Rotolamento, piano inclinato e piano orizzontale
Buonasera, chiedo cortesemente il vostro ausilio nella risoluzione di questo problema, di cui cito il testo:
Una palla di massa m e raggio r viene tenuta ferma su un piano di massa M inclinato di un angolo θ, appoggiato
ad un piano liscio orizzontale. La palla viene lasciata libera di muoversi.
Assumendo che la palla rotoli sul piano senza scivolare, determinare l’accelerazione del piano inclinato.
Non riesco a trovare la relazione che mi collega i risultati ottenuti dall'analisi della palla che rotola sul piano inclinato, come la forza di attrito o l'accelerazione della palla, e utilizzarli per studiare il moto del piano inclinato.
La soluzione proposta dal foglio è la seguente:
A=(mg⋅tanθ)/(M+(M+m)(((tan^2)θ)+ k/((cos^2)θ) ) )
dove k è il 2/5 derivato dal calcolo del momento di inerzia della palla.
Spero possiate aiutarmi, ringrazio la vostra disponibilità.
Una palla di massa m e raggio r viene tenuta ferma su un piano di massa M inclinato di un angolo θ, appoggiato
ad un piano liscio orizzontale. La palla viene lasciata libera di muoversi.
Assumendo che la palla rotoli sul piano senza scivolare, determinare l’accelerazione del piano inclinato.
Non riesco a trovare la relazione che mi collega i risultati ottenuti dall'analisi della palla che rotola sul piano inclinato, come la forza di attrito o l'accelerazione della palla, e utilizzarli per studiare il moto del piano inclinato.
La soluzione proposta dal foglio è la seguente:
A=(mg⋅tanθ)/(M+(M+m)(((tan^2)θ)+ k/((cos^2)θ) ) )
dove k è il 2/5 derivato dal calcolo del momento di inerzia della palla.
Spero possiate aiutarmi, ringrazio la vostra disponibilità.
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum! Da regolamento dovresti postare un tentativo di soluzione prima di chiedere aiuto 
In questo modo possiamo capire bene quali sono i tuoi dubbi (perché francamente non li ho capiti).
L'unica cosa da fare è impostare il sistema (che in questo caso ha un bel po' di equazioni). Parti con la seconda legge della dinamica lungo x e lungo y per entrambi i corpi, poi scrivi l'equazione dei momenti per la sfera, e chiudi il sistema con la relazione che legga le accelerazioni (usa i moti relativi). Posta quello che ti viene così controlliamo
In questo modo possiamo capire bene quali sono i tuoi dubbi (perché francamente non li ho capiti).
L'unica cosa da fare è impostare il sistema (che in questo caso ha un bel po' di equazioni). Parti con la seconda legge della dinamica lungo x e lungo y per entrambi i corpi, poi scrivi l'equazione dei momenti per la sfera, e chiudi il sistema con la relazione che legga le accelerazioni (usa i moti relativi). Posta quello che ti viene così controlliamo
Ciao, grazie per la risposta.
Ho studiato il moto della palla isolandolo e considerandolo come sopra un generico piano inclinato fisso, dal quale ho ricavato, dal diagramma delle forze, una relazione tra l'accelerazione della palla, la forza di attrito e la forza peso, utilizzando la relazione tra forza di attrito e momento angolare della palla.
Successivamente, ho preso in considerazione il piano inclinato considerando la normale della palla sul piano come una combinazione delle forze sopracitate. Quindi come se sul piano agisse una forza generica che lo spingerebbe in direzione parallela al piano liscio.
Il problema sorge proprio nel definire questa forza generica che, considerandola come descritto sopra, non risulta corretta nel calcolo della accelerazione del piano.
Se volessi utilizzare un'equazione per le accelerazioni relative, come potrei impostarla?
Ringrazio la vostra disponibilità.
Ho studiato il moto della palla isolandolo e considerandolo come sopra un generico piano inclinato fisso, dal quale ho ricavato, dal diagramma delle forze, una relazione tra l'accelerazione della palla, la forza di attrito e la forza peso, utilizzando la relazione tra forza di attrito e momento angolare della palla.
Successivamente, ho preso in considerazione il piano inclinato considerando la normale della palla sul piano come una combinazione delle forze sopracitate. Quindi come se sul piano agisse una forza generica che lo spingerebbe in direzione parallela al piano liscio.
Il problema sorge proprio nel definire questa forza generica che, considerandola come descritto sopra, non risulta corretta nel calcolo della accelerazione del piano.
Se volessi utilizzare un'equazione per le accelerazioni relative, come potrei impostarla?
Ringrazio la vostra disponibilità.
Quello che speravo di vedere in realtà era un po' di matematica 
Comunque, le componenti dell'accelerazione si possono ricavare immediatamente dalla legge cinematica dei corpi rigidi.
Infatti, da $\veca_(CM)=\veca_t+\vecalphaxx\vecr$, abbiamo, scegliendo un opportuno sistema di riferimento con l'asse delle ascisse orientato verso destra, le seguenti relazioni:
$a_x=a_(p)-alpharcostheta$, e $a_y=-alpharsintheta$,
dove con $a_(p)$ ho denotato l'accelerazione del piano inclinato. Adesso basta inserirle nel sistema e risolvere
Comunque, le componenti dell'accelerazione si possono ricavare immediatamente dalla legge cinematica dei corpi rigidi.
Infatti, da $\veca_(CM)=\veca_t+\vecalphaxx\vecr$, abbiamo, scegliendo un opportuno sistema di riferimento con l'asse delle ascisse orientato verso destra, le seguenti relazioni:
$a_x=a_(p)-alpharcostheta$, e $a_y=-alpharsintheta$,
dove con $a_(p)$ ho denotato l'accelerazione del piano inclinato. Adesso basta inserirle nel sistema e risolvere
Grazie per la risposta, Eulercio.
Un'ultima domanda:
cosa indenti per at ?
Grazie ancora
Un'ultima domanda:
"Eulercio":
$\veca_(CM)=\veca_t+\vecalphaxx\vecr$
cosa indenti per at ?
Grazie ancora
La $t$ sta per traslazione. Chiaramente, qui $\veca_t = \veca_p$.
Prego
Prego
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