Rotolamento e rototraslazione
Buonasera a tutti!
Sono nuova nel forum, mi sono iscritta da poco! Davo un occhio ai vari post già da tempo ed ho letto il regolamento, alla fine ho deciso di iscrivermi anche io perché mi sembra un forum valido.
Se qualcuno avesse voglia di aiutarmi, avrei tre domandine sul rotolamento puro e la rototraslazione che chiamerò 'a', 'b' e 'c'.
Le domande 'b' e 'c' nascono dal fatto che ho studiato la teoria di Fisica 1 su un libro abbastanza rinomato, e adesso mi sto leggendo il libro di teoria scritto dal professore col quale dovrò sostenere l'esame (per ovvie ragioni).
Però c'è qualche frase che non capisco.
a) Consideriamo un disco che rototrasla, e di cui si conoscono l'accelerazione del centro di massa e l'accelerazione angolare grazie alle due cardinali.
Come potrei calcolare l'accelerazione del punto di contatto?
Grazie alle due equazioni cardinali conosco le accelerazioni, io poi saprei mettere in relazione la velocità del centro di massa con la velocità del punto di contatto grazie alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.
Ma come faccio a mettere in relazione le accelerazioni? Basta che derivo la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi?
Se chiamo $C$ il punto di contatto e $G$ il centro di massa, posso scrivere:
$a_O = a_G + (d^2vartheta)/(dt^2) xx (O-G)$
?
b) Se ho un disco che rotola senza strisciare (rotolamento puro), e la velocità del centro di massa è costante, non c'è nessuna forza tra disco e piano?
Riporto frase del libro di teoria che mi sembra non corretta:
"Se il disco rotola a velocità costante, non manifesta alcuna tendenza a strisciare nel punto di contatto e pertanto, non è applicata alcuna forza fra disco e piano."
Ma come? Non c'è la forza di attrito statico per definizione di rotolamento puro?
c) Riporto un'altra frase del libro che non capisco:
"Il moto di puro rotolamento può essere pensato come un moto di traslazione in cui tutti i punti hanno la stessa velocità traslazionale del centro di massa ed un moto di rotazione attorno al centro di massa (che dunque si limita solo a traslare)".
La frase mi sembra corretta da un punto di vista matematico se penso alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, in cui scrivo la velocità di ogni singolo punto come $v_i = v_G + omega xx (P_i -G)$,
però da un punto di vista fisico non la capisco, in quanto il disco che rotola, rotola istantaneamente attorno al punto di contatto, no?
Sono nuova nel forum, mi sono iscritta da poco! Davo un occhio ai vari post già da tempo ed ho letto il regolamento, alla fine ho deciso di iscrivermi anche io perché mi sembra un forum valido.
Se qualcuno avesse voglia di aiutarmi, avrei tre domandine sul rotolamento puro e la rototraslazione che chiamerò 'a', 'b' e 'c'.
Le domande 'b' e 'c' nascono dal fatto che ho studiato la teoria di Fisica 1 su un libro abbastanza rinomato, e adesso mi sto leggendo il libro di teoria scritto dal professore col quale dovrò sostenere l'esame (per ovvie ragioni).
Però c'è qualche frase che non capisco.
a) Consideriamo un disco che rototrasla, e di cui si conoscono l'accelerazione del centro di massa e l'accelerazione angolare grazie alle due cardinali.
Come potrei calcolare l'accelerazione del punto di contatto?
Grazie alle due equazioni cardinali conosco le accelerazioni, io poi saprei mettere in relazione la velocità del centro di massa con la velocità del punto di contatto grazie alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.
Ma come faccio a mettere in relazione le accelerazioni? Basta che derivo la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi?
Se chiamo $C$ il punto di contatto e $G$ il centro di massa, posso scrivere:
$a_O = a_G + (d^2vartheta)/(dt^2) xx (O-G)$
?
b) Se ho un disco che rotola senza strisciare (rotolamento puro), e la velocità del centro di massa è costante, non c'è nessuna forza tra disco e piano?
