Rotolamento+molla
Una moneta di massa $M$ è collegata ad una molla, avente costante di allungamento $k$, in modo da poter rotolare di taglio su un piano (senza sbandare né slittare). A $t=0$è posta ad una distanza $x_0=0,25m$ dal punto di equilibrio della molla (che a $t=0$ risulta allungata) e poi rilasciata. Trovare il valore massimo della velocità del centro di massa della molla e della velocità angolare della sua rotazione, le energie cinetiche associate a queste velocità, l'equazione del moto della moneta in funzione di $t$ e la frequenza di tale oscillazione.
Avendo i dati a disposizione, come procedereste (non ho i valori di M e k, sceglieteli pure arbitrariamente)?
Avendo i dati a disposizione, come procedereste (non ho i valori di M e k, sceglieteli pure arbitrariamente)?
Risposte
Ma la molla è collegata al centro di massa della moneta vero?
Sì, scusami, lo avevo erroneamente dato per scontato. 
Ok un'ultima domanda, l'attrito è tale da permettere il rotolamento subito o no?
In ogni caso, supponendo che rotoli da subito, usiamo la conservazione dell'energia e le cardinali per determinare il tutto:
Il sistema di riferimento che prendo è parallelo al tavolo e ha lo zero nel punto di riposo della molla
seconda equazione cardinale:
$ma_x = - (khatx)x + Fahat x$
$ma_y = N - mg$
La prima equazione ci dice che:
$F_a R = I alpha$ -> $alpha = F_a R /I$ -> $w (t) = (F_aR /I) t
Ora scriviamo la conservazione dell'energia (questo non possiamo farlo se non siamo sicuri che la ruota non strisci)
Prima però scriviamo la condizione di rotolamento puro, che io continuo imprterrito a dare per scontato (spero sia così altrimenti il problema diventa più complicato)
La velocità del punto di contatto deve essere nulla rispetto alla velocità del piano, ovvero la velocità del punto di contatto deve annullarsi.
Ma la velocità del punto a contatto è:
$v_p = x' + wr$ (condizione di corpo rigido_ " In ogni punto la velocità è la somma della velocità del centro di massa e $wd$ con d distanza dal centro di massa del punto.
$1/2k x_0^2 = 1/2 k x^2 + 1/2mx'^2 + 1/2 I w^2$
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
$0 = k x x' + m x' x'' + I(x'x'')/R^2
Raccogliamo x':
$x' ( k x + mx'' + I(x'')/R^2) = 0$
che si annulla o per x' = 0 o per
$k x + mx'' + I(x'')/R^2$, cioè $x'' = -kx/ (m + I/r^2)$
A questo punto credo che abbiamo tutti i dati per determinare equazioni del moto ecc ecc.
La velocità angolare massima si ha quando la velocità del centro di massa è massima, per la condizione del corpo rigido. La velocità massima del centro di massa puoi vederla guardando la conservazione dell'energia.
La frequenza delle oscillazioni la trovi dalla derivata prima dell'energia che ho scritto sopra:
Domanda.
Perché, nonostante la forza di attrito agisca sul centro di massa, la soluzione è oscillatoria?
Il sistema di riferimento che prendo è parallelo al tavolo e ha lo zero nel punto di riposo della molla
seconda equazione cardinale:
$ma_x = - (khatx)x + Fahat x$
$ma_y = N - mg$
La prima equazione ci dice che:
$F_a R = I alpha$ -> $alpha = F_a R /I$ -> $w (t) = (F_aR /I) t
Ora scriviamo la conservazione dell'energia (questo non possiamo farlo se non siamo sicuri che la ruota non strisci)
Prima però scriviamo la condizione di rotolamento puro, che io continuo imprterrito a dare per scontato (spero sia così altrimenti il problema diventa più complicato)
La velocità del punto di contatto deve essere nulla rispetto alla velocità del piano, ovvero la velocità del punto di contatto deve annullarsi.
Ma la velocità del punto a contatto è:
$v_p = x' + wr$ (condizione di corpo rigido_ " In ogni punto la velocità è la somma della velocità del centro di massa e $wd$ con d distanza dal centro di massa del punto.
$1/2k x_0^2 = 1/2 k x^2 + 1/2mx'^2 + 1/2 I w^2$
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
$0 = k x x' + m x' x'' + I(x'x'')/R^2
Raccogliamo x':
$x' ( k x + mx'' + I(x'')/R^2) = 0$
che si annulla o per x' = 0 o per
$k x + mx'' + I(x'')/R^2$, cioè $x'' = -kx/ (m + I/r^2)$
A questo punto credo che abbiamo tutti i dati per determinare equazioni del moto ecc ecc.
La velocità angolare massima si ha quando la velocità del centro di massa è massima, per la condizione del corpo rigido. La velocità massima del centro di massa puoi vederla guardando la conservazione dell'energia.
La frequenza delle oscillazioni la trovi dalla derivata prima dell'energia che ho scritto sopra:
Domanda.
Perché, nonostante la forza di attrito agisca sul centro di massa, la soluzione è oscillatoria?
Come avevo scritto il rotolamento è puro (il corpo non slitta) e sì, rotola fin da subito. Le premesse quindi sono giuste.
Non capisco però cosa intendi per $hatk$ e $hat x$. Quanto al resto, faccio ancora qualche conto ed analisi prima di postare.
Non capisco però cosa intendi per $hatk$ e $hat x$. Quanto al resto, faccio ancora qualche conto ed analisi prima di postare.
Ops ho sbagliato due volte a scrivere. La prima è $/hat k$, che non esiste, esiste solo $/hatx$. La seconda è averlo messo al denominatore, però non era voluta questa. Comunque $/hatx$ è il versore di x, l'ho scritto perché non mi ricordavo come scrivere le freccioline sopra i vettori e non avevo voglia di andarlo a guardare xD.
$ma_x = - (khatx)x + F_ahat x$ Volevi scrivere la forza di attrito così, giusto? Sul momento pensavo au prodotto forza per accelerazione.
esattamente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo