Rotolamento puro corpo rigido
Buonasera, avrei una domanda sul seguente esercizio.
Un disco di raggio R=0.1m e massa M=0.5kg è sospeso su di un piano orizzontale e ruota con velocità angolare $omega=3$ costante intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo punto viene lasciato cadere sul piano, con il quale esiste un coefficiente di attrito dinamico $mu_d=0.3$. Ipotizzando che non rimbalzi e rimanga verticale determinare nel momento in cui il moto diventa di puro rotolamento la velocità angolare, la variazione di energia cinetica e il tratto di slittamento.
Mi sono scritto le leggi orarie del moto:
$ omega(t)=omega-2mu_dg*t/R $
$ v(t)=mu_dg*t $
Imponendo $omega_f*R=v_f$ per il rotolamento puro mi sono ricavato la velocità angolare ed infine la variazione di energia meccanica.
Sino a qui tutto a posto, infatti i risultati tornano. Per rispondere all'ultima domanda ho ragionato in questo modo:
$ s=vartheta_fR+x_f=R(omegat_f-(mu _dg(t_f)^2)/R)+1/2mu_dg(t_f)^2 $
Il risultato è sbagliato. Cosa c'è che non va?
Il professore utilizza il teorema del lavoro e dell'energia cinetica. Vedendolo cinematicamente piuttosto che dinamicamente il risultato non dovrebbe venire lo stesso?
Un disco di raggio R=0.1m e massa M=0.5kg è sospeso su di un piano orizzontale e ruota con velocità angolare $omega=3$ costante intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo punto viene lasciato cadere sul piano, con il quale esiste un coefficiente di attrito dinamico $mu_d=0.3$. Ipotizzando che non rimbalzi e rimanga verticale determinare nel momento in cui il moto diventa di puro rotolamento la velocità angolare, la variazione di energia cinetica e il tratto di slittamento.
Mi sono scritto le leggi orarie del moto:
$ omega(t)=omega-2mu_dg*t/R $
$ v(t)=mu_dg*t $
Imponendo $omega_f*R=v_f$ per il rotolamento puro mi sono ricavato la velocità angolare ed infine la variazione di energia meccanica.
Sino a qui tutto a posto, infatti i risultati tornano. Per rispondere all'ultima domanda ho ragionato in questo modo:
$ s=vartheta_fR+x_f=R(omegat_f-(mu _dg(t_f)^2)/R)+1/2mu_dg(t_f)^2 $
Il risultato è sbagliato. Cosa c'è che non va?
Il professore utilizza il teorema del lavoro e dell'energia cinetica. Vedendolo cinematicamente piuttosto che dinamicamente il risultato non dovrebbe venire lo stesso?
Risposte
Certo che deve venire lo stesso. La soluzione del professore e' la piu immediata,
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]
Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]
Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento
"professorkappa":
Certo che deve venire lo stesso. La soluzione del professore e' la piu immediata,
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]
Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento
Grazie mille per la risposta.Il risultato non torna ugualmente. Infatti dalle due equazioni di sopra si ottiene il tempo:
$ t_f=(omegaR)/(3mu_dg) $
Sostituendo alla legge oraria:
$ s_=1/18(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Mentre il professore ottiene
$ s_=1/6(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Ho rincontrollato i conti ed il tempo è corretto, e lo deve essere per forza dato che la mia velocità angolare finale coincide con quella del prof!
Non so cosa dirti.
Il professore ottiene quel valore, ma cosa rappresenta quella s?
Tra l'altro correggo quanto detto prima, si fa molto meglio a lavorare con le forze che non con il teorema delle forze vive.
Il professore ottiene quel valore, ma cosa rappresenta quella s?
Tra l'altro correggo quanto detto prima, si fa molto meglio a lavorare con le forze che non con il teorema delle forze vive.