Riporto frase del libro di teoria che mi sembra non corretta:
"Se il disco rotola a velocità costante, non manifesta alcuna tendenza a strisciare nel punto di contatto e pertanto, non è applicata alcuna forza fra disco e piano."
Ma come? Non c'è la forza di attrito statico per definizione di rotolamento puro?
c) Riporto un'altra frase del libro che non capisco:
"Il moto di puro rotolamento può essere pensato come un moto di traslazione in cui tutti i punti hanno la stessa velocità traslazionale del centro di massa ed un moto di rotazione attorno al centro di massa (che dunque si limita solo a traslare)".
La frase mi sembra corretta da un punto di vista matematico se penso alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, in cui scrivo la velocità di ogni singolo punto come $v_i = v_G + omega xx (P_i -G)$,
però da un punto di vista fisico non la capisco, in quanto il disco che rotola, rotola istantaneamente attorno al punto di contatto, no?
Risposte
Ciao, benvenuta, e complimenti per esserti letta il regolamento prima di iscriverti!
Per a)
La risposta e' si, basta derivare. Ma la formula che scrivi e' sbagliata.
Siccome vedo che scrivi correttamente la velocita' di un punto in un corpo rigido piu' sotto, al punto 3, ovviamente la conosci e non te la sto a riscrivere.
Ebbene, se derivi quella otterrai che il punto e' soggetto ad accelerazione
$vec(a_P)=omega^2Rvecj+a_Gveci$
Il che, senza tirare in ballo derivate, puo' essere pensato come l'accelerazione del corpo in in sistema di riferimento con l'origine solidale a G e con gli assi che ruotano assieme alla ruota. Il primo termina e' l'accelerazione centripeta (acc. relativa) e il secondo termine e' l'accelerazione di trascinamento del punto di contatto.
b) La risposta e' si. Non esiste nessuna forza. La forza si manifesta solo se c'e' tendenza allo strisciamento. Ma il punto di contatto e' fermo, equiparabile a un corpo su una superficie orizzontale scabra. Non ha voglia di muoversi, pertanto l'attrito non dove intervenire per fermarlo. Il punto chiave e' che non ci devono essere forze o momenti esterni applicati al corpo.
D'altra parte immagina per un momento un disco che rotola di rotolamento puro senza forze e momenti esterni. Se, per assurdo, ci fosse una forza d'attrito $F_a$ tra disco e piano sarebbe legittimo scrivere
$ vecF_a=mveca_g$
Questo vuol dire che il disco aumenterebbe o diminuirebbe la sua velocita'. Tu mi puoi dire: "Infatti!!! Il disco si ferma!!!".....
Eh, hai ragione. Ma davvero ce l'hai?
No, Una decelerazione costituirebbe un assurdo ancora maggiore dell'accelerazione: la forza d'attrito tende ad opporsi allo scivolamento, e lo scivolamento tende ad essere opposto al movimento del centro di massa. Quindi la forza d'attrito deve essere rivolta "in avanti", nel senso del moto, perche il punto di contatto, se sollevassi un pelino il disco da terra, avrebbe velocita rivolta "all'indietro",
E se la forza d'attrito e' positiva, e' positiva anche l'accelerazione.
Il che siginifica che, assurdamente, il disco dovrebbe accelerare, non rallentare!
Il problema e' che istintivamente tu pensi a una ruota di macchina, che si ferma. Ma in quel caso il disco non e' rigido e interviene un altro tipo di attrito (si chiama volvente, cerca sul forum) che la ferma.
Pensaci un attimo e poi se hai dubbi riscrivi, perche per eseprienza questo punto e' un po' ostico su questo forum ed esce spesso.
Qui c'e' un utente, Shackle, che oltre ad essere estremamente preparato e paziente, e' il bibliotecario del Forum, un maestro nel ritrovare discussioni passate sullo stesso argomento e magari decide di intervenire (occhio che e' molto anziano, trattalo con gentilezza, rispetto e soprattuto condiscendenza viscida, un po' come un nonno rimbambito.....
