega_z=(delta v)/(delta x)-(delta u)/(delta y)$



2)
$Omega_r=1/r[(delta c_z)/(delta theta)-(delta (rc_(theta)))/(delta z)]$
$Omega_(theta)=(delta c_r)/(delta z)-(delta c_z)/(delta r)$
$Omega_z=1/r[(delta (rc_(theta)))/(delta r)-(delta c_r)/(delta theta)]$



3)
$Omega_n=1/r[(delta c_m)/(delta theta)-(delta (rc_(theta)))/(delta m)]$
$Omega_(theta)=(delta c_(nr))/(delta m)-(delta c_m)/(delta n)+c_m/R_c$
$Omega_m=1/r[(delta (rc_(theta)))/(delta n)-(delta c_n)/(delta theta)]$

Il problema è che non capisco il passaggio da velocità a vorticità per il secondo e terzo caso...prendendo i 2 vettori esplicitati e facendone il rotore non trovo gli stessi risultati (e dubito che quelli nella mia dispensa siano sbagliati )

Potreste darmi una mano?? Temo che il punto cruciale sia il $tau$ (tau) che non è evidenziato come vettore, ma potrebbe essere anche dell'altro...

[AMs1]

il fatto di usare un cambiamento di variabili cambia proprio la forma del rotore (cambiando i versori è normale)

quella in coord cartesiane è:

$\nabla x \bar E = |(\hat i,\hat j,\hat k),(del/(delx),del/(dely),del/(delz)),(E_x,E_y,E_z)|$

in coordinate cilindriche invece

$\nabla x \bar E = 1/r * |(\hat r,\hat phi*r,\hat k),(del/(delr),del/(delphi),del/(delk)),(E_r,rE_phi,E_z)|$

[*pizzaf40]

Sì, infatti il fine sett mi son messo a fare tutti i passaggi con carta e penna ed in effetti viene tutto così...che fatica però ciau...