S rappresenta lo spazio dello strisciamento prima che il moto diventi di puro rotolamento. Secondo te sbaglio qualcosa? Oppure è errato il ragionamento del professore? Il mio professore ricordo che una volta disse che in questo caso non è del tutto corretto utilizzare il teorema delle forze vive, ma non ricordo il motivo.
Si ma S e' misurato come? la distanza percorsa dal baricentro?
Infatti in questo caso il teorema delle forze vive crea piu' danno che beneficio, perche il lavoro si applica solo alla "extra rotazione", per cosi dire, che si ha, quella che fa si che il disco striscia.
Lo spazio percorso dal baricentro e' 1/18 etc. Se il professore dice che e' 1/6 sbaglia
Infatti in questo caso il teorema delle forze vive crea piu' danno che beneficio, perche il lavoro si applica solo alla "extra rotazione", per cosi dire, che si ha, quella che fa si che il disco striscia.
Lo spazio percorso dal baricentro e' 1/18 etc. Se il professore dice che e' 1/6 sbaglia
Ciao
Se viene 1/18 vuol dire che come momento d'inerzia del disco ha usato un asse passante per il baricentro e il punto P, che è 1/2 etc etc
Se viene 1/18 vuol dire che come momento d'inerzia del disco ha usato un asse passante per il baricentro e il punto P, che è 1/2 etc etc
"Lucacs":
Ciao
Se viene 1/18 vuol dire che come momento d'inerzia del disco ha usato un asse passante per il baricentro e il punto P, che è 3/2 etc etc
No. 1/18 e lo spostamento del centro di massa tra il punto di partenza e il punto in cui cominicia il rotolamento puro. E' indipendente dalla scelta del polo, che e arbitraria: dovunque tu scelga il polo per la risoluzione del sistema di equazioni dinamiche, il risultato e' sempre lo stesso
Hai ragione
Ci provo
Durante il moto di strisciamento e rotolamento agisce la forza
$f=mu M g$
questa produce l'accelerazione $a=f/M=mu*g$
Le leggi orarie quindi:
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
Scrivendo la legge di Newton per i corpi rigidi
$I alpha =I(dω) /(dt) $
Quindi
$1/2 MR^2ω=mu*M*g*R*t$
da cui la seconda legge oraria
$ω(t) =2mu*g/R t$
Il tempo $t_x$ nel quale avviene il puro rotolamento e' dato da
$v_0 -mu*g*t_x=2mu*g*R/R t_x$
Da cui
$t_x=v_0/(3mug) $
In questa fase il disco ha velocità $v(t_x) =2/3v_0$ e velocità angolare $w(t_x) =v_0/R $
Lo spazio percorso strisciando e rotolando e' quindi
$s=v_0t_x-1/2 mu*g*t_(x) ^2 =v_0^2/(3mug)-1/2mug v_0^2/(9mu^2g^2)= 5/18 v_0^2/(mug) $
Ora fermarsi qui sarebbe un errore, questo e' lo spazio che comprende strisciamento e rotolamento.
Si dovrebbe sottrarre quindi $1/9v_0^2/(mug) $
E si ottiene il risultato del professore
Ci provo
Durante il moto di strisciamento e rotolamento agisce la forza
$f=mu M g$
questa produce l'accelerazione $a=f/M=mu*g$
Le leggi orarie quindi:
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
Scrivendo la legge di Newton per i corpi rigidi
$I alpha =I(dω) /(dt) $
Quindi
$1/2 MR^2ω=mu*M*g*R*t$
da cui la seconda legge oraria
$ω(t) =2mu*g/R t$
Il tempo $t_x$ nel quale avviene il puro rotolamento e' dato da
$v_0 -mu*g*t_x=2mu*g*R/R t_x$
Da cui
$t_x=v_0/(3mug) $
In questa fase il disco ha velocità $v(t_x) =2/3v_0$ e velocità angolare $w(t_x) =v_0/R $
Lo spazio percorso strisciando e rotolando e' quindi
$s=v_0t_x-1/2 mu*g*t_(x) ^2 =v_0^2/(3mug)-1/2mug v_0^2/(9mu^2g^2)= 5/18 v_0^2/(mug) $
Ora fermarsi qui sarebbe un errore, questo e' lo spazio che comprende strisciamento e rotolamento.