)
c) Si. Sono 2 modi di vedere il fenomeno. Esattamente come il punto a) in cui puoi vedere l'accelerazione come matematica, derivando 2 volte. Oppure come relazione tra sistema di riferimento fisso e sistema di riferimento rigidamente connesso al disco.
Spero che come prima risposta di soddisfi. Buon anno.
Per a)
La risposta e' si, basta derivare. Ma la formula che scrivi e' sbagliata.
Siccome vedo che scrivi correttamente la velocita' di un punto in un corpo rigido piu' sotto, al punto 3, ovviamente la conosci e non te la sto a riscrivere.
Ebbene, se derivi quella otterrai che il punto e' soggetto ad accelerazione
$vec(a_P)=omega^2Rvecj+a_Gveci$
Il che, senza tirare in ballo derivate, puo' essere pensato come l'accelerazione del corpo in in sistema di riferimento con l'origine solidale a G e con gli assi che ruotano assieme alla ruota. Il primo termina e' l'accelerazione centripeta (acc. relativa) e il secondo termine e' l'accelerazione di trascinamento del punto di contatto.
b) La risposta e' si. Non esiste nessuna forza. La forza si manifesta solo se c'e' tendenza allo strisciamento. Ma il punto di contatto e' fermo, equiparabile a un corpo su una superficie orizzontale scabra. Non ha voglia di muoversi, pertanto l'attrito non dove intervenire per fermarlo. Il punto chiave e' che non ci devono essere forze o momenti esterni applicati al corpo.
D'altra parte immagina per un momento un disco che rotola di rotolamento puro senza forze e momenti esterni. Se, per assurdo, ci fosse una forza d'attrito $F_a$ tra disco e piano sarebbe legittimo scrivere
$ vecF_a=mveca_g$
Questo vuol dire che il disco aumenterebbe o diminuirebbe la sua velocita'. Tu mi puoi dire: "Infatti!!! Il disco si ferma!!!".....
Eh, hai ragione. Ma davvero ce l'hai?
No, Una decelerazione costituirebbe un assurdo ancora maggiore dell'accelerazione: la forza d'attrito tende ad opporsi allo scivolamento, e lo scivolamento tende ad essere opposto al movimento del centro di massa. Quindi la forza d'attrito deve essere rivolta "in avanti", nel senso del moto, perche il punto di contatto, se sollevassi un pelino il disco da terra, avrebbe velocita rivolta "all'indietro",
E se la forza d'attrito e' positiva, e' positiva anche l'accelerazione.
Il che siginifica che, assurdamente, il disco dovrebbe accelerare, non rallentare!
Il problema e' che istintivamente tu pensi a una ruota di macchina, che si ferma. Ma in quel caso il disco non e' rigido e interviene un altro tipo di attrito (si chiama volvente, cerca sul forum) che la ferma.
Pensaci un attimo e poi se hai dubbi riscrivi, perche per eseprienza questo punto e' un po' ostico su questo forum ed esce spesso.
Qui c'e' un utente, Shackle, che oltre ad essere estremamente preparato e paziente, e' il bibliotecario del Forum, un maestro nel ritrovare discussioni passate sullo stesso argomento e magari decide di intervenire (occhio che e' molto anziano, trattalo con gentilezza, rispetto e soprattuto condiscendenza viscida, un po' come un nonno rimbambito.....
)c) Si. Sono 2 modi di vedere il fenomeno. Esattamente come il punto a) in cui puoi vedere l'accelerazione come matematica, derivando 2 volte. Oppure come relazione tra sistema di riferimento fisso e sistema di riferimento rigidamente connesso al disco.
Spero che come prima risposta di soddisfi. Buon anno.
Ciao , benvenuta nel forum .
