Rotolamento senza strisciamento
Salve a tutti. Dato il seguente problema:
Volevo dimostrare che, nel caso di rotolamento senza strisciamento, l'accelerazione del punto ti contatto, vista dal centro del telaio fermo, è:
[tex]\displaystyle a_{C} = \left (\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2} \right )^{-1}\omega^2 \widehat{\mu}[/tex]
Dove [tex]\widehat{\mu}[/tex] è il versore radiale alla ruota mobile nel punto di conatto, e diretto verso l'interno di essa, mentre $R_1$ e $R_2$ sono i raggi di ruota e telaio rispettivamente
Non riesco però ad impostare la dimostrazione, non so letteralmente da dove partire... Mi potete dare una "spintarella"??
Volevo dimostrare che, nel caso di rotolamento senza strisciamento, l'accelerazione del punto ti contatto, vista dal centro del telaio fermo, è:
[tex]\displaystyle a_{C} = \left (\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2} \right )^{-1}\omega^2 \widehat{\mu}[/tex]
Dove [tex]\widehat{\mu}[/tex] è il versore radiale alla ruota mobile nel punto di conatto, e diretto verso l'interno di essa, mentre $R_1$ e $R_2$ sono i raggi di ruota e telaio rispettivamente
Non riesco però ad impostare la dimostrazione, non so letteralmente da dove partire... Mi potete dare una "spintarella"??
Risposte
Se ho capito bene, $R_1$ è il raggio della circonferenza fissa, $R_2$ è il raggio della circonferenza mobile, $\omega$ è la velocità angolare della circonferenza mobile, $a_c$ è l'accelerazione centripeta del punto di contatto tra circonferenza fissa e circonferenza mobile. Puoi confermare?
Ok ho provato una strada, ma i risultati non sono incoraggianti.
Innanzitutto ho calcolato l'accelerazione del centro $G$ della ruota, vista dal centro $O$ del telaio che, sperando di non aver fatto errori di calcolo, dovrebbe essere
[tex]\displaystyle\mathbf{a_{G,O}} = R \ddot{\theta}\widehat{\mathbf{t}}+R\dot{\theta}^2\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
dove $R=R_1+R_2$ e $\dot{\theta}=\omega \frac{R_1}{R_2}$ è la "velocità angolare" del punto $G$ al suo ruotare intorno ad $O$, $\omega$ è la velocità angolare della ruota, [tex]\widehat{t}[/tex] è il versore tangente alla traiettoria e [tex]\widehat{n}[/tex] quello ortogonale alla stessa diretto verso $O$.
Sostituendo si ottiene
[tex]\displaystyle \mathbf{a_{G,O}} = \frac{R_1}{R_2}(R_1+R_2) \ddot{\theta}\widehat{\mathbf{t}}+\left (\frac{R_1}{R_2} \right )^2(R_1+R_2)\dot{\theta}^2\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
A questo punto posso sfruttare il teorema di Coriolis per calcolare l'accelerazione del punto di contatto $C$ rispetto ad $O$ conoscendo il suo valore visto da una terna solidale al corpo e con origine in $G$ (che è nullo, così come la sua velocità, essendo la terna solidale)
[tex]\mathbf{a_{C,O}} = \mathbf{a_{C,G}} + \mathbf{a_{G,O}}+\dot{\mathbf{\omega}}\wedge \overrightarrow{GC}-\omega^2\overrightarrow{GC}[/tex]
Sostituendo però esce una equazione bruttissima
[tex]\displaystyle \mathbf{a_{C,O}} = \left ( \frac{R_1}{R_2}(R_1+R_2)-R_1 \right )\dot\omega\widehat{\mathbf{t}} + \left [\left (\frac{R_1}{R_2} \right )^2(R_1+R_2)-R_1 \right ]\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
che ovviamente non mi convince, sia per la bruttezza e sia per la presenza del termine tangenziale.
Dove sto sbagliando?
Innanzitutto ho calcolato l'accelerazione del centro $G$ della ruota, vista dal centro $O$ del telaio che, sperando di non aver fatto errori di calcolo, dovrebbe essere
[tex]\displaystyle\mathbf{a_{G,O}} = R \ddot{\theta}\widehat{\mathbf{t}}+R\dot{\theta}^2\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
dove $R=R_1+R_2$ e $\dot{\theta}=\omega \frac{R_1}{R_2}$ è la "velocità angolare" del punto $G$ al suo ruotare intorno ad $O$, $\omega$ è la velocità angolare della ruota, [tex]\widehat{t}[/tex] è il versore tangente alla traiettoria e [tex]\widehat{n}[/tex] quello ortogonale alla stessa diretto verso $O$.