Si dovrebbe sottrarre quindi $1/9v_0^2/(mug) $
E si ottiene il risultato del professore
La seconda parte è più immediata. Basta sottrarre all' energia meccanica iniziale quella all'inizio del puro rotolamento.
Il risultato è un terzo dell'energia meccanica iniziale, e uguale al lavoro della forza d'attrito
Il risultato è un terzo dell'energia meccanica iniziale, e uguale al lavoro della forza d'attrito
Non seguo un granche' il tuo ragionamento. I miei commenti sono sotto punto per punto
No, l'eqazione corretta e' $v(t) = v_0 +at=v_0 +mu*g*t$
Questa non e' l'equazione di Newton, e' un identita: $dotomega=alpha$
Anche qui sbagli il segno. E' $1/2 MR^2ω=-mu*M*g*R*t$. Oltretutto la legge non e' questa perche deve essere del tipo $omega(t)=omega_0-2mu*g/R t$
Ma $v_0=0$ per come e' illustrato il problema. Quindi non mi torna per nulla.
Da qui in poi non capisco proprio.
*********************************************
Soluzione banale.
Condizioni iniziali del problema
$omega(0)=omega_0=3/[sec]$
$v(0)=0$
Rotazioni positive orarie, asse delle x rivolto verso destra, la velocita' lineare e' quella del CdM del disco
Forza d'attrito: $F_a=mumg$. Ergo, accelerazione $a=mug$ (positive, perche' il disco ruota in senso orario, per cui la forza d' attrito e' rivolta verso dx.
Equazioni del moto durante il moto di strisciamento
Per il centro di massa $v(t)=v(0)+at$ il che implica: $v=mug t$ e $x_G=1/2mug t^2$
Per il moto rotatorio $I[domega(t)]/[dt]=-F_aR$ da cui $[domega(t)]/[dt]=-F_aR=-2[mumgR]/[mR^2]=-2[mug]/[R]$
Integrando e ricordando che $omega (0)=omega_0$
$omega(t)=-2[mug]/[R]*t+omega_0$
L'istante in cui si instaura il moto di rotolamento puro e' sostenuto dal $v(t)=omega(t)*R$
Quindi $mug t=-2[mug]/[R]*t+omega_0$ che ti da' il tempo
$t=[omega_0R]/[3mug]$
In questo tempo, il baricentro di sposta secondo la legge gia' scritta sopra $x_G=1/2mug t^2$
Ovvero $x_G=1/2mug [[omega_0R]/[3mug]]^2=1/2mug[omega_0R]^2*[1]/[9[mug]^2]=1/[18][omega_0R]^2/[mug]$
Ora, se volessimo verificare che vale il teorema delle forze vive (cosa che non ha senso per la risoluzione perche devo comunuqe calcolare il tempo, e allora tanto vale), dovremmo calcolare di quanto ruot il disco nel tratto di slittamento e viene
$theta_f=-[mug]/[R]*t^2+omega_0t=-[mug]/[R]*[[omega_0R]/[3mug]]^2+omega_0*[omega_0R]/[3mug]=2/9omega_0^2R/[mug]$ (questo $theta_f$ torna dopo, ora non serve
Velocita' di rotazione al momento del rotolamento puro:
$omega_f=omega_0-2mug/Rt=omega_0-2mug/R[omega_0R]/[3mug]=1/3omega_0$
Energia cinetica finale: $E_f=1/2*3/2mR^2*1/9omega_0^2$
Energia cinetica iniziale $E_i=1/2mR^2/2omega_0^2$
$DeltaE=1/2[3/2mR^2*1/9omega_0^2-mR^2/2omega_0^2]=1/2mR^2[1/6-1/2]omega_0^2=-1/6mR^2omega_0^2$
Qui e' dove occorre fare attenzione: il lavoro fatto dall'attrito e' pertinente solo alla porzione di angolo con cui il disco slitta (che chiamiamo $theta_s$).