Due paroline prima al mio amico Professorkappa : anziano si, ma rimbambito ancora no ! Pensa che discuto ancora con “3g” 
Veniamo alla nuova iscritta. Ottima risposta quella di PK . Ma vorrei aggiungere qualcosa . Hai scritto :
Fai attenzione , la definizione di rotolamento puro è semplicemente questa : prima di tutto , nel punto di contatto tra disco e piano non c’è moto relativo , e questo PK te lo ha detto. Per una rotazione elementare $d\theta$ del disco, l’archetto di circonferenza vale $Rd\theta$ , e il CM del disco si sposta di $ds$ , che nel rotolamento puro deve essere di lunghezza uguale a l’archetto ; quindi hai :
$ds =Rd\theta rarr v = omega R $ ( basta dividere per il tempo $dt$ ).
Analogamente per l’accelerazione $a= alphaR$
Ma la forza di attrito può esserci oppure no. Pensa a un disco che rotola giù per un piano inclinato scabro , con rotolamento puro : la forza di attrito c’è , e causa accelerazione angolare del disco. Oppure, un disco sul piano orizzontale , che però viene spinto con una forza applicata all’asse del disco, parallela al piano orizzontale Anche qui c’è forza di attrito, ma ciò non toglie che si tratti di rotolamento puro.
Proprio da poco abbiamo parlato estesamente del rotolamento puro, e di come si instaura :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443290
se usi la funzione “cerca...” , pulsante in alto a destra , trovi piu di 1400 risposte, Ne cito un’altra :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8430392
leggi anche quella del link che trovi li dentro, l’autore è una tal "Navigatore” , che è andato via.
Due paroline prima al mio amico Professorkappa : anziano si, ma rimbambito ancora no !
Pensa che discuto ancora con “3g” Veniamo alla nuova iscritta. Ottima risposta quella di PK . Ma vorrei aggiungere qualcosa . Hai scritto :
b) Se ho un disco che rotola senza strisciare (rotolamento puro), e la velocità del centro di massa è costante, non c'è nessuna forza tra disco e piano?
Riporto frase del libro di teoria che mi sembra non corretta:
"Se il disco rotola a velocità costante, non manifesta alcuna tendenza a strisciare nel punto di contatto e pertanto, non è applicata alcuna forza fra disco e piano."
Ma come? Non c'è la forza di attrito statico per definizione di rotolamento puro?
Fai attenzione , la definizione di rotolamento puro è semplicemente questa : prima di tutto , nel punto di contatto tra disco e piano non c’è moto relativo , e questo PK te lo ha detto. Per una rotazione elementare $d\theta$ del disco, l’archetto di circonferenza vale $Rd\theta$ , e il CM del disco si sposta di $ds$ , che nel rotolamento puro deve essere di lunghezza uguale a l’archetto ; quindi hai :
$ds =Rd\theta rarr v = omega R $ ( basta dividere per il tempo $dt$ ).
Analogamente per l’accelerazione $a= alphaR$
Ma la forza di attrito può esserci oppure no. Pensa a un disco che rotola giù per un piano inclinato scabro , con rotolamento puro : la forza di attrito c’è , e causa accelerazione angolare del disco. Oppure, un disco sul piano orizzontale , che però viene spinto con una forza applicata all’asse del disco, parallela al piano orizzontale Anche qui c’è forza di attrito, ma ciò non toglie che si tratti di rotolamento puro.
Proprio da poco abbiamo parlato estesamente del rotolamento puro, e di come si instaura :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443290
se usi la funzione “cerca...” , pulsante in alto a destra , trovi piu di 1400 risposte, Ne cito un’altra :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8430392
leggi anche quella del link che trovi li dentro, l’autore è una tal "Navigatore” , che è andato via.
"professorkappa":
Ciao, benvenuta, e complimenti per esserti letta il regolamento prima di iscriverti!
Per a)
La risposta e' si, basta derivare. Ma la formula che scrivi e' sbagliata.
Siccome vedo che scrivi correttamente la velocita' di un punto in un corpo rigido piu' sotto, al punto 3, ovviamente la conosci e non te la sto a riscrivere.
Ebbene, se derivi quella otterrai che il punto e' soggetto ad accelerazione
$vec(a_P)=omega^2Rvecj+a_Gveci$
Il che, senza tirare in ballo derivate, puo' essere pensato come l'accelerazione del corpo in in sistema di riferimento con l'origine solidale a G e con gli assi che ruotano assieme alla ruota. Il primo termina e' l'accelerazione centripeta (acc. relativa) e il secondo termine e' l'accelerazione di trascinamento del punto di contatto.