Sostituendo si ottiene
[tex]\displaystyle \mathbf{a_{G,O}} = \frac{R_1}{R_2}(R_1+R_2) \ddot{\theta}\widehat{\mathbf{t}}+\left (\frac{R_1}{R_2} \right )^2(R_1+R_2)\dot{\theta}^2\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
A questo punto posso sfruttare il teorema di Coriolis per calcolare l'accelerazione del punto di contatto $C$ rispetto ad $O$ conoscendo il suo valore visto da una terna solidale al corpo e con origine in $G$ (che è nullo, così come la sua velocità, essendo la terna solidale)
[tex]\mathbf{a_{C,O}} = \mathbf{a_{C,G}} + \mathbf{a_{G,O}}+\dot{\mathbf{\omega}}\wedge \overrightarrow{GC}-\omega^2\overrightarrow{GC}[/tex]
Sostituendo però esce una equazione bruttissima
[tex]\displaystyle \mathbf{a_{C,O}} = \left ( \frac{R_1}{R_2}(R_1+R_2)-R_1 \right )\dot\omega\widehat{\mathbf{t}} + \left [\left (\frac{R_1}{R_2} \right )^2(R_1+R_2)-R_1 \right ]\widehat{\mathbf{n}}[/tex]
che ovviamente non mi convince, sia per la bruttezza e sia per la presenza del termine tangenziale.
Dove sto sbagliando?
"speculor":
Se ho capito bene, $R_1$ è il raggio della circonferenza fissa, $R_2$ è il raggio della circonferenza mobile, $\omega$ è la velocità angolare della circonferenza mobile, $a_c$ è l'accelerazione centripeta del punto di contatto tra circonferenza fissa e circonferenza mobile. Puoi confermare?
Ho appena visto la tua risposta, scusami stavo scrivendo il post
In ogni caso si, apparte per i raggi che sono invertiti (ho modificato il post precedente, visto che nei calcoli a mano li avevo considerati invertiti)
$C$: punto di contatto (centro istantaneo di rotazione)
$G$: centro della ruota mobile
Condizione di puro rotolamento
$\omegaR_1=dot \theta(R_1+R_2) rarr dot \theta=(\omegaR_1)/(R_1+R_2)$
Formula delle accelerazioni nei moti rigidi piani
$a_C=a_G-\omega^2R_1=\dot theta^2(R_1+R_2)-\omega^2R_1=(\omega^2R_1^2)/(R_1+R_2)^2(R_1+R_2)-\omega^2R_1$
$a_C=-\omega^2(R_1R_2)/(R_1+R_2)$
I tuoi calcoli contengono errori di distrazione e di concetto. Non c'è dubbio che la determinazione delle accelerazioni sia più complessa, ma tu hai sbagliato la condizione di puro rotolamento, che si esplicita con le sole velocità.
$G$: centro della ruota mobile
Condizione di puro rotolamento
$\omegaR_1=dot \theta(R_1+R_2) rarr dot \theta=(\omegaR_1)/(R_1+R_2)$
Formula delle accelerazioni nei moti rigidi piani
$a_C=a_G-\omega^2R_1=\dot theta^2(R_1+R_2)-\omega^2R_1=(\omega^2R_1^2)/(R_1+R_2)^2(R_1+R_2)-\omega^2R_1$
$a_C=-\omega^2(R_1R_2)/(R_1+R_2)$
I tuoi calcoli contengono errori di distrazione e di concetto. Non c'è dubbio che la determinazione delle accelerazioni sia più complessa, ma tu hai sbagliato la condizione di puro rotolamento, che si esplicita con le sole velocità.
Perfetto ho capito, il mio errore era tutto qui:
tu hai (giustamente) posto l'uguaglianza sulla velocità di $G$, io invece avevo fatto un ragionamento diverso, che è evidentemente sbagliato (avevo uguagliato il percorso fatto dalla ruota con quello fatto sul telaio).
In ogni caso non capisco due cose:
1) Da dove ti "salta fuori" che $a_G=\dot theta^2(R_1+R_2)$, e diretta verso dove?
2) La formula per le accelerazioni nei moti rigidi piani è $a_C=a_G+\dot\omega \wedge \vec(GC)-\omega^2R_1\hat{n}$, perchè a te manca il termine $\dot\omega \wedge \vec(GC)$??
"speculor":
Condizione di puro rotolamento
$\omegaR_1=dot \theta(R_1+R_2) rarr dot \theta=(\omegaR_1)/(R_1+R_2)$
tu hai (giustamente) posto l'uguaglianza sulla velocità di $G$, io invece avevo fatto un ragionamento diverso, che è evidentemente sbagliato (avevo uguagliato il percorso fatto dalla ruota con quello fatto sul telaio).