Quindi
$L=-F_aRtheta_s$Per il teorema delle forze vive
$-F_aRtheta_s=-1/6mR^2omega_0^2$ e quindi
$theta_s=1/6Romega_0^2/[mug]$
Lo spostamento del centro di massa durante il moto con slittamento si calcola come se il disco abbia ruotato su tutto $theta_f$ di rotolamento puro, cosa che cosi non e': infatti va sottratta la quantita dovuta allo slittamento $Rtheta_s$.
Quindi
$x_G=Rtheta_f-Rtheta_s=R(2/9omega_0^2R/[mug]-1/6mRomega_0^2)=[1/18]omega_0^2R^2/[mug]$
"Lucacs":
Hai ragione
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
No, l'eqazione corretta e' $v(t) = v_0 +at=v_0 +mu*g*t$
"Lucacs":
Scrivendo la legge di Newton per i corpi rigidi
$I alpha =I(dω) /(dt) $
Questa non e' l'equazione di Newton, e' un identita: $dotomega=alpha$
"Lucacs":
Quindi
$1/2 MR^2ω=mu*M*g*R*t$
da cui la seconda legge oraria
$ω(t) =2mu*g/R t$
Anche qui sbagli il segno. E' $1/2 MR^2ω=-mu*M*g*R*t$. Oltretutto la legge non e' questa perche deve essere del tipo $omega(t)=omega_0-2mu*g/R t$
"Lucacs":
Il tempo $t_x$ nel quale avviene il puro rotolamento e' dato da
$v_0 -mu*g*t_x=2mu*g*R/R t_x$
Da cui
$t_x=v_0/(3mug) $
Ma $v_0=0$ per come e' illustrato il problema. Quindi non mi torna per nulla.
"Lucacs":
In questa fase il disco ha velocità $v(t_x) =v_03/2$ e velocità angolare $w(t_x) =v_0/R $
Lo spazio percorso strisciando e rotolando e' quindi
$s=v_0t_x-1/2 mu*g*t_(x) ^2 =v_0^2/(3mug)-1/2mug v_0^2/(9mu^2g^2)= 5/18 v_0^2/(mug) $
Ora fermarsi qui sarebbe un errore, questo e' lo spazio che comprende strisciamento e rotolamento.
Si dovrebbe sottrarre quindi $1/9v_0^2/(mug) $
E si ottiene il risultato del professore
Da qui in poi non capisco proprio.
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Soluzione banale.
Condizioni iniziali del problema
$omega(0)=omega_0=3/[sec]$
$v(0)=0$
Rotazioni positive orarie, asse delle x rivolto verso destra, la velocita' lineare e' quella del CdM del disco
Forza d'attrito: $F_a=mumg$. Ergo, accelerazione $a=mug$ (positive, perche' il disco ruota in senso orario, per cui la forza d' attrito e' rivolta verso dx.
