Rotore del vettore posizione nullo
Qualcuno mi può spiegare perchè il rotore del vettore posizione è nullo (\(\displaystyle \vec{\Lambda} x \vec{r} = \vec{0} \))? Con vettore posizione intendo \(\displaystyle \vec{r}=\hat{xu_x} + y\hat{u_y }+ \hat{zu_z}\). A me facendo i calcoli non esce uguale a zero...
Grazie
Grazie
Risposte
La ragione "grafica" è abbastanza evidente.
Per quanto riguarda i calcoli probabilmente hai fatto qualche errore di distrazione:
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \mathbf{u_x} & \mathbf{u_y} & \mathbf{u_z} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial} {\partial{z}} \\ x & y & z \end{vmatrix}[/tex]
Facendo i calcoli si ha
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = (\frac{\partial{z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{y}}{\partial{z}}) \mathbf{u_x} -(\frac{\partial{z}}{\partial{x}} - \frac{\partial{x}}{\partial{z}}) \mathbf{u_y} + (\frac{\partial{y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{x}}{\partial{y}})\mathbf{u_z}[/tex]
Ovvero
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = (0 - 0) \mathbf{u_x} -(0 - 0) \mathbf{u_y} + (0 - 0)\mathbf{u_z}[/tex]
Quindi [tex]\nabla \land \mathbf{r} = (19, 25, 163)[/tex]
No, scherzo [tex]\nabla \land \mathbf{r} = \mathbf{0} = (0,0,0)[/tex]
Per quanto riguarda i calcoli probabilmente hai fatto qualche errore di distrazione:
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \mathbf{u_x} & \mathbf{u_y} & \mathbf{u_z} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial} {\partial{z}} \\ x & y & z \end{vmatrix}[/tex]
Facendo i calcoli si ha
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = (\frac{\partial{z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{y}}{\partial{z}}) \mathbf{u_x} -(\frac{\partial{z}}{\partial{x}} - \frac{\partial{x}}{\partial{z}}) \mathbf{u_y} + (\frac{\partial{y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{x}}{\partial{y}})\mathbf{u_z}[/tex]
Ovvero
[tex]\nabla \land \mathbf{r} = (0 - 0) \mathbf{u_x} -(0 - 0) \mathbf{u_y} + (0 - 0)\mathbf{u_z}[/tex]
Quindi [tex]\nabla \land \mathbf{r} = (19, 25, 163)[/tex]
No, scherzo [tex]\nabla \land \mathbf{r} = \mathbf{0} = (0,0,0)[/tex]
ok grazie, in effetti avevo fatto un errore di calcolo... Mi spieghi invece la ragione grafica?
Detta un modo un po' brutale, mentre la divergenza "dà una misura" della tendenza che un campo vettoriale ha a divergere, il rotore "dà una misura" della tendenza che il campo vettoriale ha a ruotare.
Un esempio di campo vettoriale che ruota e che ha rotore non nullo? Il campo di velocità dell'acqua quando tiri lo sciacquone in bagno.
Un esempio di campo vettoriale che non ruota? Il campo gravitazionale della terra ad esempio, o anche il campo elettrico generato da una carica puntiforme ferma.
Allego un'immagine che forse ti può servire. Questo è un campo vettoriale in due variabili
[tex]\mathbf{r}(x,y) = x\mathbf{u_x} + y\mathbf{u_y}[/tex]
Ovviamente generalizzare il caso in tre variabili è semplice (ma non sapevo come disegnarlo col programma che ho usato).
Comunque quello che intendevo con "la ragione "grafica" è abbastanza evidente" è che questo campo non ha alcuna tendenza a ruotare.
Un esempio di campo vettoriale che ruota e che ha rotore non nullo? Il campo di velocità dell'acqua quando tiri lo sciacquone in bagno.
Un esempio di campo vettoriale che non ruota? Il campo gravitazionale della terra ad esempio, o anche il campo elettrico generato da una carica puntiforme ferma.
Allego un'immagine che forse ti può servire. Questo è un campo vettoriale in due variabili
[tex]\mathbf{r}(x,y) = x\mathbf{u_x} + y\mathbf{u_y}[/tex]
Ovviamente generalizzare il caso in tre variabili è semplice (ma non sapevo come disegnarlo col programma che ho usato).
Comunque quello che intendevo con "la ragione "grafica" è abbastanza evidente" è che questo campo non ha alcuna tendenza a ruotare.
Uhm, l'immagine è decisamente troppo grande, aprila in una nuova scheda per vederla tutta...
Un altro modo per vederla è: immaginati una sfera centrata nel punto [tex](0,0,0)[/tex].
Praticamente il campo [tex]\mathbf{r}[/tex] che intendi tu è sempre normale alla sfera in ogni direzione (qualsiasi sia il raggio della sfera) ed aumenta con la distanza.
Praticamente il campo [tex]\mathbf{r}[/tex] che intendi tu è sempre normale alla sfera in ogni direzione (qualsiasi sia il raggio della sfera) ed aumenta con la distanza.
Grazie della spiegazione, mi è stata molto utile avendo appena cominciato l'argomento!
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