In ogni caso non capisco due cose:
1) Da dove ti "salta fuori" che $a_G=\dot theta^2(R_1+R_2)$, e diretta verso dove?
2) La formula per le accelerazioni nei moti rigidi piani è $a_C=a_G+\dot\omega \wedge \vec(GC)-\omega^2R_1\hat{n}$, perchè a te manca il termine $\dot\omega \wedge \vec(GC)$??
1. $G$ si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio $R_1+R_2$ con velocità angolare $dot \theta$, direzione e verso di conseguenza.
2. $vec \omega=costante rarr dot (vec \omega)=0$
2. $vec \omega=costante rarr dot (vec \omega)=0$
"speculor":
1. $G$ si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio $R_1+R_2$ con velocità angolare $dot \theta$, direzione e verso di conseguenza.
2. $vec \omega=costante rarr dot (vec \omega)=0$
Ma il moto non è circolare uniforme
Forse la figura ha confuso, ma è l'unica che ho trovato su internet.Sotto queste considerazioni mi trovo daccordo con te, ma il problema è di un moto generico, ovvero con $\omega$ non costante
Nel primo messaggio hai scritto: "...dove $\vec mu$ è il versore parallelo alla ruota mobile nel punto di contatto...". Il concetto di versore parallelo ad una ruota lo trovo stravagante, immagino che questo versore sia in direzione radiale. Puoi confermarlo?
Confermo. Ho sistemato il primo post, scusate
Ok. Ma il termine che non ho considerato è diretto lungo il versore tangente, mi spieghi come faccio a comprenderlo in una formula che, a priori, non contempla la componente dell'accelerazione lungo quella direzione?
Infatti quello che non capisco è perchè la formula non contempli la componente tangenziale! E' quello il mio dubbio... Perchè non c'è la componente tangente?
Qui non ti posso aiutare. Per quanto ne so io, il moto potrebbe anche essere uniforme. Se non conosco il contesto, come faccio a escluderlo?
Infatti dovrebbe essere una formula generale, senza particolari limitazioni su [tex]\omega (t)[/tex].
Mi viene un dubbio. Non è che il pedice $C$ in $a_C$ voglia dire centripeta?
No, sta per "centro di istantanea rotazione" (o centro delle velocità), in quando il punto di contatto ha velocità nulla.
upping
Scusa, cos'altro vorresti sapere? Pensavo che la discussione fosse chiusa.
Vorrei capire come si arriva alla formula che ho postato nel primo post, che dovrebbe valere senza limitazioni su $\omega(t)$.
Non è logicamente possibile. Questo punto si muoverà su una traiettoria? Come ogni punto che si muove su una traiettoria, avrà una componente dell'accelerazione tangenziale responsabile di un eventuale moto vario e una componente dell'accelerazione centripeta responsabile di un eventuale moto curvilineo? Se quella formula vale almeno nel caso di moto uniforme, evidentemente vale lungo il versore normale alla traiettoria. Se adesso considerassimo un moto vario, dovremmo aggiungere una componente tangenziale. Mi spieghi come fai a sommare due vettori tra loro perpendicolari e fare in modo che la loro somma sia ancora diretta lungo una delle due direzioni dei vettori di partenza? Se le informazioni che mi hai dato sono corrette, e abbiamo già verificato che lo sono, non è logicamente possibile.
"speculor":
Non è logicamente possibile. Questo punto si muoverà su una traiettoria? Come ogni punto che si muove su una traiettoria, avrà una componente dell'accelerazione tangenziale responsabile di un eventuale moto vario e una componente dell'accelerazione centripeta responsabile di un eventuale moto curvilineo? Se quella formula vale almeno nel caso di moto uniforme, evidentemente vale lungo il versore normale alla traiettoria. Se adesso considerassimo un moto vario, dovremmo aggiungere una componente tangenziale. Mi spieghi come fai a sommare due vettori tra loro perpendicolari e fare in modo che la loro somma sia ancora diretta lungo una delle due direzioni dei vettori di partenza? Se le informazioni che mi hai dato sono corrette, e abbiamo già verificato che lo sono, non è logicamente possibile.
Guarda, io sono pienamente daccordo con te
Il problema è che questa è la formula che a lezione la prof ha dato (senza nemmeno dimostrarla
), e questa è la formula che utilizza nelle soluzioni di compiti/esercizi sia con velocità angolari costanti sia non costanti.Ora le cose sono tre:
- O stiamo sbagliando, perchè ti assicuro che io sono daccordo con te nell'esistenza di una componente tangenziale, altirmenti non avrei aperto il topic
- O sbaglia lei
- O viene considerata "trascurabile" la componente tangenziale, ma allora non ho idea di quali siano i criteri per considerarla trascurabile
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