Equazioni del moto durante il moto di strisciamento
Per il centro di massa $v(t)=v(0)+at$ il che implica: $v=mug t$ e $x_G=1/2mug t^2$
Per il moto rotatorio $I[domega(t)]/[dt]=-F_aR$ da cui $[domega(t)]/[dt]=-F_aR=-2[mumgR]/[mR^2]=-2[mug]/[R]$
Integrando e ricordando che $omega (0)=omega_0$
$omega(t)=-2[mug]/[R]*t+omega_0$
L'istante in cui si instaura il moto di rotolamento puro e' sostenuto dal $v(t)=omega(t)*R$
Quindi $mug t=-2[mug]/[R]*t+omega_0$ che ti da' il tempo
$t=[omega_0R]/[3mug]$
In questo tempo, il baricentro di sposta secondo la legge gia' scritta sopra $x_G=1/2mug t^2$
Ovvero $x_G=1/2mug [[omega_0R]/[3mug]]^2=1/2mug[omega_0R]^2*[1]/[9[mug]^2]=1/[18][omega_0R]^2/[mug]$
Ora, se volessimo verificare che vale il teorema delle forze vive (cosa che non ha senso per la risoluzione perche devo comunuqe calcolare il tempo, e allora tanto vale), dovremmo calcolare di quanto ruot il disco nel tratto di slittamento e viene
$theta_f=-[mug]/[R]*t^2+omega_0t=-[mug]/[R]*[[omega_0R]/[3mug]]^2+omega_0*[omega_0R]/[3mug]=2/9omega_0^2R/[mug]$ (questo $theta_f$ torna dopo, ora non serve
Velocita' di rotazione al momento del rotolamento puro:
$omega_f=omega_0-2mug/Rt=omega_0-2mug/R[omega_0R]/[3mug]=1/3omega_0$
Energia cinetica finale: $E_f=1/2*3/2mR^2*1/9omega_0^2$
Energia cinetica iniziale $E_i=1/2mR^2/2omega_0^2$
$DeltaE=1/2[3/2mR^2*1/9omega_0^2-mR^2/2omega_0^2]=1/2mR^2[1/6-1/2]omega_0^2=-1/6mR^2omega_0^2$
Qui e' dove occorre fare attenzione: il lavoro fatto dall'attrito e' pertinente solo alla porzione di angolo con cui il disco slitta (che chiamiamo $theta_s$).
Quindi
$L=-F_aRtheta_s$Per il teorema delle forze vive
$-F_aRtheta_s=-1/6mR^2omega_0^2$ e quindi
$theta_s=1/6Romega_0^2/[mug]$
Lo spostamento del centro di massa durante il moto con slittamento si calcola come se il disco abbia ruotato su tutto $theta_f$ di rotolamento puro, cosa che cosi non e': infatti va sottratta la quantita dovuta allo slittamento $Rtheta_s$.
Quindi
$x_G=Rtheta_f-Rtheta_s=R(2/9omega_0^2R/[mug]-1/6mRomega_0^2)=[1/18]omega_0^2R^2/[mug]$
"alemar05":
[quote="professorkappa"]Certo che deve venire lo stesso. La soluzione del professore e' la piu immediata,
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]
Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento
Grazie mille per la risposta.Il risultato non torna ugualmente. Infatti dalle due equazioni di sopra si ottiene il tempo:
$ t_f=(omegaR)/(3mu_dg) $
Sostituendo alla legge oraria:
$ s_=1/18(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Mentre il professore ottiene
$ s_=1/6(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Ho rincontrollato i conti ed il tempo è corretto, e lo deve essere per forza dato che la mia velocità angolare finale coincide con quella del prof![/quote]
Come viene misurato $s $? Distanza percorsa dal centro di massa prima che si instauri rotolamento puro?
si
Certo che $v_0$ non e' zero, essendo la velocita' angolare, e questa diminuisce
Quindi giusta
Quella si ricorda cosi' mettendo $I=M$ e $a=alpha$ che ricorda esattamente l'equazione di Newton
Per il resto ancora torna tutto compreso il risultato
"Lucacs":
Hai ragione
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
Quindi giusta
Quella si ricorda cosi' mettendo $I=M$ e $a=alpha$ che ricorda esattamente l'equazione di Newton
Per il resto ancora torna tutto compreso il risultato
"Lucacs":
Certo che $v_0$ non e' zero, essendo la velocita' angolare, e questa diminuisce
[quote="Lucacs"]Hai ragione
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
Quindi giusta
Quella si ricorda cosi' mettendo $I=M$ e $a=alpha$ che ricorda esattamente l'equazione di Newton
Per il resto ancora torna tutto compreso il risultato[/quote]
Anche questo messaggio e' criptico, o ti spieghi bene, oppure non ci capiamo.
chiamare v0 la velocita angolare confonde parecchio, visto che il corpo rototrasla e quindi ha una velocita' lineare e una angolare.