..
Caspita, ho scritto male in a)
se $v_i = v_G + omega xx (P_i - G)$
allora
$a_i= a_G + (d(omega))/(dt) xx (P_i - G) + omega xx (d(P_i-G))/(dt)$
e quindi
$a_i=a_G + alpha xx (P_i-G)$
dove $alpha$ è l'accelerazione angolare, ovvero $(d(omega))/(dt)$
Non ho fatto nessun errore giusto?
Come mai a me torna $a_i=a_G + alpha xx (P_i-G)$ e a te invece $(a_P)= a_G + omega^2R$ ?
"professorkappa":
b) La risposta e' si. Non esiste nessuna forza. La forza si manifesta solo se c'e' tendenza allo strisciamento. Ma il punto di contatto e' fermo, equiparabile a un corpo su una superficie orizzontale scabra. Non ha voglia di muoversi, pertanto l'attrito non dove intervenire per fermarlo. Il punto chiave e' che non ci devono essere forze o momenti esterni applicati al corpo.
D'altra parte immagina per un momento un disco che rotola di rotolamento puro senza forze e momenti esterni. Se, per assurdo, ci fosse una forza d'attrito $F_a$ tra disco e piano sarebbe legittimo scrivere
$ vecF_a=mveca_g$
Questo vuol dire che il disco aumenterebbe o diminuirebbe la sua velocita'. Tu mi puoi dire: "Infatti!!! Il disco si ferma!!!".....
Eh, hai ragione. Ma davvero ce l'hai?
No, Una decelerazione costituirebbe un assurdo ancora maggiore dell'accelerazione: la forza d'attrito tende ad opporsi allo scivolamento, e lo scivolamento tende ad essere opposto al movimento del centro di massa. Quindi la forza d'attrito deve essere rivolta "in avanti", nel senso del moto, perche il punto di contatto, se sollevassi un pelino il disco da terra, avrebbe velocita rivolta "all'indietro",
E se la forza d'attrito e' positiva, e' positiva anche l'accelerazione.
Il che siginifica che, assurdamente, il disco dovrebbe accelerare, non rallentare!
Il problema e' che istintivamente tu pensi a una ruota di macchina, che si ferma. Ma in quel caso il disco non e' rigido e interviene un altro tipo di attrito (si chiama volvente, cerca sul forum) che la ferma.
Pensaci un attimo e poi se hai dubbi riscrivi, perche per eseprienza questo punto e' un po' ostico su questo forum ed esce spesso.
Okay, giustamente mi fai notare che non devo confondere l'attrito volvente con l'attrito statico. Grazie per il consiglio, ho appena riletto per sicurezza tutti i miei appunti sull'attrito volvente per rischiare di non dire cavolate.
Quindi giustamente una biglia che viene fatta rotolare, prima o poi si ferma a causa dell'attrito volvente.
Ma se avessi una biglia perfettamente sferica e "perfettamente rigida" (in quanto quella di corpo rigido è un'approssimazione), essa, se il coefficiente di attrito del pavimento lo permette, rotolerebbe senza strisciare.
Dal momento in cui rotola senza strisciare, nei miei libri e appunti ho sempre letto che c'è una forza di attrito statico.
Però, mi fai notare, che se ci fosse, dovrei scrivere nella prima cardinale una forza lungo l'orizzontale che causerebbe un'accelerazione o una decelerazione a seconda del verso, il che è in disaccordo con ciò che si osserva durante il rotolamento della biglia.
Quindi ho sempre letto cavolate riguardo tale forza di attrito statico? In realtà non c'è?
Mamma mia che confusione.
P.s. Grazie mille per la risposta, buon anno anche a te!!!
"Shackle":
Ciao , benvenuta nel forum...