Mi sembra un po' confusa la trattazione e non torna il risultato (anche se congruente con quello del professore, che e' sbagliato, evidentemente)
Per l'energia
$1/2Mv(t) ^2-1/2Mv_0^2-1/2I(v_0/R) ^2=...... (1/2Mv^2)*1/3$
$1/2Mv(t) ^2-1/2Mv_0^2-1/2I(v_0/R) ^2=...... (1/2Mv^2)*1/3$
Ma scusa come fa a confondere, inizialmente la velocità e' tutta angolare, sarà quella no.
Ma poi ho scritto pure $ω(t_x) =v_0/R$ e se non si si capisce torniamo al moto circolare
E a me il risultato torna
Ma poi ho scritto pure $ω(t_x) =v_0/R$ e se non si si capisce torniamo al moto circolare
E a me il risultato torna
Ma scusa, ma vuoi avere un po di coerenza nei simboli.
Che me ne frega di quali sono le condizioni iniziali se le chiami giovanni prima e laura dopo.
Se v0 per te e' una velocita' angolare (lo hai scritto sopra), come fa ora a essere $omega=v_0/R$. Se $omega$ e' una velocita' angolare e lo e' anche $v_0$, come fa una garndezza a essere uguale a se' stessa divisa per il raggio. Vuol dire che $v_0$ e' evidentemente una velocita' lineare, no?
Per l'energia sbagli. Intanto deve venire negativa.
E se interpreto la tua equazione bene, l'energia finale, al momento di puro rotolamento, e' $1/2mv(t)^2$ (che e' sbagliata), e quella iniziale e' $1/2mv_0^2+1/2I(v_0/R)^2$, anche essa sbagliata.
Se vuoi risolvere il post, per favore dammi il tuo sistema di riferimento e i simboli giusti e mantienili per tutto l'esercizio, nel tuo primo ci post ci sono un sacco di pedici che non si capisce (almeno io) cosa siano. Poi scrivi le equazioni una alla volta cosi si possono controllare altrimenti si diventa matti.
Dopodiche' ne riaparliamo.
Che me ne frega di quali sono le condizioni iniziali se le chiami giovanni prima e laura dopo.
Se v0 per te e' una velocita' angolare (lo hai scritto sopra), come fa ora a essere $omega=v_0/R$. Se $omega$ e' una velocita' angolare e lo e' anche $v_0$, come fa una garndezza a essere uguale a se' stessa divisa per il raggio. Vuol dire che $v_0$ e' evidentemente una velocita' lineare, no?
Per l'energia sbagli. Intanto deve venire negativa.
E se interpreto la tua equazione bene, l'energia finale, al momento di puro rotolamento, e' $1/2mv(t)^2$ (che e' sbagliata), e quella iniziale e' $1/2mv_0^2+1/2I(v_0/R)^2$, anche essa sbagliata.
Se vuoi risolvere il post, per favore dammi il tuo sistema di riferimento e i simboli giusti e mantienili per tutto l'esercizio, nel tuo primo ci post ci sono un sacco di pedici che non si capisce (almeno io) cosa siano. Poi scrivi le equazioni una alla volta cosi si possono controllare altrimenti si diventa matti.
Dopodiche' ne riaparliamo.
In poche parole definisci i simboli, perche per me $v_0$ e' la velocita' lineare del baricentro al momento iniziale (che e' nulla)
Lo riscrivo con quelli che vuoi tu e vediamo.
$f=mu M g= Ma$
Questa e' la forza d'attrito e spero che i simboli ti piacciano
$v(t) =v_x-a t= v_x -mug*t$
Che a parte i simboli, e' quello che avevo scritto.
Ora passando al corpo rigido, questa e' l'analoga di quella di Newton, ti piaccia o meno
$Ialpha=tau$
Tradotta $1/2MR^2ω=mu*MgR*t_x$
$ω(t_x) =2mu*g/R*t$
E spero ti piacciano i segni, perché io non vedo errori
$v_x-mug*t=ω(t_x) R=2mug* t$
$v_0=3μg*t_x$ da cui il tempo su cui non abbiamo dubbi in cui inizia il puro rotolamento
$t_x= v_0/(3mug) $
Per la condizione di puro rotolamento $v_0=ω(t_x) R$
$f=mu M g= Ma$
Questa e' la forza d'attrito e spero che i simboli ti piacciano
$v(t) =v_x-a t= v_x -mug*t$
Che a parte i simboli, e' quello che avevo scritto.
Ora passando al corpo rigido, questa e' l'analoga di quella di Newton, ti piaccia o meno
$Ialpha=tau$
Tradotta $1/2MR^2ω=mu*MgR*t_x$
$ω(t_x) =2mu*g/R*t$
E spero ti piacciano i segni, perché io non vedo errori
$v_x-mug*t=ω(t_x) R=2mug* t$
$v_0=3μg*t_x$ da cui il tempo su cui non abbiamo dubbi in cui inizia il puro rotolamento
$t_x= v_0/(3mug) $
Per la condizione di puro rotolamento $v_0=ω(t_x) R$
Continui a fare confusione e tra l'altro non risolvi il problema pur facendo il sarcastico.
$ω(t)=w0−at=w0−μg⋅t$
E' sbagliata dimensionalmente: a sinistra rad/sec. A destra m.sec.
$Iα=τ$ questa va bene, ed e' "l'analoga di Newton" come la chiami tu. Non e' quella che avevi scritto nel tuo post che era $Ialpha=I[domega]/[dt]$. Totalmente diversa.
$1/2MR^2ω=μ⋅MgR⋅tx$. Qui hai gia integrato, to manca $omega_0$ e il segno e' sbagliato, perche la velocita angolare diminuisce col tempo.
Il tempo $t_x$ di puro rotolamento lo scrivi in funzione di $v_0$. A prescindere che per me $v_0=0$, per te e' evidentemente la velocita' del baricentro quando comincia il rotolamento puro. Peccato che e' ancora incognita.
La soluzione deve essere data in funzione delle grandezze note che sono 2: la velocita angolare iniziale $omega_0$, nota e la velocita' del baricentro $v_0$, nota anche essa e nulla.
Mi fermo qui, perche anche il tono sarcastico mi infastidisce e se fai il furbetto mi aspetto una trattazione impeccabile.
$ω(t)=w0−at=w0−μg⋅t$
E' sbagliata dimensionalmente: a sinistra rad/sec. A destra m.sec.
$Iα=τ$ questa va bene, ed e' "l'analoga di Newton" come la chiami tu. Non e' quella che avevi scritto nel tuo post che era $Ialpha=I[domega]/[dt]$. Totalmente diversa.
$1/2MR^2ω=μ⋅MgR⋅tx$. Qui hai gia integrato, to manca $omega_0$ e il segno e' sbagliato, perche la velocita angolare diminuisce col tempo.
Il tempo $t_x$ di puro rotolamento lo scrivi in funzione di $v_0$. A prescindere che per me $v_0=0$, per te e' evidentemente la velocita' del baricentro quando comincia il rotolamento puro. Peccato che e' ancora incognita.
La soluzione deve essere data in funzione delle grandezze note che sono 2: la velocita angolare iniziale $omega_0$, nota e la velocita' del baricentro $v_0$, nota anche essa e nulla.
Mi fermo qui, perche anche il tono sarcastico mi infastidisce e se fai il furbetto mi aspetto una trattazione impeccabile.
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