Proprio da poco abbiamo parlato estesamente del rotolamento puro, e di come si instaura :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443290
se usi la funzione “cerca...” , pulsante in alto a destra , trovi piu di 1400 risposte, Ne cito un’altra :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8430392
Grazie per la spiegazione e per i due link!! Dai un occhio alla mia risposta a professorkappa se ti va
La relazione e' vettoriale, quindi la derivata del vettore $(P-G)$ ha un termine dovuto alla rotazione di $P-G$ che e' $omega$
Riguarda bene questo punto, e' su tutti i testi di fisica.
Nei libri dubito che tu abbia trovato la presenza di attrito in un corpo che rotola LIBERO. Perche nel momento in cui rotola non c'e' strisciamento, quindi non c'e' attrito. O hai male interpretato tu, oppure ha preso una svista il testo.
Non c'e' confusione, tranquilla. Semplicemente non c'e' attrito.
Ma te lo ripeto: il corpo deve rotolare libero. Se gli applichi una forza o un momento l'attrito non lo puoi eliminare a priori, e' un'incognita di cui devi tenere conto quando scrivi le equazioni cardinali.
Riguarda bene questo punto, e' su tutti i testi di fisica.
Nei libri dubito che tu abbia trovato la presenza di attrito in un corpo che rotola LIBERO. Perche nel momento in cui rotola non c'e' strisciamento, quindi non c'e' attrito. O hai male interpretato tu, oppure ha preso una svista il testo.
Non c'e' confusione, tranquilla. Semplicemente non c'e' attrito.
Ma te lo ripeto: il corpo deve rotolare libero. Se gli applichi una forza o un momento l'attrito non lo puoi eliminare a priori, e' un'incognita di cui devi tenere conto quando scrivi le equazioni cardinali.
"professorkappa":
Non c'e' confusione, tranquilla. Semplicemente non c'e' attrito.
Ma te lo ripeto: il corpo deve rotolare libero. Se gli applichi una forza o un momento l'attrito non lo puoi eliminare a priori, e' un'incognita di cui devi tenere conto quando scrivi le equazioni cardinali.
Quindi, provo a fare un esempio.
Supponiamo di avere un disco di massa $M$ e raggio $R$ che poggia su un pavimento orizzontale.
Al centro del disco ($G$) è collegata una molla che è fissata ad una parete.
Sul bordo del disco (in alto) è avvolta una fune che andrà poi a scorrere su una carrucola.
Mettiamo caso che il disco rotoli senza strisciare su un pavimento orizzontale sotto le opportune condizioni del coefficiente di attrito.
In questo caso le uniche forze in gioco sono:
lungo la verticale, la reazione vincolare del pavimento e la forza peso del disco;
lungo l'orizzontale, la forza elastica della molla e la tensione del filo.
Non c'è dunque nessuna forza di attrito fin tanto che il disco rotola senza strisciare, dato che mi trovo su un piano orizzontale, giusto?
Non c'è dunque nessuna forza di attrito fin tanto che il disco rotola senza strisciare, dato che mi trovo su un piano orizzontale, giusto?
No. “Rotolare senza strisciare”, anche su un piano orizzontale, non significa “assenza di forze di attrito”. Fissa questa cosa nella tua testa. Dovresti avere un risultante di forze orizzontali nullo, per avere velocità costante, e quindi nessuno strisciamento. Ma con molle e funi in giro, la vedo difficile.
"Shackle":Non c'è dunque nessuna forza di attrito fin tanto che il disco rotola senza strisciare, dato che mi trovo su un piano orizzontale, giusto?
No. “Rotolare senza strisciare”, anche su un piano orizzontale, non significa “assenza di forze di attrito”. Fissa questa cosa nella tua testa. Dovresti avere un risultante di forze orizzontali nullo, per avere velocità costante, e quindi nessuno strisciamento. Ma con molle e funi in giro, la vedo difficile.
Okay, grazie Shackle. Pubblicherò a breve un post in cui presento il problema suddetto con un disco, una molla ed una fune.
Il problema non sarà più il rotolamento, dato che tu e professorkappa avete chiarito questo mio dubbio, ma l'energia potenziale.
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